2020年上海新高一新教材数学讲义-专题11 幂函数(教师版)

专题11 幂函数

（幂函数的定义与图像，幂函数的性质）

知识梳理

一、幂函数 1、幂的有关概念：

（nN*) 正整数指数幂：anaaan个零指数幂：a01(a0) 负整数指数幂：ap分数指数幂：

1(a0,pN*) paanamnmnam(a0,m,nN*且n1) 1amn1nam(a0,m,nN*,n1)

2、幂函数的定义：

形如yx的函数叫幂函数。

注意：幂函数的底数是变量x，系数是1，高中阶段指数取有理数k。 3、幂函数的图象.

根据幂函数的定义域,先作出其在第一象限的图象,再由其奇偶性作出其他象限的图形,具体见下图,yxk(kQ)的图象. 其中n,mN*,m2,m,n互质.

k

4、幂函数的性质

所有的幂函数在（0，）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1）

•k>0时：（图A）

（1）图象都通过（0，0），（1，1）；

（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大（增函数）。

•k<0时；（图B）

（1）图象都通过点（1，1）（2）在第一象限内，函数值随x的增大而减小（减函数） （3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。

•设幂函数yxk的指数kq，其中p、q互素 p当p是偶数时，yxk的定义域关于原点不对称，故它是非奇非偶函数；

当p是奇数时，如果q是偶数，那么yxk是偶函数；如果q是奇数，那么yxk是奇函数

当k0时，幂函数的单调区间是整个定义域，或是将定义域分为两个单调区间.具体情况可由上述图像直观得到

热身练习

1、下列命题中正确的是（）

A 当m=0时，函数yxm的图像是一条直线 B 幂函数的图像都经过（0,0），

（1,1）两点

C 幂函数yxm图像不可能在第四象限内 D 若幂函数yxm为奇函数，则

yxm是定义域内的增函数

【难度】★【答案】C

2、幂函数①yx1,②yx及直线③y1，④x1将直角坐标系第一象限分成八个区域：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ，那么幂函数yx（）

A．Ⅳ，Ⅶ ；B． Ⅳ，Ⅷ；Ｃ．Ⅲ，Ⅷ；D． Ⅲ，Ⅶ

【难度】★ 【答案】D

32的图象在第一象限中经过的区域是

yyx1Ⅲ

Ⅱ

Ⅳ

Ⅰ

yxy1Ⅴ

Ⅵ O

3、设1,1,,3，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有的值为

Ⅶ

Ⅷ

x1x

12【难度】★★【答案】1,3

4、求函数yxm

2m1(mN)的定义域、值域，并判断其单调性

【难度】★★

【答案】因为m2m1m(m1)1必为奇数，且大于0，所以定义域为R，值域为R，并且在(,)上为增函数

例题解析

考点一、幂函数的概念

【例1】下列函数中，是幂函数的是（ ）

31x3A．y B．y C．y2x D．y2x

x232【难度】★【答案】A 【例2】函数yx32的定义域是_____.

【难度】★★【答案】(0,)

【例3】函数y(m2m1)xm22m1是幂函数，求m的值

【难度】★★【答案】-1或2

【例4】函数y(mx4xm2)

214(m2mx1)的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是

，∞) 【难度】★★【答案】(51

【巩固训练】

1．如果幂函数yf(x)的图象经过点(2,2)，则f(4)的值等于（ 2 ）.

A. 16 B. 2 C.

11 D. 162【难度】★【答案】D

2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.

A.yx B. yx C. yx D.yx124213

【难度】★★【答案】B

30yxx(x3)3．求函数的定义域.

12【难度】★★【答案】{x|x0,且x3}

4．关于幂函数有下列的四个命题，其中，真命题是（）． A．幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数 B．如果一个幂函数有反函数，那么它一定为奇函数 C．图像不经过点(1,1)的幂函数，一定不是偶函数

D．如果两个幂函数有三个公共点，那么，这两个函数一定相同 【难度】★★【答案】C

考点二、幂函数的奇偶性

【例5】已知幂函数yxm6(mZ)与yx2m(mZ)的图象都与x、y轴都没有公共点，且

yxm2(mZ)的图象关于y轴对称，求m的值．

【难度】★★【答案】m2,4,6

【例6】已知函数f(x)x2m

2m3(mZ)为偶函数，且f(3)f(5)，求m的值，并确定f(x)的

解析式．

【难度】★★【答案】f(x)x2

【例7】f(x)x3x2x2x2xx2的最大值为M,最小值为m，则Mm= 【难度】★★【答案】2

【巩固训练】

1．幂函数f(x)(tt1)x373t2t25是偶函数，且在(0,)上为增函数，求函数解析式.

