化归思想在立体几何教学中的渗透

第１期　中学教育　・１１１．　三棱锥Ａ　ＡＢＣ的体积，你设想用什么方法：让学生相互讨论，充分联想　最后，再在屏幕上显示三棱锥的体积可转化　为三棱柱的体积的割补过程ｔ教师从演示中分析讲解，并附以特显镜头，从棱柱Ａ　Ｂ　Ｃ　一ｄＢｃ分割出来的两个锥体ｃ　Ａ　ＡＢ、ｃ一　Ｂ　Ｂ，让它们的顶点和面积相等的两个底面加以色彩，随着分开出Ｖ．一ｖ，，同理Ｖ－一ｖ－，所以学生自然而然地就可得出所要推证的结论。　复原一再分开的移动和闪烁过程，不难得　Ｈ　Ｂ　图４　３突破解题数学的难点　数学教学离不开解题，特别是对于问题的抽象是解题的主要障碍，如何化繁为简　化虚为实　利用《几何画板》中的动　画．往往能起到出奇制胜的作用＝　如同题：“顺次连接四边形的各边中氨构成什幺图形？”在　几何画板》的支持下．可以在屏幕上制作一个动态的四边　形，它在运动过程中忽而是凸的四边形，忽而是凹的四边形，四边中点的连线组成的图形也是不断变化的，可能是一般的　平行四边形，也可能是特殊的平行四边形。在这种情境下，我们可以弓『导学生探究怎样的条件将导出结论　总之，将《几何画板　附于教学中，能将一般传统教学中难以表现的数形及其变化过程生动地展示出来，使学生的表　象、联想、想象等形象思维得到很好的培养和锻炼　化归思想在立体几何教学中的渗透　朱良进　（太湖　范学校，　安徽太瑚　２４６４００）　一般地说，在解决问题的过程中，有意识地对问题进行“联想——转化”的思维活动，有意识地将一个生疏、复杂的问　题转化为熟悉的、简单的问题来处理的思维方式就是化归思想。化归思想在数学中的渗透是培养学生能力、提高综合紊　质的需要。因为教学是一十有机整体，它的各个部分知识之间的相互联系、相互渗透，为问腰的转化提供了条件。渗透在　立体几何教学中的化归思想，有正面与反面的转化、平面与空问的相互转化、模型（或几何语言）与直观图形的转化等等。　１平面向空间的转化　初中阶段，学生系统地学习了平面几何　那么教学中如何使学生在平面几何知识的基础上来理解空间中的概念，实　现由平面向空间的转化，是教学的初始阶段特别要引起重视的问题。　平面几何中的知识是吸收、同化空间几何中新知识的基础。教学中可运用娄比推理方式，让学生来形成并理解空问　概念、性质。如　直线”是无限延伸的，将“线”换成　面”，则“面”无限延展，这里的“无限延展”（全方位）有别于“无限延伸”　（确定方向）。再例如将平面角定义中的“点’．换成“线”，“两射线”换戚　两个半平面”便形成了二面角的定义：从一条直线　引出的两个半平面所组成的图形叫二面角。　但受思维定势的影响，学生在学习过程中可能会出现向旧学习情景　化归”和任意扩大平面几何知识和经验应用范　围的情形，思维局限在平面上，同时类比推理亦有它的局限性，因而教学中，一方面要沟通新旧知识问的联系，加以比较；　另一方面，充分运用实物模型感知，加强图与形的对照，实现内平面向空间转化，逐步让学生对空间观念由感性认识上升　到理性认识，从而形成正确的空闯观念。　维普资讯 http://www.cqvip.com

‘１１２・　安丧师范学院学报（自然科学版）　２００２年　２正面与反面的转化　异面直线概念的弓【＾是平面迈向空间的转折点．它使学生由认识二维空问进入到对三维空¨日］的认识。在判断两直线　为异面直线的教学中发现，学生能运用定理“过平面内一点与平面外一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线”　进行判断，而对不具备这个定理条件的两直线是否为异面直线的判断，一部分学生显得束手无策，运用定义（正面）来考　虑，要判定两直线不共面、无交氨，确实难以判断。