第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

西北师范大学

本科毕业论文

题 目：第二型曲线积分与曲面积分的计算方法专 业：系 班：毕业年份：姓 名：学 号：指导教师：职 称：

数学与应用数学 数学与信息科学系2006级数本2班

2010年 060741051

教 授 渭南师范学院教务处 制

目 录

本科毕业论文任务书……………………………………………………1 本科毕业论文开题报告…………………………………………………3 本科毕业论文登记表…………………………………………………5 毕业论文论文正文文稿…………………………………………………7 本科毕业论文答辩记录………………………………………………15

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西北师范大学本科毕业论文（设计）任务书

论文（设计）题目 学生姓名 毕业年份 指导教师 一、文献查阅指引 1. 查阅的专著 [1] 华东师大数学系. 数学分析(下)[M]，第三版. 高等教育出版社，2001，224-231. [2] 刘玉琏，傅沛仁等.数学分析讲义(下)[M]，第四版.高等教育出版社，2003，75-388. [3] 林源渠，方企勤. 数学分析解题指南[M]. 北京大学出版社，2001，38-362. [4] 陈文灯. 数学复习指南[M]. 世界图书出版社，2000，276-287. [5] 田勇.硕士研究生入学考试历年真题解析[M]. 机械工业出版社，2002，175-188. [6] 华中科技大学数学系.考研特别快车—数学[M].华中科技大学出版社，2001，04-212 2. 查阅的学术论文及期刊 [1] 孙一生.第二型曲线与曲面积分计算的基本方法与技巧[J].《哈尔滨师范大学自然 科学学报》，1989，5（2）：106-112 . [2] 陈少元.第二型曲线积分计算方法与技巧[J]. 科技信息（学术版），2007（1）. 3. 查阅的相关网站 [1] http //d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_lygzyjsxyxb200604029.aspx . 二、内容要求 1. 提出第二型曲线积分与曲面积分的基本计算方法. 2. 查阅相关的资料、书籍对所用到的基本计算方法进行分析，并加以概括与总结. 3. 论文中所用到的实例必须具有典型代表性，而且逻辑推理性强、分析恰当. 4. 论文可以借鉴相关的研究成果，但不能抄袭. 2010年 第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 系、专业、班级 学 号 职 称 数学与信息科学系 数学与应用数学2006级数本2班 060741051 教 授 2

三、进度安排 毕业论文撰写时间安排 1、动员：年月日 2、论文设计总时间 周（月日-月日）（周） （1）选题与填写开题报告天（月日-月日）（周） （2）论文撰写天（月日-月日）（周） （3）论文定稿打印天（月日-月日）（周） （4）论文评阅及答辩审查天（月日-月 日）（周） （5）论文答辩天（月日-月日）（周） （6）论文成绩评定天（月日-月日）（周） 3、论文撰写停课时间：月日-月日（周） 四、起止日期 2009年 12月2日至 2010年5 月9日 指导教师（签名） 教研室主任（签名） 系主管主任（签名） 年 月 日 注：1. 任务书由指导教师填写、经教研室主任及系主管教学副主任审批后，在第七学期末之前下达给学生..2.

文献查阅指引，应是对查阅内容和查阅方法的指引，即查阅什么和怎样查阅.

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渭南师范学院本科毕业论文（设计）开题报告

论文（设计）题目 学生姓名 毕业年份 指导教师 第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 系、专业、班级 2010年 数学与信息科学系 数学与应用数学2006级数本2班 学 号 职 称 060741051 教 授 一、拟开展研究的价值、意义 第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 二、研究步骤、方法及措施 1.查找资料，初步确定论文题目. 2.与老师商讨，确定论文题目. 3.根据论文题目进一步查找材料，了解课题对所需知识和技能的相关要求，独立查阅和准备与课题相关的文献资料. 4.通过分析和理解各类信息，从中获取与课题相关的新知识，进而充分理解课题任务；综合运用有关的基础知识，查找例题加以分析，提出解决问题的方法，然后进行分析，最后得出解决问题的可行方法. 三、论文拟定提纲 1. 引言. 2. 第二型曲线积分的基本计算方法. 3. 第二型曲面积分的基本计算方法. 4. 小结. 4

四、主要参考文献 [1] 华东师大数学系. 数学分析(下)[M]，第三版.高等教育出版社，2001，224-231. [2] 刘玉琏，傅沛仁等.数学分析讲义(下)[M]，第四版. 高等教育出版社，2003， 375-388. [3] 林源渠，方企勤. 数学分析解题指南[M]. 北京大学出版社，2001，338-362. [4] 陈文灯. 数学复习指南[M]. 世界图书出版社，2000，276-287. [5] 田勇.硕士研究生入学考试历年真题解析[M].机械工业出版社，2002，175-188. [6] 华中科技大学数学系.考研特别快车—数学[M].华中科技大学出版社，2001， 204-212. [7] 孙一生. 第二型曲线与曲面积分计算的基本方法与技巧[J].《哈尔滨师范大学自然科学学报》，1989，5（2）：106-112. [8] 陈少元. 第二型曲线积分计算方法与技巧[J]. 科技信息（学术版），2007（1）. 指导教师意见： 系主管主任意见： 指导教师签字： 系主管主任签字： 年 月 日 注：开题报告是在导师的指导下，由学生填写。

