第２９卷第２期２００８年６月淮北煤炭师范学院学报（自然科学版）ＪｏｕｍａｌｏｆＨｕａｉｂｅｉＣｏａｌＩｎｄｕｓｔｒｙＴｅａｃｈｅｒｓＣｏＵｅｇｅ（ＮａｔｕｍｌＳｃｉｅｎｃｅ）Ｖ０１．２９Ｎｏ．２Ｊｕｎ．２００８巧用概率模型证明等式和不等式马建华（淮北煤炭师范学院数学系．安徽淮北２３５０００）摘要：通过构造适当的概率模型使得一些原本很难证明的等式或不等式的证明变得简单而容易．文献标识码：Ｃ文章编号：１６７２—７１７７（２００８）０２一００７７一０４关键词：概率模型；等式；概率；数学期望中图分类号：０２１１概率论是一门用途广泛的数学课程，独特而灵活的思维方式既是难点同时也体现其活力的一面，概率论的许多结果都是深刻而直接的．教师在教学中若能把握好，会对培养学生创新能力、思维能力、探索能力，激发学生的学习兴趣起着重要的作用．下面是一些用概率模型证明等式和不等式的例子．１证明：∑∑雠＋。砚＝２２丘＝１ｉ＝Ｏ这个组合数的和∑∑醴＋，繇直接计算很难，用一般的方法证明这个等式（如代数化简）十分麻烦，而用概率模型来解决就简单了．先将等式变形为窆羔磷＋。ａ（专）嘞：１，这可看作是一些概率的和，注意到它们是ｎ＋１和厅组合数…的和，为便于构造概率模型同除以÷得窆篁雠＋。Ｑ（专）嘞～：专．…于是我们构造概率模型如下：甲掷ｎ＋１枚硬币，乙掷ｎ枚硬币，求甲掷出的正面次数大于乙掷出的正面次数的概率．解法１以孝表示甲掷出的正面次数，叼表示乙掷出的正面次数，则Ｐ（甲掷出的正面次数大于乙掷出的正面次数）：窆Ｐ（孝：｜｜｝）Ｐ（叼ｓ七一１）：窆篁雠＋。ａ（专）ｈ＋１．…解法２以Ａ表示甲掷出的正面次数大于乙掷出的正面次数的事件，则Ａ表示甲掷出的正面次数不大于乙掷出的正面次数的事件，由于甲掷ｎ＋１枚硬币，乙掷ｎ枚硬币，所以Ａ＝“甲掷出的反面次数大于乙掷出的反面次数”，由于硬币的均匀性，所以Ａ＝“甲掷出的反面次数大于乙掷出的反面次数”＝“甲掷出的正面次数大于乙掷出的正面次数”＝Ａ，所以Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ａ），ｊＰ（Ａ）＝寺．由１、２两种解法得：收稿日期：２００７—１１—２３作者简介：马建华（１９５７一），男，安徽肥东人，副教授，研究方向：概率统计． ７８淮北煤炭师范学院学报（自然科学版）２００８年号：Ｐ（Ａ）：篁篁ｃＩ＋。ｃ｜Ｉ（专）拼１，即窆芝ｃ：：＋。ａ：２ｈ．…。这两种解法学生都是易于接受的，而把它们结合起来是不容易的，这就需要教师的钻研和启发引导．２证明：荟ｃｍ矗¨＝砩协荟庀Ｃｍ：ｈ一·＝ｉ旨ｃ嚣＋ｎ＾＝０％＝Ｏ…这两个组合数和的等式用一般的方法证明都是很困难的，对于∑像；：一㈠或∑Ｉ｜｝ｃ＝：：：．¨直接计算很难得到结果．为了证明两等式，先分别变形为毫挚＝１和毫挚＝ｉ旨．前一个式子可看作是ｕｍ’ｎｕｍ’ｎ一些概率值的和，既然可以把善÷三生二址看作是某事件或是某随机变量取值后的概率，那么后一式子就可看作某随机变量的数学期望．于是我们构造如下的概率模型：口袋中装有ｍ只黑球和ｎ只白球，现在依次从口袋中取球，每次取一只，取后不放回，直至取得黑球为止．以孝表示取得黑球时已取出白球的只数．则Ｐ（手＝Ｊ｝）＝篙业，忌＝ｏ，１，…，，１．解法说明：将ｍ＋几只球一一取出，依次排成一列，每只球占一个位置，共有ｍ＋ｎ个位置，样本点总数相当于这些排法总数．要完成这种排列，只要在ｍ＋几个位置中安排ｍ个白球的位置即可（其余ｎ个位置一定都是黑球），所以样本点总数＝ｃ仉。