2019年北京市中考数学真题

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2019年北京市中考数学试卷

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：120分钟；命题人：xxx

题号 得分 评卷人 一 二 三 总分 得分 ○○ …__…_…___……___…_…_：…订号考订…__…_…___……___…_…_：…○级班○…__…_…___……___…_…_：…装名姓装…___……___…_…__…_…_:校…○学○……………………外内……………………○○…………………… 一、 选择题（共8题）

1. （2分）4月24日是中国航天日．1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗

人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为( )． A．0.439×106

B．4.39×106

C．4.39×105

D．439×103

2. （2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是( )．

A.

B.

C.

D.

3. （2分）正十边形的外角和为( )．

A．180∘

B．360∘

C．720∘

D．1440∘

4. （2分）在数轴上，点𝐴，𝐵在原点𝑂的两侧，分别表示数𝑎，2，将点𝐴向右平移1个

单位长度，得到点𝐶，若𝐶𝑂=𝐵𝑂，则𝑎的值为( )． A．−3

B．−2

C．−1

D．1

5. （2分）已知锐角∠𝐴𝑂𝐵，如图，

（1）在射线𝑂𝐴上取一点𝐶，以点𝑂为圆心，𝑂𝐶长为半径作𝑃𝑄⏜，交射线𝑂𝐵于点𝐷，连接𝐶𝐷；

（2）分别以点𝐶，𝐷为圆心，𝐶𝐷长为半径作弧，交𝑃𝑄⏜于点𝑀，𝑁； （3）连接𝑂𝑀，𝑀𝑁．

试卷第1页，总8页

…………线…………○……

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )．

A． ∠𝐶𝑂𝑀=∠𝐶𝑂𝐷

∘…………线…………○……B． 若𝑂𝑀=𝑀𝑁．则∠𝐴𝑂𝐵=20 C．𝑀𝑁//𝐶𝐷 D．𝑀𝑁=3𝐶𝐷

6. （2分）如果𝑚+𝑛=1，那么代数式(2𝑚+𝑛1

𝑚2−𝑚𝑛

+𝑚)∙(𝑚2−𝑛2)的值为( )．

A．−3

B．−1

C．1

D．3

7. （2分）用三个不等式𝑎>𝑏，𝑎𝑏>0，1𝑎<1𝑏中的两个不等式作为题设，余下的一

个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )． A． 0

B． 1

C． 2

D． 3

8. （2分）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他

们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分 时间t 0⩽𝑡<10⩽𝑡<20⩽𝑡<30⩽𝑡<𝑡⩾40 人数 10 20 30 40 学生类型 性别 男 7 31 25 30 4 女 8 29 26 32 8 学段 初中 25 36 44 11 高中 试卷第2页，总8页

○○… ※……※…题…※……※答…订※…※订内……※※……线※……※…○订※○…※装……※…※…在……※※…装要…※装※……不※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○………………………………线…………○………………线…………○……

下面有四个推断：

○○ …__…_…___……___…_…_：…订号考订…__…_…___……___…_…_：…○级班○…__…_…___……___…_…_：…装名姓装…___……___…_…__…_…_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………① 这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5~25.5之间 ② 这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20~30之间

③ 这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20~30之间 ④ 这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20~30之间 所有合理推断的序号是( )． A． ① ③ B． ② ④ C． ① ② ③ D． ① ② ③ ④ 评卷人 得分 二、 填空题（共8题）

9. （2分）分式𝑥−1𝑥

的值为0，则𝑥的值是 ．

10. （2分）如图，已知△𝐴𝐵𝐶，通过测量、计算得△𝐴𝐵𝐶的面积约为 c𝑚2．（结

果保留一位小数）

11. （2分）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 ．（写出所有正

确答案的序号）

12. （2分）如图所示的网格是正方形网格，则∠𝑃𝐴𝐵+∠𝑃𝐵𝐴= ∘（点𝐴，𝐵，

𝑃是网格线交点）．

试卷第3页，总8页

…………线…………○……

𝑘

13. （2分）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴(𝑎,𝑏)(𝑎>0,𝑏>0)在双曲线𝑦=1上，点𝐴