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年 月 日

渭南师范学院本科毕业论文（设计）登记表 论文（设计）题目 学生姓名 毕业年份 指导教师 一、论文摘要（中文） 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 系、专业、班级 2010年 数学与信息科学系 数学与应用数学2006级数本2班 学 号 职 称 060741051 教 授 6

二、论文摘要（英文） This text is it turn to make total mark law parameter to utilize mainly, Green formula,total mark answer the second type cure exercise question of integration with method that route have nothing to do;Unilize song connection that area assign,divide into the surface projection law,unify the projection law,gausses of formmula answer the second type song topic that area divide. 三、成绩评定 指导教师评语： 李明松同学在广泛查阅资料的基础上，对第二型曲线积分与曲面积分的计算方法进行研究，对第二型曲线积分与曲面积分的计算方法进行了概括与总结，并通过实例加以说明，这种做法有较好的实用价值.该论文论述充分，结构合理，文字通顺，用词准确，文档排版规范，有一定应用价值. 指导教师签字： 年 月 日 7

评阅人评语： 该同学对第二型曲线积分与曲面积分的计算方法进行了具体的分析与探讨，同时对其基本计算方法进行了归纳与总结.该论文论述充分，结构严谨合理，有一定应用价值. 评阅人签字： 年 月 日 答辩小组评语： 李 该生思路清晰，基本概念清楚，论文层次分明，结构严谨，论文结果有一定的应用价值，回答问题有理论根据，主要问题回答正确.经答辩委员会同意，答辩合格. 成 绩 (分数) 答辩小组组长签字： 年 月 日 答辩委员会审核意见： 答辩委员会主席签字： 年 月 日 第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

李明松

（渭南师范学院 数学与信息科学系2006级数本2班）

摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答

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第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目.

关键词： 曲面积分；曲线积分

1 引 言

第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的

重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义.

2 第二型曲线积分

例1 求Iexsinybxydxexcosyaxdy，其中a，b为正的常数，L为从点A（2a，0）沿曲线y=2axx2到点o（0，0） 的弧.

方法一：利用格林公式法

QPPdxQdydxdy，P(x，y)，Q（x，y）以及它们的一阶偏导数LxyD在D 上连续，L是域D的边界曲线，L是按正向取定的.

解：添加从点o（0，0）沿y=0到点A（2a,0）的有向直线段L1,

ILesinybxydxecosyaxdy

esinybxydxecosyaxdyxxL1xxL1记为II1I2 ，

QPxx 则由格林公式得：I1dxdyecosyaecosybdxdy xyDD

badxdyD2a2ba

其中D为L1L所围成的半圆域，直接计算I2,因为在L1时，y0，所以dy=0

因而：I2bxdx2a2b ，从而

II1I2

a2ba2a2b2a2ba3 2229

方法二：应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解

（1） 若 

PQ（与路径无关的条件）， 则 yxAx1,y1Bx0,y0PdxQdyPx,y0dxQx1,ydy

x0y0x1y1（2） xt,yt

'' PdxQdyPt,ttQt,ttdt AB 是起点 是终点

解： Iexsinybxydxexcosyaxdy

Lexsinydxexcosydybxydxaxdy

LL 记为II1I2 ,

对于I1，积分与路径无关，所以

xxxesinydxecosydyesiny0,02a,00

xaasint 对于I2，取L的参数方程，t从0到，得

yasintbxydxaxdyabsintabsintcostabsinL22202ta3cos2ta3costdt

112a2ba2a322 从而 I2a2ba3

22对于空间第二曲线一般的解题过程为：PdxQdyRdz

L 若L闭合，P,Q,R对各元偏导数连续

LPdxQdyRdzdydzdzdxdxdy

xyzPQR若L非闭，其参数方程为

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Pxt,yt,ztx'tQxt,yt,zty'tRxt,yt,ztz'tdtxxt 其中： yyt，分别为L的起点，终点参数值.

zzt 例2 计算空间曲线积分I=

为圆柱面x2y2a2与平面曲线是逆时针方向.

方法一：化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分利用0,2上

三角函数的正交性.