但对上述定理的证明．给我们以启示．可　从反面去思考这个问题。　例１已知两条线ａ与６为异面直线，且ｃ／／　，直线６与ｃ不相交，求证：６与　也是异面直线＝　分析：要判定　与ｃ为异面直线，显然题设不具备定理中条件．不宜从正面考虑。而从匣面来看，假设６与ｃ不异面，　那么６、ｃ为共面直线。由题设６与ｃ不相交．则６与ｃ出平行．卫由ｃ／／　．可推知　∥　．此与题设Ⅱ与６异面相矛盾，因此　假设不能成立，即６与ｃ是异面直线。　由正面转向反面来思考，其依据是一个命题的原命题与它的逆否命题互为等价命题。在第二章中需要从正面向反面　转化，即运用反证法证明的定理及倒习韪中的命压还不步，如两平面平行的判定定理及题九的第３、４、５题中命题的证明　等。因此要重视异面直线判定定理证明的教学．要突出由正面向反面转化的思堆过程分析　３空间问题向平面问题转化　在解决空间问题时，往往是转为化平面问题米处理的，如第二章中涉及异面直线间的距离、线面平行时线面间的距　离、平行平面间的距离等摄后都可转化为两个点的距离（空间距离化为平面距离），而异面直线昕成角、线面角、二面角也　都是通过直线平移或正射影转化为平面角（空问角转化为平面角）。　再比如第三章中有关多面体、旋转体的概念和性质是建立在直线与平面知识的基础上的，但在解决相关问题时，则　常常是通过适当的方法把空间问题转化为平面问题，教学中要适时渗透化归思想。　例２　已知一个圆锥的底面半径为　，高为Ｈ　（１）求母线与底面所成角｛（２）在圆锥内有一个高为　的由接圆柱，求　它的侧面积　（１）母线与度面所成角即轴截面图中的平面角　ｓＢ。（答案为ａｒｃ￣ａｎ嚣）；　（２）欲求内接圆柱的侧面积，只需求其底面圊半径ｒ，显然从轴截面图形看，即有　相似比素一　Ｈ－－ｘ　则ｒ—Ｒ一　ｓ目　一２　Ｒ　一击　）　＾　Ｄ　Ｒ　Ｂ　４模型与直观图形的转化　图１　圃锥内接圆柱截面圈　在立体几何教学中，模型或实物的演示是教学中一个重要手段，通过演示，引导学生观察其几何特征，有囝５些点、线、　面，相互关系如何，比较异同，然后让学生用几何语言准确地表述出这些规律。　直观图形也就是空间物体所具有的空间几何形式在平面上的科学表选。教学中介绍了斜二测和正等测两种画ｊ击规　则，这是作直观图形的依据　而直观图形的作图是使学生形成空间概念，堵养空间想象能力的基础和关键，这是立体几何　教学的一个难点。　要实现由几何模型、几何语言向直观图形的转化，我认为教学中要抓好以下三个方面的训练。　１）观物画图首先弓ｆ导学生观察事物或模型，分析其几何特征，建立感性认识，再依据画法规则作出实物或模型的　直观图。然后将实物或模型与直观图进行比较，使学生加探对作图方法的理解与倍赖，逐渐建立空间观念，　促进空间作　图能力的培养。　２）识图教学中要有意识地让学生对教师画在黑板上的或课本上的直观图形中有关点、线、画及其相互位置关系　等进行观察、叔述。在这个过程中，因眼、啮、口、耳多种器官并用，促进了学生对图形和作法的理解、记忆，增强了空间概　念，也培养了他们良好的学习习惯。但值得注意的是，识图时，学生的思维必须冲出《平面几何》中图形作法、规定、特征的　局限，一切用空间立体、空问概念、直观图形的观念来对待。教学过程中还可结合活动课，指导学生根据直观图形接一定　比例动手做出模型。　３）概念作图概念作困就是根据概念所反映的几何图形的属性来进行作图。这就要求学生能根据怍图问腰（几何　语言），准确地运用概念＋想象出符合概念的几何模型，再依据作图规则在纸上画出符合题意的直观图形。概念作困的训　练不仅能使学生加深对几何概念的理解，同时能增强学生的空间想象能力，有力地促进几何语言向直观图形的转化。