（ｆ＝Ｉ｜｝）＝“在取得一只黑球前以取出尼只白球”这相当于在ｍ＋ｎ个位置的排列中前｜ｊ｝个位置上均排白球，第五＋１位置上排黑球，其余的ｍ＋ｎ一后一１个位置上任意安排其余的ｍ—１只黑球和ｎ一｜｜｝只白球，因此，共有繇：：小。种排法．因ｌ：窆Ｐ（孝：忌）：窆鬟如，所以乞ｃ珥；：十ｌ＝Ｇ一按数学期望定义有聪：窆舡，…（宰）．另一方面鹾可以这样求：将ｎ只白球分别编号为ｌ，２，…，ｎ．ｍ只黑球分别编号为ｎ＋１，ｎ＋２，…，我们来考虑以取得第ｉ号白球而终止取球事件．由于每次取出的球只是黑、白这两种球，若取出的是黑球可以有ｍ种（ｍ只黑球任取其一），若取出的是白球，由于考虑的是以取得第ｉ号白球而终止的，所以只有１种（第ｉ号白球），那么样本点总数是ｍ＋１，有利场合数是１．所以Ｐ（以取得第ｉ号白球而终止）＝ｉ打．以岳表示取球终止时第ｉ号白球被取出的次数，ｉ＝１，２，…，ｎ，则孝＝∑毒，且Ｐ（毒＝１）＝Ｐ（以取得第ｉ号白球而终止）＝ｉ打，所以靠√熹妻），ｆ＝ｌ－…ｍ鹾＝弘＝砉击＝斋联合（木）式得： 第２期马建华：巧用概率模型证明等式和不等式７９客喂｝＝聪＝者，即荟躲ｈ一斋Ｑ协这里求ｆ的数学期望的第二种方法是个难点．先将手分解成ｎ个随机变量的和，把问题转化成求每个毒的数学期望的问题，求毒的数学期望是比较难想的，这需要教师的钻研和大量知识的积累．３证明：当薹ｃｉ＝－时，砉ｃ；≥丢砉ｃ；＝扣ａ＝丢，ｉ＝１，２，…，乃（１）如果诸ｃｉ，ｉ＝１，２，…，，ｌ，各不相同，我们构造概率模型如下：，ｃｌｃ２ｃｎ这是个条件极值问题，在微积分中可以用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法证明，但是运算量较大，且中学阶段无法进行，而用构造概率模型的方法则容易解决，其作法如下：令ｘ—ｌ上上＼凡ｎ＼１Ｉ，则ｉ／戤＝豁职＝磐因职≥（肠）２，且职＝（臌）２§Ｐ（Ｘ＝ｃ）＝１，所以高譬≥（耋詈）２ｊ高譬≥（｛砉ｃｔ）２＝（吉）２，即姜ｃ；≥｛．耋ｃ｝＝知胼＝（麟）２铮Ｐ（ｘ＝ｃ）＝１铮ｃ；＝ｃ，ｉ＝ｌ，２，…，ｎ，因为∑ｃ滓１，有ｃｔ＝ｃ，ｉ＝ｌ，２，…，，ｌ铮ｃ卢吉，江１，２，…，ｍ即荟毋＝扣ｃ；＝丢㈦＇２＇．．·，ｍ／ｃｌｃ３ｃ６（２）如果有某些ａ相同，比如ｃ－＝ｃ２，ｃ３＝ｃ４＝ｏ，其他ｃ如ｉ＝６，７，…，，ｌ各不相同．我们只要作…ｃｎ＼１ｙ—Ｉ２３１Ｉ即可．事实上， ８０淮北煤炭师范学院学报（自然科学版）２００８年Ｅ１，＝纽＋丝＋旦＋…＋鱼＝旦＋垒＋旦＋旦＋垒＋垒＋…＋垒＝ｙ．旦：上＿ｎｎｎｎ凡ｎｎｎ，ｌ凡ｎｎｎ’ＥＰ＝孕＋孚＋譬＋…＋譬＝譬＋譬＋譬＋譬＋譬＋譬＋…＋詈＝耋譬，由于ＥＰ≥（Ｅｙ）２，且ＥＰ＝（Ｅｙ）２甘Ｐ（ｙ＝ｃ）＝１，所以高鲁２（丢）２，即高ｃ｝２÷．所以结论依然成立．ｎ，ｌｎ，ｌ，ｌｎｎｎｎｎｎ＝ｎ。在这个问题中容易忽视的是诸ｃｒ，ｉ＝１，２，…，ｎ中有相同的情况，因为分布列中诸ｃ；，ｉ＝ｌ，２，…，ｎ是各不相同的，所以这种情况必须构造形如，ｃｌｃ３…ｃｎ＼ｙ～Ｉ至三上…上Ｉｎｎ，Ｉｎ的分布．对于前两个问题也可以看成是用概率模型求和的问题，事实上这两个问题中的三个等式都是笔者在教学中探索一题多解时总结出来的．比如，荟淼ｈ＝者‰最初是这样的一个问题：口袋中装有ｍ只黑球和ｎ只白球，现在依次从口袋中取球，每次取一只，取后不放回，直至取得黑球为止．求取得一只黑球时平均已取出多少只白球？数学期望的性质，按另一种解法得到这个数学期望的值：ｉ备，于是有薹挚＝ｉ旨．由此看来，如果教师在教学中多加总结、善于引导，那么他的教学将会对培养学生的探索精神和研究能力，激发学生的创造热情产生积极的影响．参考文献：【１１魏宗舒．概率论与数理统计教程（Ｍ１．北京：高等教育出版社，１９８３．