解： 令 xacost,yasint， 则

yzdxzxdyxydz，其中曲线L

xz1的交线a0,h0，从X轴正向看，ahxacost zh1h1h1cost

aa 于是I=

asinth1costasinth1costacostacostacostasinthsintdt2aah方法二：解 ：Idydzdzdxdxdy2dydzdzdxdxdy

xyzyzzxxyhh,0,1dxdy21dxdy2aha

aaD 2Dxy1,1,1

3 第二型曲面积分

例3 计算曲面积分

zzxdydzzdxdy，其中为旋转抛物面

212xy2 介于平面z=0及z=1之间的部分的下侧. 2

方法一：利用两类曲面积分的联系

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PdydzQdzdxRdxPycosdcosQcodssR 1

其中cos,cos,cos是有向曲面上点（x，y，z）处的法向量的方向余弦. 解： nx,y,1，

ncos,cos,cos

0xyz,,221x2y21x2y21xy  2x1zxdydzzdxdyzxzds

22221xy1xy2 z2xx2z1xy22x2z1xy22ds

Dx212xy221x2y2dxdy 1x2y2 2122xxydxdy 2D 20d202r2cos2rdr8  方法二：分面投影法

如果由zzx,y给出，则

 Rx,y,zdxdyRx,y,zx,ydxdy 2

Dxy 如果由xxy,z给出，则

xy,z,y,zdydz 3 Px,y,zdydzPDyz如果由yyz,x给出，则

x,yz,x,zdzdx 4 Qx,y.zdzdxQDzx 12

等式右端的符号这样规定：如果积分曲面是由方程

xxz,yyyx,z,zzx,y

所给出的曲面上（前，右）侧，应取“”，否则取“”. 解：zxdydzzdxdyzxdydzzdxdy

22zxdydzz2xdydzz2xdydz2

前后z22zy2dydzz22zy2dydz

DyzDyz2 22zydydz40dyy2zy2dz4

2Dyz2212122 zdxdyxydxdy0d0r3dr4

22Dxy22 所以

zxdydzzdxdy8

2方法三 ：合一投影法

前面我们看到，按分面投影发计算曲面积分时，对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示，然后转化为不同坐标面上的二重积分，这种方式形式上虽然简单但计算比较繁琐.

事实上，如果的方程zzx,y， x,yDxy，（Dxy是在xoy面上的投影区域），函数P,Q,R在上连续时，则单位法向量为 encos,cos,cos

ZyZx1,, 222222ZxZy1ZxZy1ZxZy1由于投影元素 dydzcosds， dzdxcosds，dxdycosds，于是得到

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coscoscosdsdxdyZxdxdycoscos

coscosdzdxcosdscosdsdxdyZydxdycoscosdydzcosds所以

Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdyPx,y,zx,yZxx,yQx,y,zx,yx,y,zx,ydxdyZyx,yRDxyPZxQZyRdxdyDxy 等式右端的符号这样确定：如果是由方程所给出的曲面上侧，取“”，否则取“”. 当可用显示方程yyz,x或xxy,z表示时，只需注意到此时的法向 量为yx,1y,yx或1,xy,xz，可得相应公式. 上述方法将上式中的三种类型积分转化为同一坐标面上的二重积分，故名为合一投影法.

1 解：zx2y2，在xoy面上的投影区域：Dxy=x,yx2y24，

2又的下侧，zxx，故由上式可得：

2211zxdydzzdxdyx2y2xxx2y2dxdy42Dxy

1x2x2y2dxdy2Dxyd0220

2r22rcos2rdr8方法四：高斯公式

PQR PdydzQdzdxRdxdy,,dv

xyz解：曲面不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式，应补面1z2的上侧，则

用高斯公式

1z2xdydzzdxdy0dv0

所以 z2xdydzzdxdyz2xdydzzdxdy

1 14

又

1z2xdydzzdxdy012zdxdy2dxdy8

Dxy所以 zxdydzzdxdy8

4 小结

从以上对试题的分析，发现不同年份的命题，多次考到相同的知识点，并且

吻合于通用教材教学中的难点重点，虽然考试题目千变万化，但教材的内容相对稳定，因此只有吃透教材，抓住重点难点，克服盲点复习，达到以静制动.过本文的分析，希望对大家有一定的指导作用. （指导教师：吕国亮）

参考文献

[1] 华东师大数学系. 数学分析(下)[M]，第三版. 高等教育出版社，2001，224-231. [2] 刘玉琏，傅沛仁等.数学分析讲义(下)[M]，第四版. 高等教育出版社，2003， 375-388. [3] 林源渠，方企勤. 数学分析解题指南[M]. 北京大学出版社，2001，338-362. [4] 陈文灯. 数学复习指南[M]. 世界图书出版社，2000，276-287.

[5] 田勇.硕士研究生入学考试历年真题解析[M]. 机械工业出版社，2002，175-188. [6] 华中科技大学数学系.考研特别快车—数学[M].华中科技大学出版社，2001. 204-212. [7] 孙一生. 第二型曲线与曲面积分计算的基本方法与技巧[J].《哈尔滨师范大学自然科

学学报》，1989，5（2）：106-112.

[8] 陈少元. 第二型曲线积分计算方法与技巧[J]. 科技信息（学术版），2007(1):12-15.

The Second Type Cruve Total And Song Computing Technology That Area Divide Into

LI Ming-song

(Class 2 Grade 2006, Department of Mathematic and Information Science,

Weinan Teachers University)

Abstract：This text is it turn to make total mark law parameter to utilize mainly, Green formula,total mark answer the second type cure exercise question of integration with method that route have nothing to do;Unilize song connection that area assign,divide into the surface projection law,unify the projection law,gausses of formmula answer the second type song topic that area divide.

Key words：The area of the song is divided； The total mark of curve

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