𝑥

𝑘

关于𝑥轴的对称点𝐵在双曲线𝑦=2，则𝑘1+𝑘2的值为 ．

𝑥

14. （2分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角

形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 ．

…………线…………○……

15. （2分）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s20，在计算平均数

的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，−4，9，

−5，记这组新数据的方差为s21，则s21 s20（填“>”，“=”或”<”）

． 16. （2分）在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑀，𝑁，𝑃，𝑄分别为边𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐷，𝐷𝐴上的点（不与

端点重合），对于任意矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，下面四个结论中， ① 存在无数个四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是平行四边形； ② 存在无数个四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是矩形； ③ 存在无数个四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是菱形； ④ 至少存在一个四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是正方形． 所有正确结论的序号是 ． 评卷人 得分 三、 解答题（共12题）

17. （5分）计算：|−√3|−(4−π)0

+2𝑠𝑖𝑛60∘

+(1−1

4)． 18. (𝑥−1)<𝑥+2

（分）解不等式组：{𝑥+73>𝑥

19. （5分）关于𝑥的方程𝑥2−2𝑥+2𝑚−1=0有实数根，且𝑚为正整数，求𝑚的值及

此时方程的根．

20. （5分）如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶为对角线，点𝐸，

𝐹分别在𝐴𝐵，𝐴𝐷上，𝐵𝐸=𝐷𝐹，连接𝐸𝐹．

（1）求证：𝐴𝐶⊥𝐸𝐹；

（2）延长𝐸𝐹交𝐶𝐷的延长线于点𝐺，连接𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝑂．若𝐵𝐷=4，𝑡𝑎𝑛𝐺=1

2，试卷第4页，总8页

○○… ※……※…题…※……※答…订※…※订内……※※……线※……※…○订※○…※装……※……※在……※※…装要装…※※……不※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○………………………………线…………○………………线…………○……

求𝐴𝑂的长．

21. （5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家

创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：

○○ …__…_…___……___…_…_：…订号考订…__…_…___……___…_…_：…○级班○…__…_…___……___…_…_：…装名姓装…___……___…_…__…_…_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30⩽𝑥<40，40⩽𝑥<50，50⩽𝑥<60，60⩽𝑥<80，70⩽𝑥<80，80⩽𝑥<90，90⩽𝑥<100）

b．国家创新指数得分在60⩽𝑥<70这一组的是： 61.7，62.4，63.6，65.9，66.4，68.5，69.1，69.3，69.5

c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：

d．中国的国家创新指数得分为69.5．

（以上数据来源于《国家创新指数报告（．．．．．．．．．．．．．．．．．．

2018）》）根据以上信息，回答下列问题： （1）中国的国家创新指数得分排名世界第 ；

（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；

（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 万美元；（结果保留一位小数） （4）下列推断合理的是 ．

① 相比于点𝐴，𝐵所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提

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…………线…………○……

出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；

② 相比于点𝐵，𝐶所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．

22. （6分）在平面内，给定不在同一条直线上的点𝐴，𝐵，𝐶，如图所示，点𝑂到点𝐴，

𝐵，𝐶的距离均等于𝑎（𝑎为常数），到点𝑂的距离等于𝑎的所有点组成图形𝐺，∠𝐴𝐵𝐶的平分线交图形𝐺于点𝐷，连接𝐴𝐷，𝐶𝐷． （1）求证：𝐴𝐷=𝐶𝐷；

…………线…………○……（2）过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐴，垂足为𝐸，作𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，垂足为𝐹，延长𝐷𝐹交图形𝐺于点𝑀，连接𝐶𝑀．若𝐴𝐷=𝐶𝑀，求直线𝐷𝐸与图形𝐺的公共点个数．

23. （6分）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：

① 将诗词分成4组，第𝑖组有𝑥𝑖首，𝑖=1,2,3,4；

② 对于第𝑖组诗词，第𝑖天背诵第一遍，第(𝑖+1)天背诵第二遍，第(𝑖+3)天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，𝑖=1,2,3,4； 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 𝑥1 𝑥1 𝑥1 第2组 𝑥2 𝑥2 𝑥2 第3组 第4组 𝑥4 𝑥4 𝑥4 ③ 每天最多背诵14首，最少背诵4首． 解答下列问题： （1）填入𝑥3补全上表；

