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2019年北京市中考数学真题

来源:六九路网
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绝密★启用前

2019年北京市中考数学试卷

试卷副标题

考试范围:xxx;考试时间:120分钟;命题人:xxx

题号 得分 评卷人 一 二 三 总分 得分 ○○ …__…_…___……___…_…_:…订号考订…__…_…___……___…_…_:…○级班○…__…_…___……___…_…_:…装名姓装…___……___…_…__…_…_:校…○学○……………………外内……………………○○…………………… 一、 选择题(共8题)

1. (2分)4月24日是中国航天日.1970年的这一天,我国自行设计、制造的第一颗

人造地球卫星“东方红一号”成功发射,标志着中国从此进入了太空时代,它的运行轨道,距地球最近点439000米,将439000用科学记数法表示应为( ). A.0.439×106

B.4.39×106

C.4.39×105

D.439×103

2. (2分)下列倡导节约的图案中,是轴对称图形的是( ).

A.

B.

C.

D.

3. (2分)正十边形的外角和为( ).

A.180∘

B.360∘

C.720∘

D.1440∘

4. (2分)在数轴上,点𝐴,𝐵在原点𝑂的两侧,分别表示数𝑎,2,将点𝐴向右平移1个

单位长度,得到点𝐶,若𝐶𝑂=𝐵𝑂,则𝑎的值为( ). A.−3

B.−2

C.−1

D.1

5. (2分)已知锐角∠𝐴𝑂𝐵,如图,

(1)在射线𝑂𝐴上取一点𝐶,以点𝑂为圆心,𝑂𝐶长为半径作𝑃𝑄⏜,交射线𝑂𝐵于点𝐷,连接𝐶𝐷;

(2)分别以点𝐶,𝐷为圆心,𝐶𝐷长为半径作弧,交𝑃𝑄⏜于点𝑀,𝑁; (3)连接𝑂𝑀,𝑀𝑁.

试卷第1页,总8页

…………线…………○……

根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是( ).

A. ∠𝐶𝑂𝑀=∠𝐶𝑂𝐷

∘…………线…………○……B. 若𝑂𝑀=𝑀𝑁.则∠𝐴𝑂𝐵=20 C.𝑀𝑁//𝐶𝐷 D.𝑀𝑁=3𝐶𝐷

6. (2分)如果𝑚+𝑛=1,那么代数式(2𝑚+𝑛1

𝑚2−𝑚𝑛

+𝑚)∙(𝑚2−𝑛2)的值为( ).

A.−3

B.−1

C.1

D.3

7. (2分)用三个不等式𝑎>𝑏,𝑎𝑏>0,1𝑎<1𝑏中的两个不等式作为题设,余下的一

个不等式作为结论组成一个命题,组成真命题的个数为( ). A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

8. (2分)某校共有200名学生,为了解本学期学生参加公益劳动的情况,收集了他

们参加公益劳动时间(单位:小时)等数据,以下是根据数据绘制的统计图表的一部分 时间t 0⩽𝑡<10⩽𝑡<20⩽𝑡<30⩽𝑡<𝑡⩾40 人数 10 20 30 40 学生类型 性别 男 7 31 25 30 4 女 8 29 26 32 8 学段 初中 25 36 44 11 高中 试卷第2页,总8页

○○… ※……※…题…※……※答…订※…※订内……※※……线※……※…○订※○…※装……※…※…在……※※…装要…※装※……不※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○………………………………线…………○………………线…………○……

下面有四个推断:

○○ …__…_…___……___…_…_:…订号考订…__…_…___……___…_…_:…○级班○…__…_…___……___…_…_:…装名姓装…___……___…_…__…_…_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………① 这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5~25.5之间 ② 这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20~30之间

③ 这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20~30之间 ④ 这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20~30之间 所有合理推断的序号是( ). A. ① ③ B. ② ④ C. ① ② ③ D. ① ② ③ ④ 评卷人 得分 二、 填空题(共8题)

9. (2分)分式𝑥−1𝑥

的值为0,则𝑥的值是 .

10. (2分)如图,已知△𝐴𝐵𝐶,通过测量、计算得△𝐴𝐵𝐶的面积约为 c𝑚2.(结

果保留一位小数)

11. (2分)在如图所示的几何体中,其三视图中有矩形的是 .(写出所有正

确答案的序号)

12. (2分)如图所示的网格是正方形网格,则∠𝑃𝐴𝐵+∠𝑃𝐵𝐴= ∘(点𝐴,𝐵,

𝑃是网格线交点).

试卷第3页,总8页

…………线…………○……

𝑘

13. (2分)在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中,点𝐴(𝑎,𝑏)(𝑎>0,𝑏>0)在双曲线𝑦=1上,点𝐴

𝑥

𝑘

关于𝑥轴的对称点𝐵在双曲线𝑦=2,则𝑘1+𝑘2的值为 .

𝑥

14. (2分)把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角

形分别拼成如图2,图3所示的正方形,则图1中菱形的面积为 .

…………线…………○……

15. (2分)小天想要计算一组数据92,90,94,86,99,85的方差s20,在计算平均数

的过程中,将这组数据中的每一个数都减去90,得到一组新数据2,0,4,−4,9,

−5,记这组新数据的方差为s21,则s21 s20(填“>”,“=”或”<”)

. 16. (2分)在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中,𝑀,𝑁,𝑃,𝑄分别为边𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐷,𝐷𝐴上的点(不与

端点重合),对于任意矩形𝐴𝐵𝐶𝐷,下面四个结论中, ① 存在无数个四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是平行四边形; ② 存在无数个四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是矩形; ③ 存在无数个四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是菱形; ④ 至少存在一个四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是正方形. 所有正确结论的序号是 . 评卷人 得分 三、 解答题(共12题)

17. (5分)计算:|−√3|−(4−π)0

+2𝑠𝑖𝑛60∘

+(1−1

4). 18. (𝑥−1)<𝑥+2

(分)解不等式组:{𝑥+73>𝑥

19. (5分)关于𝑥的方程𝑥2−2𝑥+2𝑚−1=0有实数根,且𝑚为正整数,求𝑚的值及

此时方程的根.