85【难度】★★【答案】f(x)x或f(x)x.

2．已知幂函数yxm2(mN)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象

【难度】★★ 【答案】

25，y轴都无交点，m20，即m2．又mN，m01，，2． 图象与x幂函数图象关于y轴对称，m0，或m2．

2当m0时，函数为yx，图象如图1；当m2时，函数为yx01(x0)，图象如图

1．

考点三、幂函数的图像和单调性

【例8】比较下列各组数的大小： （1）1.5，1.7，1；（2）21313，3，5373737；

（3）42，10，1.13 272323【难度】【答案】（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函

0,上单调递增，且1.71.51，∴1.71.51．

数值的大小问题．∵yx在

（2）底数均为负数，可以将其转化为2131313372，33737337，

537375．

37∵yx在0,上单调递增，且532， ∴

532，即537373737373737337237，∴

532222323．

（3）先将指数统一，底数化成正数．

210，27234210，31.11.213．

723

727∵yx在0,上单调递减，且1.21，∴10210232322231.21，

237即：10

2322231.1．

43【例9】幂函数y=

1x2mm2在第二象限内为x的减函数，求m的最大负整数值

【难度】★★

【答案】原函数即为y=xm2m2（x≠0），要使得y=xm2m2（x≠0）在第二象限有定义，则必

为偶函数，于是m2+m-2>0，解不等式得m<-2或m>1，当m=-3时，m2+m-2=4是偶数，满足函数是偶函数，m=-3为所求。

【例10】已知函数fxmmx2m22m3，当m为何值时，fx在第一象限内它的图像

是上升曲线 【难度】★★

m2m0m2m0【答案】2或2得：m,1m2m30m2m30

【例11】若(m1)4(32m)4，试求实数m的取值范围． 【难度】★★【答案】m

【例12】已知函数(1a)【难度】★★

【答案】根据幂函数的性质，

133,或m1,0

2，或m＞4 3(32a)，求a的取值范围

13

a10a10a10有三种可能：或32a0或32a0，解得：

32a0a132aa132a23a,1,．

32

x3,x0【例13】f(x)，不等式f(1x2)f(2x)的解集

0,x0【难度】★★【答案】1x21

【例14】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)x22x (x≥0)，若f(3a2)f(2a)，则实数a的取值范围是________． 【难度】★★【答案】3

【例15】（1）f(x)的图像向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到g(x)x1

x2x1的图像，则f(x)= （2）f(x)xa,(ab0)的单调区间 ，对称中心 ，若xbf(x)是由某个幂函数平移得到，则a,b满足的条件 3x7（2）(,b)和(b,)；(b,1)；ab1 2x5【难度】★★【答案】（1）f(x)

【例16】利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）

（1）y(x2)【难度】★★

53x22x21；（2）y2．

x2x1【答案】（1）函数y(x2)移1个单位而得到．

531的图象可以由yx53的图象向右平移2个单位，再向下平

x22x2111y11,y2（），把函数的图象向左

x2x22x1x22x1(x1)2x22x2平移1个单位，再向上平移1个单位，可以得到函数y2的图象．

x2x1

【例17】（1）

2xa,(x0)有两个不同的解，则a的取值范围 x（2）f(x)xaxb,(ab0)的单调区间 1

（3）方程x2+2x－1＝0的解可视为函数y＝x+2的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若

xx4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk (k≤4)所对应的点(xi,)（i＝1,2,…,k）均在直线yxi＝x的同侧，则实数a的取值范围是

【难度】★★【答案】（1）(0,1)（2）(,b)和(b,)（3）(,6)(6,)

4

【巩固训练】

1．下列函数中，在,0是增函数的是（）

31A. yx B. yx C. y D. yx2

x32【难度】★★【答案】A

2．比较下列各组中两个值大小

（1）0.6与0.7（2）(0.88)与(0.).【难度】★★

【答案】（1）∵函数yx在(0,)上是增函数且00.60.7∴0.60.7

（2）函数yx在(0,)上增函数且00.880.∵0.880.