（2）若𝑥1=4，𝑥2=3，𝑥3=4，则𝑥4的所有可能取值为 ； （3）7天后，小云背诵的诗词最多为 首．

24. （6分）如图，𝑃是𝐴𝐵

⏜与弦𝐴𝐵所围成的图形的外部的一定点，𝐶是𝐴𝐵⏜上一动点，连接𝑃𝐶交弦𝐴𝐵于点𝐷．

小腾根据学习函数的经验，对线段𝑃𝐶，𝑃𝐷，𝐴𝐷的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点𝐶在𝐴𝐵⏜上的不同位置，画图、测量，得到了线段𝑃𝐶，𝑃𝐷，𝐴𝐷的长度的几组值，如下表：

试卷第6页，总8页

○○… ※……※…题…※……※答…订※…※订内……※※……线※……※…○订※○…※装……※…※…在……※※…装要…※装※……不※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○………………………………线…………○………………线…………○……

位置1 位置2 3.30 2.69 0.78 位置3 3.07 2.00 1. 位置4 2.70 1.36 2.30 位置5 2.25 0.96 3.01 位置6 2.25 1.13 4.00 位置7 2. 2.00 5.11 位置8 2.83 2.83 6.00 𝑃𝐶/c𝑚 3.44 𝑃𝐷/c𝑚 3.44 AD/c𝑚 0.00 在𝑃𝐶，𝑃𝐷，𝐴𝐷的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；

○○ …__…_…___……___…_…_：…订号考订…__…_…___……___…_…_：…○级班○…__…_…___……___…_…_：…装名姓装…___……___…_…__…_…_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………

（2）在同一平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当𝑃𝐶=2𝑃𝐷时，𝐴𝐷的长度约为 c𝑚． 25. （5分）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥+1(𝑘≠0)与直线𝑥=𝑘，直线𝑦=

−𝑘分别交于点𝐴，𝐵，直线𝑥=𝑘与直线𝑦=−𝑘交于点𝐶． （1）求直线𝑙与𝑦轴的交点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶A围成的区域（不含边界）为𝑊．

① 当𝑘=2时，结合函数图象，求区域𝑊内的整点个数； ② 若区域𝑊内没有整点，直接写出𝑘的取值范围．

26. （6分）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1𝑎与𝑦轴交于点𝐴，将点𝐴

向右平移2个单位长度，得到点𝐵，点𝐵在抛物线上． （1）求点𝐵的坐标（用含𝑎的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点𝑃(12,−1

𝑎)，𝑄(2,2)．若抛物线与线段𝑃𝑄恰有一个公共点，结合函数图

象，求𝑎的取值范围．

27. （7分）已知∠𝐴𝑂𝐵=30∘，𝐻为射线𝑂𝐴上一定点，𝑂𝐻=√3+1，𝑃为射线𝑂𝐵上一

点，𝑀为线段𝑂𝐻上一动点，连接𝑃𝑀，满足∠𝑂𝑀𝑃为钝角，以点𝑃为中心，将线段𝑃𝑀

试卷第7页，总8页

…………线…………○……

顺时针旋转150∘，得到线段𝑃𝑁，连接𝑂𝑁． （1）依题意补全图1； （2）求证：∠𝑂𝑀𝑃=∠𝑂𝑃𝑁；

（3）点𝑀关于点𝐻的对称点为𝑄，连接𝑄𝑃．写出一个𝑂𝑃的值，使得对于任意的点𝑀总有𝑂𝑁=𝑄𝑃，并证明．

…………线…………○……28. （7分）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷，𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶两边的中点，如果𝐷𝐸

⏜上的所有点都在△𝐴𝐵𝐶的内部或边上，则称𝐷𝐸⏜为△𝐴𝐵𝐶的中内弧．例如，图1中𝐷𝐸⏜是△𝐴𝐵𝐶的一条中内弧．

（1）如图2，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=2√2，𝐷，𝐸分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点，画出△𝐴𝐵𝐶的最长的中内弧𝐷𝐸

⏜，并直接写出此时𝐷𝐸⏜的长； （2）在平面直角坐标系中，已知点𝐴(0,2)，𝐵(0,0)，𝐶(4𝑡,0)(𝑡＞0)，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷，𝐸分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点．

① 若𝑡=12，求△𝐴𝐵𝐶的中内弧𝐷𝐸

⏜所在圆的圆心𝑃的纵坐标的取值范围； ② 若在△𝐴𝐵𝐶中存在一条中内弧𝐷𝐸⏜，使得𝐷𝐸⏜所在圆的圆心𝑃在△𝐴𝐵𝐶的内部或边上，直接写出𝑡的取值范围．

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○○… ※……※…题…※……※答…订※…※订内……※※……线※……※…○订※○…※装……※…※…在……※※…装要…※装※……不※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○……………………