【２】复旦大学．概率论［Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９７９．【３】茆诗松，程依明．概率论与数理统计教程【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００４．【４】盛骤，谢式千．概率论与数理统计【Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９７９．由数学期望的定义得到这个数是：窆西妻兰ｕ，要直接算出这个和是不容易的，为了计算出它，想到了ＴｈｅＭｅｔｈｏｄｓｏｆＵｓｉｎｇＰｒｏｂａｂｉｌｉｔｙＭｏｄｅｌｓＳ“ｌｌｆｕｌｌｙｔｏＰｒｏＶｅＥｑｕａｔｉｏｎａｎｄＩｎｅｑｕａｔｉｏｎＭＡＪｉａｎ—ｈｕａ（Ｄｅｐ咖Ｍ，ｌＩ矿胁砒ｍ埘ｂ，胁瓜ｋｆＡｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅｃＤ越肌如町扎ａｃ＾ｍ叫妇岛２３跏Ｄ，胁ｍ如ｆ，Ａ以ｕ‘，Ｃ牖ｍ）ｐｒｏｖｉｎｇｅｑｕａｔｉｏｎｏｒｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ锄ｄｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙｉｎｉｎｅｑｕａｔｉｏｎａｒｅ弛ｄｕｃｅｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｔｌＩｒｏｕｇｈｅｓｔａｂｌｉｓｈｉｎｇｓｕｉｔａｂｌｅｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｍｏｄｅｌｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｍｏｄｅｌ；ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｐｍｂａｂｉｌｉｔｙ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ 巧用概率模型证明等式和不等式
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
马建华， MA Jian-hua
淮北煤炭师范学院数学系,安徽,淮北,235000
淮北煤炭师范学院学报（自然科学版）
JOURNAL OF HUAIBEI COAL INDUSTRY TEACHERS COLLEGE(NATURAL SCIENCE)2008，29(2)0次
1.魏宗舒 概率论与数理统计教程 19832.复旦大学 概率论 1979
3.茆诗松.程依明 概率论与数理统计教程 20044.盛骤.谢式千 概率论与数理统计 1979
1.期刊论文 刘心华 构建概率模型证明等式 -池州师专学报2002,16(3)
在数学等式证明中,人们很少把等式中的数字或符号形象化、具体化,给等式建立起一个形象,直观的数学模型.而许多等式运用常规方法也难以证明或根本不能证明,更说不上给等式建立起数学模型.本文从构建数学模型的基本思想出发,对某些特殊类型的等式通过构建概率模型,给出它们的一种概率证法.
2.期刊论文 杨晓华 利用概率方法证明恒等式 -科技信息2010,\"\"(6)
针对不同的恒等式,本文通过建立适当的概率模型,应用概率方法将其证明,起到事半功倍的效果,并且解决问题的方法及过程直观、清晰,具有直观的概率背景,易于掌握.