20. (5分)如图,在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中,𝐴𝐶为对角线,点𝐸,

𝐹分别在𝐴𝐵,𝐴𝐷上,𝐵𝐸=𝐷𝐹,连接𝐸𝐹.

(1)求证:𝐴𝐶⊥𝐸𝐹;

(2)延长𝐸𝐹交𝐶𝐷的延长线于点𝐺,连接𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝑂.若𝐵𝐷=4,𝑡𝑎𝑛𝐺=1

2,试卷第4页,总8页

○○… ※……※…题…※……※答…订※…※订内……※※……线※……※…○订※○…※装……※……※在……※※…装要装…※※……不※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○………………………………线…………○………………线…………○……

求𝐴𝑂的长.

21. (5分)国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家

创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息:

○○ …__…_…___……___…_…_:…订号考订…__…_…___……___…_…_:…○级班○…__…_…___……___…_…_:…装名姓装…___……___…_…__…_…_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………a.国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成7组:30⩽𝑥<40,40⩽𝑥<50,50⩽𝑥<60,60⩽𝑥<80,70⩽𝑥<80,80⩽𝑥<90,90⩽𝑥<100)

b.国家创新指数得分在60⩽𝑥<70这一组的是: 61.7,62.4,63.6,65.9,66.4,68.5,69.1,69.3,69.5

c.40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图:

d.中国的国家创新指数得分为69.5.

(以上数据来源于《国家创新指数报告(..................

2018)》)根据以上信息,回答下列问题: (1)中国的国家创新指数得分排名世界第 ;

(2)在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中,包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方,请在图中用“〇”圈出代表中国的点;

(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中,人均国内生产总值的最小值约为 万美元;(结果保留一位小数) (4)下列推断合理的是 .

① 相比于点𝐴,𝐵所代表的国家,中国的国家创新指数得分还有一定差距,中国提

试卷第5页,总8页

…………线…………○……

出“加快建设创新型国家”的战略任务,进一步提高国家综合创新能力;

② 相比于点𝐵,𝐶所代表的国家,中国的人均国内生产总值还有一定差距,中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标,进一步提高人均国内生产总值.

22. (6分)在平面内,给定不在同一条直线上的点𝐴,𝐵,𝐶,如图所示,点𝑂到点𝐴,

𝐵,𝐶的距离均等于𝑎(𝑎为常数),到点𝑂的距离等于𝑎的所有点组成图形𝐺,∠𝐴𝐵𝐶的平分线交图形𝐺于点𝐷,连接𝐴𝐷,𝐶𝐷. (1)求证:𝐴𝐷=𝐶𝐷;

…………线…………○……(2)过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐴,垂足为𝐸,作𝐷𝐹⊥𝐵𝐶,垂足为𝐹,延长𝐷𝐹交图形𝐺于点𝑀,连接𝐶𝑀.若𝐴𝐷=𝐶𝑀,求直线𝐷𝐸与图形𝐺的公共点个数.

23. (6分)小云想用7天的时间背诵若干首诗词,背诵计划如下:

① 将诗词分成4组,第𝑖组有𝑥𝑖首,𝑖=1,2,3,4;

② 对于第𝑖组诗词,第𝑖天背诵第一遍,第(𝑖+1)天背诵第二遍,第(𝑖+3)天背诵第三遍,三遍后完成背诵,其它天无需背诵,𝑖=1,2,3,4; 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 𝑥1 𝑥1 𝑥1 第2组 𝑥2 𝑥2 𝑥2 第3组 第4组 𝑥4 𝑥4 𝑥4 ③ 每天最多背诵14首,最少背诵4首. 解答下列问题: (1)填入𝑥3补全上表;

(2)若𝑥1=4,𝑥2=3,𝑥3=4,则𝑥4的所有可能取值为 ; (3)7天后,小云背诵的诗词最多为 首.

24. (6分)如图,𝑃是𝐴𝐵

⏜与弦𝐴𝐵所围成的图形的外部的一定点,𝐶是𝐴𝐵⏜上一动点,连接𝑃𝐶交弦𝐴𝐵于点𝐷.

小腾根据学习函数的经验,对线段𝑃𝐶,𝑃𝐷,𝐴𝐷的长度之间的关系进行了探究.下面是小腾的探究过程,请补充完整:

(1)对于点𝐶在𝐴𝐵⏜上的不同位置,画图、测量,得到了线段𝑃𝐶,𝑃𝐷,𝐴𝐷的长度的几组值,如下表:

试卷第6页,总8页

○○… ※……※…题…※……※答…订※…※订内……※※……线※……※…○订※○…※装……※…※…在……※※…装要…※装※……不※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○………………………………线…………○………………线…………○……

位置1 位置2 3.30 2.69 0.78 位置3 3.07 2.00 1. 位置4 2.70 1.36 2.30 位置5 2.25 0.96 3.01 位置6 2.25 1.13 4.00 位置7 2. 2.00 5.11 位置8 2.83 2.83 6.00 𝑃𝐶/c𝑚 3.44 𝑃𝐷/c𝑚 3.44 AD/c𝑚 0.00 在𝑃𝐶,𝑃𝐷,𝐴𝐷的长度这三个量中,确定 的长度是自变量, 的长度和 的长度都是这个自变量的函数;

○○ …__…_…___……___…_…_:…订号考订…__…_…___……___…_…_:…○级班○…__…_…___……___…_…_:…装名姓装…___……___…_…__…_…_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………

(2)在同一平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中,画出(1)中所确定的函数的图象;

(3)结合函数图象,解决问题:当𝑃𝐶=2𝑃𝐷时,𝐴𝐷的长度约为 c𝑚. 25. (5分)在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中,直线𝑙:𝑦=𝑘𝑥+1(𝑘≠0)与直线𝑥=𝑘,直线𝑦=

−𝑘分别交于点𝐴,𝐵,直线𝑥=𝑘与直线𝑦=−𝑘交于点𝐶. (1)求直线𝑙与𝑦轴的交点坐标;

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点,记线段𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶A围成的区域(不含边界)为𝑊.