参及解析

一、 选择题 1. 【答案】C

【解析】解：将439000用科学记数法表示为4.39×105． 故选C

科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1⩽|𝑎|<10，𝑛为整数．确定𝑛的值时，要看把原数变成𝑎时，小数点移动了多少位，𝑛的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，𝑛是正数；当原数的绝对值<1时，𝑛是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1⩽|𝑎|<10，𝑛为整数，表示时关键要正确确定𝑎的值以及𝑛的值． 2. 【答案】C

【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选C

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．

此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 【答案】B

【解析】解：因为任意多边形的外角和都等于360∘， 所以正十边形的外角和等于360∘． 故选B

根据多边的外角和定理进行选择．

本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360∘． 4. 【答案】A

【解析】解：∵点𝐶在原点的左侧，且𝐶𝑂=𝐵𝑂， ∴点𝐶表示的数为−2， ∴𝑎=−2−1=−3．

答案第1页，总18页

故选A

根据𝐶𝑂=𝐵𝑂可得点𝐶表示的数为−2，据此可得𝑎=−2−1=−3． 本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 5. 【答案】D

【解析】解：由作图知𝐶𝑀=𝐶𝐷=𝐷𝑁， ∴∠𝐶𝑂𝑀=∠𝐶𝑂𝐷，故𝐴选项正确；

∵𝑂𝑀=𝑂𝑁=𝑀𝑁， ∴△𝑂𝑀𝑁是等边三角形， ∴∠𝑀𝑂𝑁=60∘， ∵𝐶𝑀=𝐶𝐷=𝐷𝑁，

∴∠𝑀𝑂𝐴=∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝑂𝑁=1∠𝑀𝑂𝑁=20∘，故B选项正确；

3∵∠𝑀𝑂𝐴=∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝑂𝑁=20∘， ∴∠𝑂𝐶𝐷=∠𝑂𝐶𝑀=80∘， ∴∠𝑀𝐶𝐷=160∘，

1

又∠𝐶𝑀𝑁=∠𝐴𝑂𝑁=20∘，

2∴∠𝑀𝐶𝐷+∠𝐶𝑀𝑁=180∘， ∴𝑀𝑁//𝐶𝐷，故C选项正确；

∵𝑀𝐶+𝐶𝐷+𝐷𝑁>𝑀𝑁，且𝐶𝑀=𝐶𝐷=𝐷𝑁， ∴3𝐶𝐷>𝑀𝑁，故D选项错误． 故选D

由作图知𝐶𝑀=𝐶𝐷=𝐷𝑁，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．

本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点． 6. 【答案】D

2𝑚+𝑛+𝑚−𝑛3𝑚

【解析】解：原式=∙(𝑚+𝑛)(𝑚−𝑛)=∙(𝑚+𝑛)(𝑚−𝑛)=

𝑚(𝑚−𝑛)𝑚(𝑚−𝑛)

答案第2页，总18页

3(𝑚+𝑛)，

当𝑚+𝑛=1时，原式=3． 故选D

原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值． 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7. 【答案】D

【解析】解：① 若𝑎>𝑏，𝑎𝑏>0，则1<1，真命题；

𝑎𝑏② 若𝑎𝑏>0，1<𝑑1，则𝑎>𝑏，真命题；

𝑎𝑏③ 若𝑎>𝑏，1<1，则𝑎𝑏>0，真命题； 𝑎𝑏∴组成真命题的个数为3个． 故选D

由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．

本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键． 8. 【答案】C

【解析】解：① 解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：① (24.5×97+25.5×103)÷200=25.015，一定在24.5~25.5之间，正确；

② 这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20~30之间，正确；

③ 这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20~30之间，正确； ④ 这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20~30之间，错误． 故选C

平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键． 二、 填空题 9. 【答案】1；

答案第3页，总18页

【解析】解：∵分式𝑥−1的值为0，

𝑥∴𝑥−1=0且𝑥≠0， ∴𝑥=1． 故答案为1．

根据分式的值为零的条件得到𝑥−1=0且𝑥≠0，易得𝑥≠1．

本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．10. 【答案】1.9；

【解析】解：过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵的延长线于点𝐷，如图所示． 经过测量，𝐴𝐵=2.2c𝑚，𝐶𝐷=1.7c𝑚，