∴0.880.，即(0.88)(0.).

4．若(m1)(32m)，试求实数m的取值范围． 【难度】★★【答案】1≤m131212535353536116115353

61161161153535323

5、函数yx和yx图象满足

3 （）

A．关于原点对称 C．关于y轴对称

【难度】★★【答案】D

6、函数yx的图象是（）

43B．关于x轴对称 D．关于直线yx对称

【难度】★★【答案】A

7、设f(x)xx3，若ab0,bc0,ac0，则f(a)f(b)f(c)与0的大小关系 【难度】★★【答案】

1,(x1)8、f(x)x1，若关于x的方程f2(x)bf(x)c0有三个不同的实数解

1,(x1)222x1,x2,x3，则x1x2x3

【难度】★★【答案】5

考点四、幂函数综合运用(性质运用、与方程、不等式的联系）

【例18】已知函数f(x)xk2k2(kN)满足f(2)f(3)，

（1）求k的值并求出相应的f(x)的解析式；

（2）对于（1）中得到的函数f(x)，试判断是否存在正实数q，使函数

17g(x)1qf(x)(2q1)x在区间1,2上的值域为4,？若存在，求出q；若不存在，

8说明理由。 【难度】★★★

【答案】（1）因为f(2)f(3)，所以f(x)在第一象限是增函数 故k2k20，解得1k2，又kN，所以k0或k1，

当k0或k1时，k2k22，所以f(x)x2

（2）假设存在q0满足题设，由（1）知，g(x)qx2(2q1)x1，x1,2

2q14q21,)处取到， 因为g(2)1，所以两个最值点只能在端点(1,g(1))和顶点(2q4q4q214q21(4q1)2g(1)(23q)0， 而

4q4q4q4q2117，g(x)ming(2)23q4，解得q2，所以存在q2满所以g(x)max4q8足题意。

ax21【例19】已知函数fx是奇函数，a,b,c为常数

bxc（1）求实数c的值；

（2）若a,bZ，且f12,f23，求fx的解析式；

（3）对于（2）中的fx，若fxm2x对x0,恒成立，求实数m的取值范围 【难度】★★ 【答案】（1）

22ax1ax1

fxfx，bxcbxcbxcbxcc0

（2）

a12b f12,f23，4a132b4a131a2 a1a12b4a132bx211aZ,a0或1，当a0时，b（舍），当a1时，b1，fx

x2

（3）

111fxxxm2xm3x对x0,恒成立

xxx3x

1331时等号成立即x时，3x23m23 23，当且仅当xx33xmin【例20】对于函数yf(x)，xD，若同时满足以下条件：①f(x)在D上单调递增或单调递减；②存在区间[a,b]D，使f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b]，则称函数f(x)是闭函数．

（1）求函数f(x)x3，符合条件②的区间[a,b]； （2）当a0,b12时判断函数y2x

4是不是闭函数，并说明理由； x（3）若函数yx2k是闭函数，求实数k的取值范围． 【难度】★★★

ba33【答案】（1）由f(x)x3在[a,b]上为减函数，得ab，解之得a1,b1，∴所

ab求区间为[1,1]．

（2）取x11,x210，可得f(x)不是减函数，取x1是增函数，∴f(x)不是闭函数．

（3）设函数符合条件②的区间为[a,b]，则aka2bkb211,x2，可得f(x)在(0,)不10100，

x2(2k1)xk220故a，b是方程xkx2的两个实根，命题等价于x2有两个不相等

xk2k1229922的实根，当k2时，(2k1)4(k2)0，解得k，∴k(,2]．当k244222(2k1)kk20

2k12k22时，(2k1)4(k2)0，无解．

22k(2k1)kk209∴k的取值范围是k(,2]．

4【巩固训练】

1．若直线ykx1与曲线yx11x有四个不同交点，则实数k的取值范围是（）. xxA.,0,181111111 B., C., D., 8888888【难度】★★★【答案】A