① 当𝑘=2时,结合函数图象,求区域𝑊内的整点个数; ② 若区域𝑊内没有整点,直接写出𝑘的取值范围.

26. (6分)在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中,抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1𝑎与𝑦轴交于点𝐴,将点𝐴

向右平移2个单位长度,得到点𝐵,点𝐵在抛物线上. (1)求点𝐵的坐标(用含𝑎的式子表示); (2)求抛物线的对称轴;

(3)已知点𝑃(12,−1

𝑎),𝑄(2,2).若抛物线与线段𝑃𝑄恰有一个公共点,结合函数图

象,求𝑎的取值范围.

27. (7分)已知∠𝐴𝑂𝐵=30∘,𝐻为射线𝑂𝐴上一定点,𝑂𝐻=√3+1,𝑃为射线𝑂𝐵上一

点,𝑀为线段𝑂𝐻上一动点,连接𝑃𝑀,满足∠𝑂𝑀𝑃为钝角,以点𝑃为中心,将线段𝑃𝑀

试卷第7页,总8页

…………线…………○……

顺时针旋转150∘,得到线段𝑃𝑁,连接𝑂𝑁. (1)依题意补全图1; (2)求证:∠𝑂𝑀𝑃=∠𝑂𝑃𝑁;

(3)点𝑀关于点𝐻的对称点为𝑄,连接𝑄𝑃.写出一个𝑂𝑃的值,使得对于任意的点𝑀总有𝑂𝑁=𝑄𝑃,并证明.

…………线…………○……28. (7分)在△𝐴𝐵𝐶中,𝐷,𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶两边的中点,如果𝐷𝐸

⏜上的所有点都在△𝐴𝐵𝐶的内部或边上,则称𝐷𝐸⏜为△𝐴𝐵𝐶的中内弧.例如,图1中𝐷𝐸⏜是△𝐴𝐵𝐶的一条中内弧.

(1)如图2,在Rt△𝐴𝐵𝐶中,𝐴𝐵=𝐴𝐶=2√2,𝐷,𝐸分别是𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点,画出△𝐴𝐵𝐶的最长的中内弧𝐷𝐸

⏜,并直接写出此时𝐷𝐸⏜的长; (2)在平面直角坐标系中,已知点𝐴(0,2),𝐵(0,0),𝐶(4𝑡,0)(𝑡>0),在△𝐴𝐵𝐶中,𝐷,𝐸分别是𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点.

① 若𝑡=12,求△𝐴𝐵𝐶的中内弧𝐷𝐸

⏜所在圆的圆心𝑃的纵坐标的取值范围; ② 若在△𝐴𝐵𝐶中存在一条中内弧𝐷𝐸⏜,使得𝐷𝐸⏜所在圆的圆心𝑃在△𝐴𝐵𝐶的内部或边上,直接写出𝑡的取值范围.

试卷第8页,总8页

○○… ※……※…题…※……※答…订※…※订内……※※……线※……※…○订※○…※装……※…※…在……※※…装要…※装※……不※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○……………………

参及解析

一、 选择题 1. 【答案】C

【解析】解:将439000用科学记数法表示为4.39×105. 故选C

科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式,其中1⩽|𝑎|<10,𝑛为整数.确定𝑛的值时,要看把原数变成𝑎时,小数点移动了多少位,𝑛的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,𝑛是正数;当原数的绝对值<1时,𝑛是负数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式,其中1⩽|𝑎|<10,𝑛为整数,表示时关键要正确确定𝑎的值以及𝑛的值. 2. 【答案】C

【解析】解:A、不是轴对称图形,故此选项错误; B、不是轴对称图形,故此选项错误; C、是轴对称图形,故此选项正确; D、不是轴对称图形,故此选项错误. 故选C

如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,根据轴对称图形的概念求解.

此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合. 3. 【答案】B

【解析】解:因为任意多边形的外角和都等于360∘, 所以正十边形的外角和等于360∘. 故选B

根据多边的外角和定理进行选择.

本题考查了多边形外角和定理,关键是熟记:多边形的外角和等于360∘. 4. 【答案】A

【解析】解:∵点𝐶在原点的左侧,且𝐶𝑂=𝐵𝑂, ∴点𝐶表示的数为−2, ∴𝑎=−2−1=−3.

答案第1页,总18页

故选A

根据𝐶𝑂=𝐵𝑂可得点𝐶表示的数为−2,据此可得𝑎=−2−1=−3. 本题考查的是数轴,熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键. 5. 【答案】D

【解析】解:由作图知𝐶𝑀=𝐶𝐷=𝐷𝑁, ∴∠𝐶𝑂𝑀=∠𝐶𝑂𝐷,故𝐴选项正确;

∵𝑂𝑀=𝑂𝑁=𝑀𝑁, ∴△𝑂𝑀𝑁是等边三角形, ∴∠𝑀𝑂𝑁=60∘, ∵𝐶𝑀=𝐶𝐷=𝐷𝑁,

∴∠𝑀𝑂𝐴=∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝑂𝑁=1∠𝑀𝑂𝑁=20∘,故B选项正确;

3∵∠𝑀𝑂𝐴=∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝑂𝑁=20∘, ∴∠𝑂𝐶𝐷=∠𝑂𝐶𝑀=80∘, ∴∠𝑀𝐶𝐷=160∘,

1

又∠𝐶𝑀𝑁=∠𝐴𝑂𝑁=20∘,

2∴∠𝑀𝐶𝐷+∠𝐶𝑀𝑁=180∘, ∴𝑀𝑁//𝐶𝐷,故C选项正确;

∵𝑀𝐶+𝐶𝐷+𝐷𝑁>𝑀𝑁,且𝐶𝑀=𝐶𝐷=𝐷𝑁, ∴3𝐶𝐷>𝑀𝑁,故D选项错误. 故选D

由作图知𝐶𝑀=𝐶𝐷=𝐷𝑁,再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得.