11

∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵∙𝐶𝐷=×2.2×1.7≈1.9(c𝑚2)．

22故答案为1.9．

过点𝐶作𝐶𝐷⊥𝐴𝐵的延长线于点𝐷，测量出𝐴𝐵，𝐶𝐷的长，再利用三角形的面积公式即可求出△𝐴𝐵𝐶的面积．

本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．

11. 【答案】① ②；

【解析】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形， 圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆， 圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆， 故答案为① ② ．

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答． 本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键． 12. 【答案】45；

【解析】解：延长𝐴𝑃交格点于𝐷，连接𝐵𝐷， 则𝑃𝐷2=𝐵𝐷2=1+22=5，𝑃𝐵2=12+32=10， ∴𝑃𝐷2+𝐷𝐵2=𝑃𝐵2，

答案第4页，总18页

∴∠𝑃𝐷𝐵=90∘，

∴∠𝐷𝑃𝐵=∠𝑃𝐴𝐵+∠𝑃𝐵𝐴=45∘， 故答案为45．

延长𝐴𝑃交格点于𝐷，连接𝐵𝐷，根据勾股定理得到𝑃𝐷2=𝐵𝐷2=1+22=5，𝑃𝐵2=12+32=10，求得𝑃𝐷2+𝐷𝐵2=𝑃𝐵2，于是得到∠𝑃𝐷𝐵=90∘，根据三角形外角的性质即可得到结论．

本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 13. 【答案】0；

𝑘

【解析】解：∵点𝐴(𝑎,𝑏)(𝑎>0,𝑏>0)在双曲线𝑦=1上，

𝑥∴𝑘1=𝑎𝑏；

又∵点𝐴与点𝐵关于𝑥轴的对称， ∴𝐵(𝑎,−𝑏) ∵点𝐵在双曲线𝑦=∴𝑘2=−𝑎𝑏；

∴𝑘1+𝑘2=𝑎𝑏+(−𝑎𝑏)=0； 故答案为0．

𝑘

由点𝐴(𝑎,𝑏)(𝑎>0,𝑏>0)在双曲线𝑦=1上，可得𝑘1=𝑎𝑏，由点𝐴与点𝐵关于𝑥轴的对称，

𝑥可得到点𝐵的坐标，进而表示出𝑘2，然后得出答案．

考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于𝑥轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质． 14. 【答案】12；

【解析】解：如图1所示： ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，

∴𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝑂𝐵=𝑂𝐷，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷， 设𝑂𝐴=𝑥，𝑂𝐵=𝑦，

答案第5页，总18页

𝑘2上， 𝑥

𝑥+𝑦=5

由题意得：{

𝑥−𝑦=1𝑥=3

解得：{

𝑦=2

∴𝐴𝐶=2𝑂𝐴=6，𝐵𝐷=2𝑂𝐵=4，

∴菱形ABCD的面积=1𝐴𝐶×𝐵𝐷=1×6×4=12；

22故答案为12．

由菱形的性质得出𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝑂𝐵=𝑂𝐷，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，设𝑂𝐴=𝑥，𝑂𝐵=𝑦，由题意得：𝑥+𝑦=5𝑥=3

{解得：{，得出𝐴𝐶=2𝑂𝐴=6，𝐵𝐷=2𝑂𝐵=4，即可得出菱形的面积．

𝑦=2𝑥−𝑦=1

本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．

15. 【答案】=；

【解析】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，

2∴则s1=s20．

故答案为=．

根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．

𝑥1，𝑥2，⋯，𝑥𝑛的平均数为𝑥̅，本题考查方差的意义：一般地设n个数据，则方差𝑆2=

1

[(𝑛𝑥1−𝑥̅)2+(𝑥2−𝑥̅)2+⋯+(𝑥𝑛−𝑥̅)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变． 16. 【答案】① ② ③；

【解析】解：① 如图，∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，连接𝐴𝐶，𝐵𝐷交于𝑂， 过点𝑂直线𝑀𝑃和𝑄𝑁，分别交𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐷，𝐴𝐷于𝑀，𝑁，𝑃，𝑄， 则四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是平行四边形，