3.期刊论文 刘军.望清凤.Liu Jun.Wang Qingfeng 数学分析中一些等式的概率方法证明 -三峡大学学报（自然科学版）2005,27(3)
证明数学分析中等式和极限式的方法多种多样,通过对几个具体例子的证明来说明构造概率模型证明一类等式和极限式的概率方法,这样把概率论的知识与其他数学分支,高等数学与初等数学联系起来,从而拓宽了解题思路,显示出概率方法在应用上的广泛性和优越性.
4.期刊论文 斯日古楞.Seriguleng 数学期望的应用 -内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)2000,29(1)
通过构造概率模型或引进随机变量,给出数学期望的简单应用.
5.期刊论文 姚仲明 恒等式证明的概率模型法 -安庆师范学院学报(自然科学版)2003,9(4)
本文利用建立概率模型,证明几个重要的恒等式.有些恒等式用常用的分析方法证明是很不易的,但建立了概率模型后,通过求概率或求数学期望,很方便地把恒等式证明出来.
6.学位论文 王笑蓉 蚁群优化的理论模型及在生产调度中的应用研究 2003
该文定义了蚁群算法考虑结点模式和弧模式信息索分布的解构造图,并把蚁群算法的解构造过程形象为蚂蚁在解构成元素组成的解构造图上按照分布在弧或者结点上的信息素指引进行概率性旅行的问题,并提出了蚁群算法基于解构造图的解空间参数化概率分布模型并在此模型上提出了蚁群算法的统一框架.基于解空间参数化概率分布模型,首先提出了一个以概率1收敛于最优解的解空间概率分布的迭代更新过程,然后提出了通过最小化不同分布间的交互熵距离以及蒙特卡洛采样来逼近此迭代过程的最小交互熵信息素更新规则,接着分别给出了弧模式以及结点模式信息素分布模型下的最小交互熵等式.该章最后提出了解决并行机调度问题的蚁群算法,该算法把并行机调度问题映射为无约束矩阵解构造图,并在算法的信息素更新过程中应用了无约束矩阵解构造图的局部归一化蚂蚁种子信息素更新规则,与其他几个高性能算法的仿真对比试验证明这种方法是非常有效的.把组合优化问题描述为一个多阶段序列决策问题,并对蚁群优化算法中解构造过程所对应的有限状态马尔科夫决策过程用强化学习理论的框架进行描述,同时说明了所有蚁群算法均满足强化学习理论中基于马尔科夫状态的不完全信息的广义策略迭代算法框架.提出了Flowshop问题的一个局部归一化蚂蚁种子算法ACO_NORM,一个引入停滞状态脱离机制以及信息素踪迹限制机制的ACO_STAG算法和一个基于资格迹的Ant-Q(λ)算法.提出了一种ACO-BATCH算法,用于解决有限批量流水线分批与优化调度问题.在考虑与批处理顺序相关的批处理设备准备时间和产品批在处理设备间的传输时间基础上,提出了无中间存储策略(NIS)和零等待存储策略(ZW)下流水作业工序流程的仿真模型和基于此模型的完成时间算法.一组60个仿真测试问题的求解结果说明了算法的有效性.
7.期刊论文 刘维先.孙莹 建立概率模型解代数问题 -南阳师范学院学报2003,2(3)
通过建立概率模型,求解数列、排列组合等代数问题.
8.期刊论文 邵红 离散型随机变量数学期望的推广及其应用 -中国科教创新导刊2008,\"\"(14)
本文基于概率中有限离散型随机变量数学期望的理论,给出证明数学不等式的概率模型法.
9.会议论文 李春兰.张丽娜 一个新的组合公式及其概率模型 2008
本文在传统组合公式的基础上,归纳出一个新的组合恒等式,利用函数幂级数展开式给出了证明。并利用该 公式描述了一类有限总体无放回抽样的概率模型。
10.期刊论文 刘云.王阳 巧用概率模型解决代数问题 -和田师范专科学校学报2008,28(2)
本文从数列求和,证明代数恒等式、证不等式、解排列组合应用题四个方面介绍如何设计概率模型,利用概率方法求解代数问题.显示概率论思想在解决某些数学问题时所具有的独特而简洁的功效.
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