本题主要考查作图-复杂作图,解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点. 6. 【答案】D

2𝑚+𝑛+𝑚−𝑛3𝑚

【解析】解:原式=∙(𝑚+𝑛)(𝑚−𝑛)=∙(𝑚+𝑛)(𝑚−𝑛)=

𝑚(𝑚−𝑛)𝑚(𝑚−𝑛)

答案第2页,总18页

3(𝑚+𝑛),

当𝑚+𝑛=1时,原式=3. 故选D

原式化简后,约分得到最简结果,把已知等式代入计算即可求出值. 此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 7. 【答案】D

【解析】解:① 若𝑎>𝑏,𝑎𝑏>0,则1<1,真命题;

𝑎𝑏② 若𝑎𝑏>0,1<𝑑1,则𝑎>𝑏,真命题;

𝑎𝑏③ 若𝑎>𝑏,1<1,则𝑎𝑏>0,真命题; 𝑎𝑏∴组成真命题的个数为3个. 故选D

由题意得出3个命题,由不等式的性质再判断真假即可.

本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义;熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键. 8. 【答案】C

【解析】解:① 解这200名学生参加公益劳动时间的平均数:① (24.5×97+25.5×103)÷200=25.015,一定在24.5~25.5之间,正确;

② 这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20~30之间,正确;

③ 这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20~30之间,正确; ④ 这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20~30之间,错误. 故选C

平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

本题考查了中位数与平均数,正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键. 二、 填空题 9. 【答案】1;

答案第3页,总18页

【解析】解:∵分式𝑥−1的值为0,

𝑥∴𝑥−1=0且𝑥≠0, ∴𝑥=1. 故答案为1.

根据分式的值为零的条件得到𝑥−1=0且𝑥≠0,易得𝑥≠1.

本题考查了分式的值为零的条件:当分式的分母不为零,分子为零时,分式的值为零.10. 【答案】1.9;

【解析】解:过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵的延长线于点𝐷,如图所示. 经过测量,𝐴𝐵=2.2c𝑚,𝐶𝐷=1.7c𝑚,

11

∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵∙𝐶𝐷=×2.2×1.7≈1.9(c𝑚2).

22故答案为1.9.

过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵的延长线于点𝐷,测量出𝐴𝐵,𝐶𝐷的长,再利用三角形的面积公式即可求出△𝐴𝐵𝐶的面积.

本题考查了三角形的面积,牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键.

11. 【答案】① ②;

【解析】解:长方体主视图,左视图,俯视图都是矩形, 圆柱体的主视图是矩形,左视图是矩形,俯视图是圆, 圆锥的主视图、左视图是等腰三角形,俯视图是带有圆心的圆, 故答案为① ② .

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形,据此作答. 本题主要考查三视图的知识,熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键. 12. 【答案】45;

【解析】解:延长𝐴𝑃交格点于𝐷,连接𝐵𝐷, 则𝑃𝐷2=𝐵𝐷2=1+22=5,𝑃𝐵2=12+32=10, ∴𝑃𝐷2+𝐷𝐵2=𝑃𝐵2,

答案第4页,总18页

∴∠𝑃𝐷𝐵=90∘,

∴∠𝐷𝑃𝐵=∠𝑃𝐴𝐵+∠𝑃𝐵𝐴=45∘, 故答案为45.

延长𝐴𝑃交格点于𝐷,连接𝐵𝐷,根据勾股定理得到𝑃𝐷2=𝐵𝐷2=1+22=5,𝑃𝐵2=12+32=10,求得𝑃𝐷2+𝐷𝐵2=𝑃𝐵2,于是得到∠𝑃𝐷𝐵=90∘,根据三角形外角的性质即可得到结论.

本题考查了勾股定理的逆定理,勾股定理,三角形的外角的性质,等腰直角三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键. 13. 【答案】0;

𝑘

【解析】解:∵点𝐴(𝑎,𝑏)(𝑎>0,𝑏>0)在双曲线𝑦=1上,

𝑥∴𝑘1=𝑎𝑏;

又∵点𝐴与点𝐵关于𝑥轴的对称, ∴𝐵(𝑎,−𝑏) ∵点𝐵在双曲线𝑦=∴𝑘2=−𝑎𝑏;

∴𝑘1+𝑘2=𝑎𝑏+(−𝑎𝑏)=0; 故答案为0.

𝑘

由点𝐴(𝑎,𝑏)(𝑎>0,𝑏>0)在双曲线𝑦=1上,可得𝑘1=𝑎𝑏,由点𝐴与点𝐵关于𝑥轴的对称,

𝑥可得到点𝐵的坐标,进而表示出𝑘2,然后得出答案.

考查反比例函数图象上的点坐标的特征,关于𝑥轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质. 14. 【答案】12;

【解析】解:如图1所示: ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形,

∴𝑂𝐴=𝑂𝐶,𝑂𝐵=𝑂𝐷,𝐴𝐶⊥𝐵𝐷, 设𝑂𝐴=𝑥,𝑂𝐵=𝑦,

答案第5页,总18页

𝑘2上, 𝑥

𝑥+𝑦=5

由题意得:{

𝑥−𝑦=1𝑥=3

解得:{

𝑦=2

∴𝐴𝐶=2𝑂𝐴=6,𝐵𝐷=2𝑂𝐵=4,

∴菱形ABCD的面积=1𝐴𝐶×𝐵𝐷=1×6×4=12;

22故答案为12.

由菱形的性质得出𝑂𝐴=𝑂𝐶,𝑂𝐵=𝑂𝐷,𝐴𝐶⊥𝐵𝐷,设𝑂𝐴=𝑥,𝑂𝐵=𝑦,由题意得:𝑥+𝑦=5𝑥=3

{解得:{,得出𝐴𝐶=2𝑂𝐴=6,𝐵𝐷=2𝑂𝐵=4,即可得出菱形的面积.

𝑦=2𝑥−𝑦=1

本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用;熟练掌握正方形和菱形的性质,由题意列出方程组是解题的关键.