故当𝑀𝑄//𝑃𝑁，𝑃𝑄//𝑀𝑁，四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是平行四边形，

答案第6页，总18页

故存在无数个四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是平行四边形；故正确；

② 如图，当𝑃𝑀=𝑄𝑁时，四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是菱形，故存在无数个四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是矩形；故正确；

③ 如图，当𝑃𝑀⊥𝑄𝑁时，存在无数个四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是菱形；故正确； ④ 当四边形𝑀𝑁𝑃𝑄是正方形时，𝑀𝑄=𝑃𝑄， ∽

则△𝐴𝑀𝑄=△𝐷𝑄𝑃， ∴𝐴𝑀=𝑄𝐷，𝐴𝑄=𝑃𝐷， ∵𝑃𝐷=𝐵𝑀， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，

∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形与任意矩形𝐴𝐵𝐶𝐷矛盾，故错误； 故答案为① ② ③ ．

根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．

本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．

三、 解答题

√

17. 【答案】解：原式=√3−1+2×3+4=√3−1+√3+4=3+2√3．

2 【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 4(𝑥−1)<𝑥+2①

18. 【答案】解：{𝑥+7

>𝑥②3解① 得：𝑥<2， 7

解② 得𝑥<，

27

则不等式组的解集为𝑥<．

2答案第7页，总18页

【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19. 【答案】答案见解析

【解析】解：∵关于x的方程𝑥2−2𝑥+2𝑚−1=0有实数根， ∴𝑏2−4𝑎𝑐=4−4(2𝑚−1)⩾0， 解得：𝑚⩽1， ∵𝑚为正整数， ∴𝑚=1，

∴𝑥2−2𝑥+1=0， 则(𝑥−1)2=0， 解得：𝑥1=𝑥2=1．

直接利用根的判别式得出𝑚的取值范围进而解方程得出答案． 此题主要考查了根的判别式，正确得出𝑚的值是解题关键． 20. 【答案】（1）证明：连接BD，如图1所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝑂𝐵=𝑂𝐷， ∵𝐵𝐸=𝐷𝐹， ∴𝐴𝐵:𝐵𝐸=𝐴𝐷:𝐷𝐹， ∴𝐸𝐹//𝐵𝐷， ∴𝐴𝐶⊥𝐸𝐹；

（2）解：如图2所示： ∵由（1）得：𝐸𝐹//𝐵𝐷， ∴∠𝐺=∠𝐴𝐷𝑂，

∴𝑡𝑎𝑛𝐺=𝑡𝑎𝑛∠𝐴𝐷𝑂=𝑂𝐴=1，

𝑂𝐷21

∴𝑂𝐴=𝑂𝐷，

2∵𝐵𝐷=4， ∴𝑂𝐷=2， ∴𝑂𝐴=1．

答案第8页，总18页

【解析】𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝑂𝐵=𝑂𝐷，（1）由菱形的性质得出𝐴𝐵=𝐴𝐷，得出𝐴𝐵:𝐵𝐸=𝐴𝐷:𝐷𝐹，证出𝐸𝐹//𝐵𝐷即可得出结论；

𝑂𝐴1（2）由平行线的性质得出∠𝐺=∠𝐴𝐷𝑂，由三角函数得出𝑡𝑎𝑛𝐺=𝑡𝑎𝑛∠𝐴𝐷𝑂==，𝑂𝐷2得出𝑂𝐴=

1

，由𝐵𝐷=4，得出𝑂𝐷=2，得出𝑂𝐴=1． 2𝑂𝐷

本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 21. 【答案】（1）17

（2）见解析 （3）2.8 （4）① ②

【解析】解：（1）∵国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个， ∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17， 故答案为17； （2）如图所示：

（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元； 故答案为2.8；

（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，

① 相比于点𝐴、𝐵所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；

② 相比于点𝐵，𝐶所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；

答案第9页，总18页

故答案为① ② ．

（1）由国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，即可得出结果； （2）根据中国在虚线l1的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可； （3）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；

（4）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断① ② 的合理性．

本题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．

22. 【答案】（1）证明：∵到点𝑂的距离等于𝑎的所有点组成图形𝐺，

∴图象𝐺为△𝐴𝐵𝐶的外接圆⊙𝑂， ∵𝐴𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷， ⏜=𝐶𝐷⏜， ∴𝐴𝐷∴𝐴𝐷=𝐶𝐷；