2.已知函数f(x)11，是否存在ab且a,b1,，使得当函数f(x)的定义域xab为a,b，值域为,？若存在，求出a,b，若不存在，说明理由；

88【难度】★★★【答案】a422,b422 3、已知函数f(x)ax2成立．

（1）求a、c的值； （2）若h(x)1xc（a、cR），满足f(1)0，且f(x)0在xR时恒232b1xbx，解不等式f(x)h(x)0； 424（3）是否存在实数m，使函数g(x)f(x)mx在区间[m,m2]上有最小值5？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★

【答案】（1）由f(1)0，得ac1， 2因为f(x)0在xR时恒成立，所以a0且△211， 4ac0，ac416111111即aa，a2a0，a0，所以ac．

214216（2）由（1）得f(x)1211xx，由f(x)h(x)0， 424得x2b1b1x0，即(xb)x0， 222所以，当b1111时，原不等式解集为(b,)；当b时，原不等式解集为(,b)； 2222当b1时，原不等式解集为空集． 21211xmx， 442（3）g(x)g(x)的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线x2m1．

假设存在实数m，使函数g(x)在区间[m,m2]上有最小值5．

①当2m1m，即m1时，函数g(x)在区间[m,m2]上是增函数，所以g(m)5， 即

12117mmm5，解得m3或m，因为m1，所以m3； 4432②当m2m1m2，即1m1时，函数g(x)的最小值为g(2m1)5，

即

121121111(2m1)2m(2m1)5，解得m或m，均舍去；

2222442③当2m1m2，即m1时，g(x)在区间[m,m2]上是减函数，所以g(m2)5， 即

111(m2)2m(m2)5，解得m122或m122， 442

因m1，所以m122．

综上，存在实数m，m3或m122时，函数g(x)在区间[m,m2]上有最小值

5．

反思总结

（，0）(0,)若m是奇数，则Dn*当k0,设k(m,nN且互质)m若m是奇数，则D(0,)定义域若m是奇数，则DRn*当k0,设km(m,nN且互质)若m是奇数，则D[0,)nmm是偶数时，yx是非奇非偶函数n奇偶性m是奇数，n是偶数时，yxm是偶函数幂函数 nm是奇数，n是奇数时，yxm是奇函数k当k0时，yx在(0,)是递增的单调性(x0)k当k0时，yx在(0,)是递减的(1,1)图像都经过点图像及性质图像都不经过第四象限两个幂函数图像最多三个交点课后练习

ayx1．讨论幂函数(a为有理数)的定义域

【难度】★★

【答案】(1)若aN，则xR，这是函数的定义域为R.

(2)若a{负整数} {0}，则x(,0)(0,)，这时函数的定义域是(,0)(0,) (3)若an(m,nN*,且m,n互质)，则： m*①m是偶数，xR，这是函数的定义域是R；

②m是奇数，xR，这时函数的定义域为R (4)若an(m,nN*,且m,n互质)，则： m①m是偶数，xR，这是函数的定义域是R；

②m是奇数，x(,0)(0,)，这时函数的定义域是(,0)(0,).

2．函数yx3和yx图象满足

13 （ ） D．关于直线

A．关于原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称

yx对称

【难度】★【答案】D 3．已知幂函数yxm22m3（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求

m的值．

【难度】★★【答案】∵幂函数yx2∴m2m30，∴1m3；

22∵mZ，∴(m2m3)Z，又函数图象关于原点对称，∴m2m3是奇数，∴

m22m3（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，

m0或m2．

4．证明幂函数f(x)x在[0,)上是增函数 【难度】★★【答案】设0x1x2， 则f(x1)f(x2)x1x2121212x1x2x1x2

x1x2x1x2x1x20x1x20 f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2)5．已知函数f(x)，此函数在[0,)上是增函数

11 ((a0,x0). ax（1）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数；

（2）若f(x)2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；

（3）若f(x)在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求a的取值范围. 【难度】★★

【答案】（1）证明任取x1x20

111111xxf(x1)f(x2)()()12

ax1ax2x2x1x1x2∵x1x20，∴x1x20，x1x20，

∴f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(0,+∞)上是增函数. （2）解：∵

112x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0, ax∴

a12x1在（0，+∞）上恒成立， x令

g(x)12x11x122x1x212时取等号 4，当且仅当2x(x0)即x=

x2要使

a1在(0,+∞)上恒成立，则a 2x4x2故a的取值范围是［

2,+∞)． 4（3）解：由（1）f(x)在定义域上是增函数.