15. 【答案】=;

【解析】解:∵一组数据中的每一个数据都加上(或都减去)同一个常数后,它的平均数都加上(或都减去)这一个常数,两数进行相减,方差不变,

2∴则s1=s20.

故答案为=.

根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数,那么这组数据的波动情况不变,即方差不变,即可得出答案.

𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛的平均数为𝑥̅,本题考查方差的意义:一般地设n个数据,则方差𝑆2=

1

[(𝑛𝑥1−𝑥̅)2+(𝑥2−𝑥̅)2+⋯+(𝑥𝑛−𝑥̅)2],它反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立,关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数,方差不变. 16. 【答案】① ② ③;

【解析】解:① 如图,∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形,连接𝐴𝐶,𝐵𝐷交于𝑂, 过点𝑂直线𝑀𝑃和𝑄𝑁,分别交𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐷,𝐴𝐷于𝑀,𝑁,𝑃,𝑄, 则四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是平行四边形,

故当𝑀𝑄//𝑃𝑁,𝑃𝑄//𝑀𝑁,四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是平行四边形,

答案第6页,总18页

故存在无数个四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是平行四边形;故正确;

② 如图,当𝑃𝑀=𝑄𝑁时,四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是菱形,故存在无数个四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是矩形;故正确;

③ 如图,当𝑃𝑀⊥𝑄𝑁时,存在无数个四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是菱形;故正确; ④ 当四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是正方形时,𝑀𝑄=𝑃𝑄, ∽

则△𝐴𝑀𝑄=△𝐷𝑄𝑃, ∴𝐴𝑀=𝑄𝐷,𝐴𝑄=𝑃𝐷, ∵𝑃𝐷=𝐵𝑀, ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷,

∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形与任意矩形𝐴𝐵𝐶𝐷矛盾,故错误; 故答案为① ② ③ .

根据矩形的判定和性质,菱形的判定,正方形的判定,平行四边形的判定定理即可得到结论.

本题考查了矩形的判定和性质,菱形的判定,正方形的判定,平行四边形的判定定理,熟记各定理是解题的关键.

三、 解答题

17. 【答案】解:原式=√3−1+2×3+4=√3−1+√3+4=3+2√3.

2 【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案

此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键. 4(𝑥−1)<𝑥+2①

18. 【答案】解:{𝑥+7

>𝑥②3解① 得:𝑥<2, 7

解② 得𝑥<,

27

则不等式组的解集为𝑥<.

2答案第7页,总18页

【解析】首先解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集. 本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键. 19. 【答案】答案见解析

【解析】解:∵关于x的方程𝑥2−2𝑥+2𝑚−1=0有实数根, ∴𝑏2−4𝑎𝑐=4−4(2𝑚−1)⩾0, 解得:𝑚⩽1, ∵𝑚为正整数, ∴𝑚=1,

∴𝑥2−2𝑥+1=0, 则(𝑥−1)2=0, 解得:𝑥1=𝑥2=1.

直接利用根的判别式得出𝑚的取值范围进而解方程得出答案. 此题主要考查了根的判别式,正确得出𝑚的值是解题关键. 20. 【答案】(1)证明:连接BD,如图1所示:

∵四边形ABCD是菱形,

∴𝐴𝐵=𝐴𝐷,𝐴𝐶⊥𝐵𝐷,𝑂𝐵=𝑂𝐷, ∵𝐵𝐸=𝐷𝐹, ∴𝐴𝐵:𝐵𝐸=𝐴𝐷:𝐷𝐹, ∴𝐸𝐹//𝐵𝐷, ∴𝐴𝐶⊥𝐸𝐹;

(2)解:如图2所示: ∵由(1)得:𝐸𝐹//𝐵𝐷, ∴∠𝐺=∠𝐴𝐷𝑂,

∴𝑡𝑎𝑛𝐺=𝑡𝑎𝑛∠𝐴𝐷𝑂=𝑂𝐴=1,

𝑂𝐷21

∴𝑂𝐴=𝑂𝐷,

2∵𝐵𝐷=4, ∴𝑂𝐷=2, ∴𝑂𝐴=1.

答案第8页,总18页

【解析】𝐴𝐶⊥𝐵𝐷,𝑂𝐵=𝑂𝐷,(1)由菱形的性质得出𝐴𝐵=𝐴𝐷,得出𝐴𝐵:𝐵𝐸=𝐴𝐷:𝐷𝐹,证出𝐸𝐹//𝐵𝐷即可得出结论;

𝑂𝐴1(2)由平行线的性质得出∠𝐺=∠𝐴𝐷𝑂,由三角函数得出𝑡𝑎𝑛𝐺=𝑡𝑎𝑛∠𝐴𝐷𝑂==,𝑂𝐷2得出𝑂𝐴=

1

,由𝐵𝐷=4,得出𝑂𝐷=2,得出𝑂𝐴=1. 2𝑂𝐷

本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识;熟练掌握菱形的性质是解题的关键. 21. 【答案】(1)17

(2)见解析 (3)2.8 (4)① ②

【解析】解:(1)∵国家创新指数得分为69.5以上(含69.5)的国家有17个, ∴国家创新指数得分排名前40的国家中,中国的国家创新指数得分排名世界第17, 故答案为17; (2)如图所示:

(3)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知,在国家创新指数得分比中国高的国家中,人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元; 故答案为2.8;

(4)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知,

① 相比于点𝐴、𝐵所代表的国家,中国的国家创新指数得分还有一定差距,中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务,进一步提高国家综合创新能力;合理;

② 相比于点𝐵,𝐶所代表的国家,中国的人均国内生产总值还有一定差距,中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标,进一步提高人均国内生产总值;合理;

答案第9页,总18页

故答案为① ② .

(1)由国家创新指数得分为69.5以上(含69.5)的国家有17个,即可得出结果; (2)根据中国在虚线l1的上方,中国的创新指数得分为69.5,找出该点即可; (3)根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图,即可得出结果;

(4)根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图,即可判断① ② 的合理性.

本题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知识;读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键.