（2）如图，∵𝐴𝐷=𝐶𝑀，𝐴𝐷=𝐶𝐷， ∴𝐶𝐷=𝐶𝑀， ∵𝐷𝑀⊥𝐵𝐶， ∴𝐵𝐶垂直平分𝐷𝑀， ∴𝐵𝐶为直径， ∴∠𝐵𝐴𝐶=90∘， ⏜=𝐶𝐷⏜， ∵𝐴𝐷∴𝑂𝐷⊥𝐴𝐶， ∴𝑂𝐷//𝐴𝐵， ∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，

答案第10页，总18页

∴𝑂𝐷⊥𝐷𝐸， ∴𝐷𝐸为⊙𝑂的切线，

∴直线𝐷𝐸与图形𝐺的公共点个数为1．

【解析】（1）利用圆的定义得到图象𝐺为△𝐴𝐵𝐶的外接圆⊙O，由∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷得到⏜=𝐶𝐷⏜，从而圆周角、弧、弦的关系得到𝐴𝐷=𝐶𝐷； 𝐴𝐷

（2）如图，证明𝐶𝐷=𝐶𝑀，则可得到𝐵𝐶垂直平分𝐷𝑀，利用垂径定理得到𝐵𝐶为直径， 再证明𝑂𝐷⊥𝐷𝐸，从而可判断𝐷𝐸为⊙𝑂的切线，于是得到直线𝐷𝐸与图形𝐺的公共点个数．本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定． 23. 【答案】（1）见解析；

（2）4，5，6 ； （3）23 ． 【解析】解：（1） 第1组 第1天 𝑥1 第2天 𝑥1 第2组 𝑥2 第3组 𝑥2 𝑥3 第4组 𝑥3 𝑥4 （2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，

𝑥4 第3天 第4天 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 第5天 第6天 第7天 答案第11页，总18页

∴𝑥1⩾4，𝑥3⩾4，𝑥4⩾4， ∴𝑥1+𝑥3⩾8 ① ， ∵𝑥1+𝑥3+𝑥4⩽14 ② ， 把① 代入② 得，𝑥4⩽6， ∴4⩽𝑥4⩽6，

∴𝑥4的所有可能取值为4，5，6． 故答案为4，5，6

（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首， ∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，

𝑥1+𝑥2⩽14① ，𝑥2+𝑥3⩽14② ，𝑥1+𝑥3+𝑥4⩽14③ ，𝑥2+𝑥4⩽14④ ， ① +② +④ −③ 得，3𝑥2⩽28， ∴𝑥2⩽28，

3∴𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4⩽28+14=70，

33∴𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4⩽231， 3∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首， 故答案为23

（1）根据表中的规律即可得到结论； （2）根据题意列不等式即可得到结论； （3）根据题意列不等式，即可得到结论．

本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键． 24. 【答案】（1）𝑃𝐶 ， 𝑃𝐷 ， 𝐴𝐷 ；

（2）见解析；

（3） 1.59（答案不唯一） ．

【解析】𝑃𝐶是自变量，𝐴𝐷随𝑃𝐶的变化而变化，解：（1）按照变量的定义，而𝑃𝐷、故𝑃𝐷、𝐴𝐷都是因变量， 故答案为𝑃𝐶、𝑃𝐷、𝐴𝐷 （2）描点画出如图图象；

答案第12页，总18页

1

（3）𝑃𝐶=2𝑃𝐷，即𝑃𝐷=𝑃𝐶，

21

画出𝑦=𝑥，交曲线𝐴𝐷的值约为1.59，

2故答案为1.59（答案不唯一）．

（1）按照变量的定义，𝑃𝐶是自变量，而𝑃𝐷、𝐴𝐷随𝑃𝐶的变化而变化，故𝑃𝐷、𝐴𝐷都是因变量，即可求解； （2）描点画出如图图象；

11

（3）𝑃𝐶=2𝑃𝐷，即𝑃𝐷=𝑃𝐶，画出𝑦=𝑥，交曲线𝐴𝐷的值为所求，即可求解．

22本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象上查出相应的近似数值． 25. 【答案】解：（1）令𝑥=0，𝑦=1，

∴直线𝑙与𝑦轴的交点坐标(0,1)；

−𝑘−1

（2）由题意，𝐴(𝑘,𝑘2+1)，𝐵(,−𝑘)，𝐶(𝑘,−𝑘)，

𝑘① 当𝑘=2时，𝐴(2,5)，𝐵(−3,−2)，𝐶(2,−2)，

2在𝑊区域内有6个整数点：(0,0)，(0,−1)，(1,0)，(1,−1)，(1,1)，(1,2)； ② 直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=𝑘𝑥+1，