1122∴mf(m),nf(n)，即mm10，nn10

aa2故方程x11x10有两个不相等的正根m，n，注意到mn1，mn0 aa121故只需要(()40,由于a0，则0a．

a2

6．比例下列各组数的大小.

78（1）81和()8；（2）(–2)–3和(–2.5)–3；

92(4.1)5233和(1.9)57（3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1；（4）【难度】★★ 【答案】（1）878778,(3.8).

11111()8，函数yx8在(0, +∞)上为增函数，又，则()8()8，

87777从而81()8.

9（2）幂函数y = x–3在(–∞, 0)和(0, +∞)上为减函数，又∵–2＞–2.5，∴(–2)–3＜(–2.5)–3. （3）幂函数y = x–0.1在(0, +∞)上为减函数，又∵1.1＜1.2，∴1.1–0.1＞1.2–0.1.

2(4.1)5（4）

＞

251= 1；0＜(3.8)23＜123= 1；

3(1.9)5＜0，∴

3(1.9)5＜(3.8)23＜

2(4.1)5.

7．函数yx22x24的单调递减区间是

B．[6,)

C．(,1]

D．[1,)

（）

A．(,6]

【难度】★★【答案】A

8．对于幂函数f(x)x，若0x1x2，则f(45x1x2f(x1)f(x2))，大小关系是（） 22x1x2f(x1)f(x2)) 22A．f(x1x2f(x1)f(x2)) 22B．f(

C．f(x1x2f(x1)f(x2))22

D．无法确定

【难度】★★【答案】A 9．yxa24a9是偶函数，且在(0,)是减函数，则整数a的值是.

【难度】★★【答案】5

10．若(m1)1(32m)1，则实数m的取值范围为（）

1)， D. m 1) C. m(∞，A.m， B. m(∞，32322323【难度】★★【答案】C

111．如图的曲线是幂函数yxn在第一象限内的图象. 已知n分别取2，四个值，与曲线c1、

2c2、c3、c4相应的n依次为（）.

11A．2,,,2

2211B. 2,,2,

2211C. ,2,2,

2211D. 2,,,2

22

【难度】★★【答案】A

12．已知幂函数f(x)xm22m3(m∈Z)为偶函数,且在区间（0，+∞）上是单调减函数.(1)

求函数f(x)；(2)讨论F(x)af(x)b的奇偶性. xf(x)【难度】★★★

【答案】（1）∵f(x)是偶函数，∴m22m3应为偶数。又∵f(x)在（0，+∞）上是单调减函数，∴m22m3<0，-113．写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：

3222（1）yx（2）yx（3）yx（4）yxx（5）yxx121212（6）

f(x)x3(x)

【难度】★★

【答案】（1）此函数的定义域为R，（2）yx121214f(x)(x)3x3f(x)∴此函数为奇函数．

此函数的定义域不关于原点对称

x∴此函数的定义域为[0,)∴此函数为非奇非偶函数．

（3）yx21∴此函数的定义域为(,0)(0,)x2f(x)11f(x) (x)2x2∴此函数为偶函数

222（4）yxxx1∴此函数的定义域为(,0)(0,) x2f(x)(x)21212112xf(x)∴此函数为偶函数 (x)2x2（5）yxx称

x1∴此函数的定义域为[0,)x此函数的定义域不关于原点对

∴此函数为非奇非偶函数 （6）f(x)x3(x)1214x34x x0x0∴此函数的定义域为{0} x0∴此函数既是奇函数又是偶函数

25m314．已知函数fxmm1x，当m为何值时，fx：

（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是0,上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数。

【难度】★★【答案】（1）m2或m1（2）m1（3）

m42m5（4）5（5）

m1

15．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.

（1）yx；（2）yx；（3）yx； （4）yx；（5）yx；（6）yx

2312321323．

【难度】★★【答案】（1）（A），（2）（F），（3）（E），（4）（C），（5）（D），（6）（B）．

16．函数y(x1)2的递增区间是___________ 【难度】★★【答案】(,1)

17．设yfx和ygx是两个不同的幂函数，集合Mxfxgx，则集合中的元素个是

【难度】★★【答案】1或2或3

18、已知函数f(x)2|xm1|，m0且满足f(2)2.

x4（1）求实数m的值；

（2）f(x)kx有三个解，求k的取值范围。 【难度】★★★【答案】m1；(0,)

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