22. 【答案】(1)证明:∵到点𝑂的距离等于𝑎的所有点组成图形𝐺,

∴图象𝐺为△𝐴𝐵𝐶的外接圆⊙𝑂, ∵𝐴𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶, ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷, ⏜=𝐶𝐷⏜, ∴𝐴𝐷∴𝐴𝐷=𝐶𝐷;

(2)如图,∵𝐴𝐷=𝐶𝑀,𝐴𝐷=𝐶𝐷, ∴𝐶𝐷=𝐶𝑀, ∵𝐷𝑀⊥𝐵𝐶, ∴𝐵𝐶垂直平分𝐷𝑀, ∴𝐵𝐶为直径, ∴∠𝐵𝐴𝐶=90∘, ⏜=𝐶𝐷⏜, ∵𝐴𝐷∴𝑂𝐷⊥𝐴𝐶, ∴𝑂𝐷//𝐴𝐵, ∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵,

答案第10页,总18页

∴𝑂𝐷⊥𝐷𝐸, ∴𝐷𝐸为⊙𝑂的切线,

∴直线𝐷𝐸与图形𝐺的公共点个数为1.

【解析】(1)利用圆的定义得到图象𝐺为△𝐴𝐵𝐶的外接圆⊙O,由∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷得到⏜=𝐶𝐷⏜,从而圆周角、弧、弦的关系得到𝐴𝐷=𝐶𝐷; 𝐴𝐷

(2)如图,证明𝐶𝐷=𝐶𝑀,则可得到𝐵𝐶垂直平分𝐷𝑀,利用垂径定理得到𝐵𝐶为直径, 再证明𝑂𝐷⊥𝐷𝐸,从而可判断𝐷𝐸为⊙𝑂的切线,于是得到直线𝐷𝐸与图形𝐺的公共点个数.本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定. 23. 【答案】(1)见解析;

(2)4,5,6 ; (3)23 . 【解析】解:(1) 第1组 第1天 𝑥1 第2天 𝑥1 第2组 𝑥2 第3组 𝑥2 𝑥3 第4组 𝑥3 𝑥4 (2)∵每天最多背诵14首,最少背诵4首,

𝑥4 第3天 第4天 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 第5天 第6天 第7天 答案第11页,总18页

∴𝑥1⩾4,𝑥3⩾4,𝑥4⩾4, ∴𝑥1+𝑥3⩾8 ① , ∵𝑥1+𝑥3+𝑥4⩽14 ② , 把① 代入② 得,𝑥4⩽6, ∴4⩽𝑥4⩽6,

∴𝑥4的所有可能取值为4,5,6. 故答案为4,5,6

(3)∵每天最多背诵14首,最少背诵4首, ∴由第2天,第3天,第4天,第5天得,

𝑥1+𝑥2⩽14① ,𝑥2+𝑥3⩽14② ,𝑥1+𝑥3+𝑥4⩽14③ ,𝑥2+𝑥4⩽14④ , ① +② +④ −③ 得,3𝑥2⩽28, ∴𝑥2⩽28,

3∴𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4⩽28+14=70,

33∴𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4⩽231, 3∴7天后,小云背诵的诗词最多为23首, 故答案为23

(1)根据表中的规律即可得到结论; (2)根据题意列不等式即可得到结论; (3)根据题意列不等式,即可得到结论.

本题考查了规律型:数字的变化类,不等式的应用,正确的理解题意是解题的关键. 24. 【答案】(1)𝑃𝐶 , 𝑃𝐷 , 𝐴𝐷 ;

(2)见解析;

(3) 1.59(答案不唯一) .

【解析】𝑃𝐶是自变量,𝐴𝐷随𝑃𝐶的变化而变化,解:(1)按照变量的定义,而𝑃𝐷、故𝑃𝐷、𝐴𝐷都是因变量, 故答案为𝑃𝐶、𝑃𝐷、𝐴𝐷 (2)描点画出如图图象;

答案第12页,总18页

1

(3)𝑃𝐶=2𝑃𝐷,即𝑃𝐷=𝑃𝐶,

21

画出𝑦=𝑥,交曲线𝐴𝐷的值约为1.59,

2故答案为1.59(答案不唯一).

(1)按照变量的定义,𝑃𝐶是自变量,而𝑃𝐷、𝐴𝐷随𝑃𝐶的变化而变化,故𝑃𝐷、𝐴𝐷都是因变量,即可求解; (2)描点画出如图图象;

11

(3)𝑃𝐶=2𝑃𝐷,即𝑃𝐷=𝑃𝐶,画出𝑦=𝑥,交曲线𝐴𝐷的值为所求,即可求解.

22本题考查的是动点的函数图象,此类问题主要是通过描点画出函数图象,根据函数关系,在图象上查出相应的近似数值. 25. 【答案】解:(1)令𝑥=0,𝑦=1,

∴直线𝑙与𝑦轴的交点坐标(0,1);

−𝑘−1

(2)由题意,𝐴(𝑘,𝑘2+1),𝐵(,−𝑘),𝐶(𝑘,−𝑘),

𝑘① 当𝑘=2时,𝐴(2,5),𝐵(−3,−2),𝐶(2,−2),

2在𝑊区域内有6个整数点:(0,0),(0,−1),(1,0),(1,−1),(1,1),(1,2); ② 直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=𝑘𝑥+1,

当𝑥=𝑘+1时,𝑦=−𝑘+1,则有𝑘2+2𝑘=0, ∴𝑘=−2,

当0>𝑘⩾−1时,𝑊内没有整数点,

∴当0>𝑘⩾−1或𝑘=−2时𝑊内没有整数点.

【解析】(1)令𝑥=0,𝑦=1,直线𝑙与𝑦轴的交点坐标(0,1);

3

(2)① 当𝑘=2时,𝐴(2,5),𝐵(−,−2),𝐶(2,−2),在𝑊区域内有6个整数点;② 当

2𝑥=𝑘+1时,𝑦=−𝑘+1,则有𝑘2+2𝑘=0,𝑘=−2,当0>𝑘⩾−1时,𝑊内没有整数点;

本题考查一次函数图象上点的特征;能够数形结合解题,根据𝑘变化分析𝑊区域内整数

答案第13页,总18页

点的情况是解题的关键. 1

26. 【答案】解:(1)𝐴(0,−)

𝑎1

点𝐴向右平移2个单位长度,得到点𝐵(2,−);

𝑎(2)𝐴与𝐵关于对称轴𝑥=1对称, ∴抛物线对称轴𝑥=1; (3)∵对称轴𝑥=1, ∴𝑏−2𝑎,

∴𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−1,

𝑎①𝑎>0时,

1

当𝑥=2时,𝑦=−<2,

𝑎1

当𝑦=−时,𝑥=0或𝑥=2,

𝑎∴函数与𝐴𝐵无交点; ②𝑎<0时,

1

当𝑦=2时,𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−=2,

𝑎𝑥=

𝑎+|𝑎+1|𝑎−|𝑎+1| 或𝑥=𝑎𝑎𝑎+|𝑎+1|1

当⩽2时,𝑎⩽−2;

𝑎

1

∴当𝑎⩽−时,抛物线与线段𝑃𝑄恰有一个公共点;

211

【解析】(1)𝐴(0,−)向右平移2个单位长度,得到点𝐵(2,−);

𝑎𝑎(2)𝐴与𝐵关于对称轴𝑥=1对称;

11① 𝑎>0时,𝑥=0或𝑥=2,(3)当𝑥=2时,当𝑦=−时,所以函数与𝐴𝐵𝑦=−𝑎<2,𝑎无交点;

1𝑎+|𝑎+1|𝑎−|𝑎+1|𝑎+|𝑎+1|② 𝑎<0时,当𝑦=2时,或𝑥=当𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−𝑎=2,𝑥=⩽𝑎𝑎𝑎1

2时,𝑎≤−2;

本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数图象上点的特征,数形结合讨论交点是解题的关键.

答案第14页,总18页

27. 【答案】解:(1)如图1所示为所求.

(2)设∠𝑂𝑃𝑀=𝛼,

∵线段𝑃𝑀绕点𝑃顺时针旋转150∘得到线段𝑃𝑁, ∴∠𝑀𝑃𝑁=150∘,𝑃𝑀=𝑃𝑁,

∴∠𝑂𝑃𝑁=∠𝑀𝑃𝑁−∠𝑂𝑃𝑀=150∘−𝛼, ∵∠𝐴𝑂𝐵=30∘,

∴∠𝑂𝑀𝑃=180∘−∠𝐴𝑂𝐵−∠𝑂𝑃𝑀=180∘−30∘−𝛼=150∘−𝛼, ∴∠𝑂𝑀𝑃=∠𝑂𝑃𝑁.

(3)𝑂𝑃=2时,总有𝑂𝑁=𝑄𝑃,证明如下:

过点𝑁作𝑁𝐶⊥𝑂𝐵于点𝐶,过点𝑃作𝑃𝐷⊥𝑂𝐴于点𝐷,如图2, ∴∠𝑁𝐶𝑃=∠𝑃𝐷𝑀=∠𝑃𝐷𝑄=90∘, ∵∠𝐴𝑂𝐵=30∘,𝑂𝑃=2, 1

∴𝑃𝐷=𝑂𝑃=1,

2∴𝑂𝐷=√𝑂𝑃2−𝑃𝐷2=√3, ∵𝑂𝐻=√3+1, ∴𝐷𝐻=𝑂𝐻−𝑂𝐷=1, ∵∠𝑂𝑀𝑃=∠𝑂𝑃𝑁,

∴180∘−∠𝑂𝑀𝑃=180∘−∠𝑂𝑃𝑁, 即∠𝑃𝑀𝐷=∠𝑁𝑃𝐶. 在△𝑃𝐷𝑀与△𝑁𝐶𝑃中, ∠𝑃𝐷𝑀=∠𝑁𝐶𝑃{∠𝑃𝑀𝐷=∠𝑁𝑃𝐶 𝑃𝑀=𝑁𝑃

∴△𝑃𝐷𝑀≅△𝑁𝐶𝑃(A𝐴𝑆) ∴𝑃𝐷=𝑁𝐶,𝐷𝑀=𝐶𝑃,

答案第15页,总18页

设𝐷𝑀=𝐶𝑃=𝑥,则𝑂𝐶=𝑂𝑃+𝑃𝐶=2+𝑥,𝑀𝐻=𝑀𝐷+𝐷𝐻=𝑥+1, ∵点𝑀关于点𝐻的对称点为𝑄, ∴𝐻𝑄=𝑀𝐻=𝑥+1,

∴𝐷𝑄=𝐷𝐻+𝐻𝑄=1+𝑥+1=2+𝑥, ∴𝑂𝐶=𝐷𝑄,

在△𝑂𝐶𝑁与△𝑄𝐷𝑃中, 𝑂𝐶=𝑄𝐷

{∠𝑂𝐶𝑁=∠𝑄𝐷𝑃=90∘ 𝑁𝐶=𝑃𝐷

∴△𝑂𝐶𝑁≅△𝑄𝐷𝑃(A𝐴𝑆), ∴𝑂𝑁=𝑄𝑃.

【解析】(1)根据题意画出图形.

(2)由旋转可得∠𝑀𝑃𝑁=150∘,故∠𝑂𝑃𝑁=150∘−∠𝑂𝑃𝑀;由∠𝐴𝑂𝐵=30∘和三角形内角和180∘可得∠𝑂𝑀𝑃=180∘−30∘−∠𝑂𝑃𝑀=150∘−∠𝑂𝑃𝑀,得证.

(3)根据题意画出图形,以𝑂𝑁=𝑄𝑃为已知条件反推𝑂𝑃的长度.由(2)的结论∠𝑂𝑀𝑃=∠𝑂𝑃𝑁联想到其补角相等,又因为旋转有𝑃𝑀=𝑃𝑁,已具备一边一角相等,过点𝑁作𝑁𝐶⊥𝑂𝐵于点𝐶,过点𝑃作𝑃𝐷⊥𝑂𝐴于点𝐷,即可构造出△𝑃𝐷𝑀≅△𝑁𝐶𝑃,进而得𝑃𝐷=𝑁𝐶,𝐷𝑀=𝐶𝑃.此时加上𝑂𝑁=𝑄𝑃,则易证得△𝑂𝐶𝑁≅△𝑄𝐷𝑃,所以𝑂𝐶=𝑄𝐷.利用∠𝐴𝑂𝐵=30∘,设𝑃𝐷=𝑁𝐶=𝑎,则𝑂𝑃=2𝑎,再设𝐷𝑀=𝐶𝑃=𝑥,所以𝑄𝐷=𝑂𝐷=√3𝑎.𝑂𝐶=𝑂𝑃+𝑃𝐶=2𝑎+𝑥,𝑀𝑄=𝐷𝑀+𝑄𝐷=2𝑎+2𝑥.由于点𝑀、𝑄关于点𝐻对称,即1

点𝐻为𝑀𝑄中点,故𝑀𝐻=𝑀𝑄=𝑎+𝑥,𝐷𝐻=𝑀𝐻−𝐷𝑀=𝑎,所以𝑂𝐻=𝑂𝐷+𝐷𝐻=

2√3𝑎+𝑎=√3+1,求得𝑎=1,故𝑂𝑃=2.证明过程则把推理过程反过来,以𝑂𝑃=2为条件,利用构造全等证得𝑂𝑁=𝑄𝑃.

本题考查了根据题意画图,旋转的性质,三角形内角和180∘,勾股定理,全等三角形的判定和性质,中心对称的性质.第(3)题的解题思路是以𝑂𝑁=𝑄𝑃为条件反推𝑂𝑃的长度,并结合(2)的结论构造全等三角形;而证明过程则以𝑂𝑃=2为条件构造全等证明𝑂𝑁=𝑄𝑃.

答案第16页,总18页

⏜,就是△𝐴𝐵𝐶的最长的中内弧𝐷𝐸⏜, 28. 【答案】解:(1)如图2,以𝐷𝐸为直径的半圆弧𝐷𝐸

连接𝐷𝐸,

∵∠𝐴=90∘,𝐴𝐵=𝐴𝐶=√2,𝐷,𝐸分别是𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点, 𝐴𝐶2√211

∴𝐵𝐶=,𝐷𝐸=𝐵𝐶=×4=2, ==4∘𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛4522⏜=1×2𝜋=𝜋; ∴弧𝐷𝐸

2

(2)如图3,由垂径定理可知,圆心一定在线段𝐷𝐸的垂直平分线上,连接𝐷𝐸,作𝐷𝐸垂直平分线𝐹𝑃,作𝐸𝐺⊥𝐴𝐶交𝐹𝑃于𝐺,

① 当𝑡=1时,𝐶(2,0),∴𝐷(0,1),𝐸(1,1),𝐹(1,1),

22

1

设𝑃(,𝑚)由三角形中内弧定义可知,圆心线段𝐷𝐸上方射线𝐹𝑃上均可,

2∴𝑚⩾1,

∵𝑂𝐴=𝑂𝐶,∠𝐴𝑂𝐶=90∘,

∴∠𝐴𝐶𝑂=45∘, ∵𝐷𝐸//𝑂𝐶,

∴∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐶𝑂=45∘,

1

作𝐸𝐺⊥𝐴𝐶交直线𝐹𝑃于𝐺,𝐹𝐺=𝐸𝐹=,

2根据三角形中内弧的定义可知,圆心在点𝐺的下方(含点𝐺)直线𝐹𝑃上时也符合要求; 1∴𝑚⩽,

21

综上所述,𝑚⩽或𝑚⩾1.

2② 如图4,设圆心𝑃在𝐴𝐶上, ∵𝑃在𝐷𝐸中垂线上,

答案第17页,总18页

∴𝑃为𝐴𝐸中点,作𝑃𝑀⊥𝑂𝐶于𝑀,则𝑃𝑀=3,

23∴𝑃(𝑡,),

2∵𝐷𝐸//𝐵𝐶,

∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝑂𝐵=90∘,

∴𝐴𝐸=√𝐴𝐷2+𝐷𝐸2=√12+(2𝑡)2=√4𝑡2+1, ∵𝑃𝐷=𝑃𝐸, ∴∠𝐴𝐸𝐷=∠𝑃𝐷𝐸,

∵∠𝐴𝐸𝐷+∠𝐷𝐴𝐸=∠𝑃𝐷𝐸+∠𝐴𝐷𝑃=90∘, ∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐷𝑃, 1

∴𝐴𝑃=𝑃𝐷=𝑃𝐸=𝐴𝐸,

2

由三角形中内弧定义知,𝑃𝐷⩽𝑃𝑀, ∴1

3

𝐴𝐸⩽,𝐴𝐸⩽3,即√4𝑡2+1⩽3,解得:𝑡⩽√2, 22

∵𝑡>0, ∴0<𝑡⩽√2.

【解析】(1)由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得𝐷𝐸=2,最长中内弧即以𝐷𝐸为⏜的长即以𝐷𝐸为直径的圆周长的一半; 直径的半圆,𝐷𝐸

1

(2)根据三角形中内弧定义可知,圆心一定在𝐷𝐸的中垂线上,① 当𝑡=时,要注意

2圆心𝑃在𝐷𝐸上方的中垂线上均符合要求,在𝐷𝐸下方时必须𝐴𝐶与半径𝑃𝐸的夹角∠𝐴𝐸𝑃满足90∘⩽∠𝐴𝐸𝑃∠135∘;② 根据题意,𝑡的最大值即圆心𝑃在𝐴𝐶上时求得的𝑡值. 此题是一道圆的综合题,考查了圆的性质,弧长计算,直角三角形性质等,给出了“三角形中内弧”新定义,要求学生能够正确理解新概念,并应用新概念解题.

答案第18页,总18页

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