当𝑥=𝑘+1时，𝑦=−𝑘+1，则有𝑘2+2𝑘=0， ∴𝑘=−2，

当0＞𝑘⩾−1时，𝑊内没有整数点，

∴当0＞𝑘⩾−1或𝑘=−2时𝑊内没有整数点．

【解析】（1）令𝑥=0，𝑦=1，直线𝑙与𝑦轴的交点坐标(0,1)；

3

（2）① 当𝑘=2时，𝐴(2,5)，𝐵(−,−2)，𝐶(2,−2)，在𝑊区域内有6个整数点；② 当

2𝑥=𝑘+1时，𝑦=−𝑘+1，则有𝑘2+2𝑘=0，𝑘=−2，当0＞𝑘⩾−1时，𝑊内没有整数点；

本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据𝑘变化分析𝑊区域内整数

答案第13页，总18页

点的情况是解题的关键． 1

26. 【答案】解：（1）𝐴(0,−)

𝑎1

点𝐴向右平移2个单位长度，得到点𝐵(2,−)；

𝑎（2）𝐴与𝐵关于对称轴𝑥=1对称， ∴抛物线对称轴𝑥=1； （3）∵对称轴𝑥=1， ∴𝑏−2𝑎，

∴𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−1，

𝑎①𝑎＞0时，

1

当𝑥=2时，𝑦=−＜2，

𝑎1

当𝑦=−时，𝑥=0或𝑥=2，

𝑎∴函数与𝐴𝐵无交点； ②𝑎＜0时，

1

当𝑦=2时，𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−=2，

𝑎𝑥=

𝑎+|𝑎+1|𝑎−|𝑎+1| 或𝑥=𝑎𝑎𝑎+|𝑎+1|1

当⩽2时，𝑎⩽−2；

𝑎

1

∴当𝑎⩽−时，抛物线与线段𝑃𝑄恰有一个公共点；

211

【解析】（1）𝐴(0,−)向右平移2个单位长度，得到点𝐵(2,−)；

𝑎𝑎（2）𝐴与𝐵关于对称轴𝑥=1对称；

11① 𝑎＞0时，𝑥=0或𝑥=2，（3）当𝑥=2时，当𝑦=−时，所以函数与𝐴𝐵𝑦=−𝑎＜2，𝑎无交点；

1𝑎+|𝑎+1|𝑎−|𝑎+1|𝑎+|𝑎+1|② 𝑎＜0时，当𝑦=2时，或𝑥=当𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−𝑎=2，𝑥=⩽𝑎𝑎𝑎1

2时，𝑎≤−2；

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．

答案第14页，总18页

27. 【答案】解：（1）如图1所示为所求．

（2）设∠𝑂𝑃𝑀=𝛼，

∵线段𝑃𝑀绕点𝑃顺时针旋转150∘得到线段𝑃𝑁， ∴∠𝑀𝑃𝑁=150∘，𝑃𝑀=𝑃𝑁，

∴∠𝑂𝑃𝑁=∠𝑀𝑃𝑁−∠𝑂𝑃𝑀=150∘−𝛼， ∵∠𝐴𝑂𝐵=30∘，

∴∠𝑂𝑀𝑃=180∘−∠𝐴𝑂𝐵−∠𝑂𝑃𝑀=180∘−30∘−𝛼=150∘−𝛼， ∴∠𝑂𝑀𝑃=∠𝑂𝑃𝑁．

（3）𝑂𝑃=2时，总有𝑂𝑁=𝑄𝑃，证明如下：

过点𝑁作𝑁𝐶⊥𝑂𝐵于点𝐶，过点𝑃作𝑃𝐷⊥𝑂𝐴于点𝐷，如图2， ∴∠𝑁𝐶𝑃=∠𝑃𝐷𝑀=∠𝑃𝐷𝑄=90∘， ∵∠𝐴𝑂𝐵=30∘，𝑂𝑃=2， 1

∴𝑃𝐷=𝑂𝑃=1，

2∴𝑂𝐷=√𝑂𝑃2−𝑃𝐷2=√3， ∵𝑂𝐻=√3+1， ∴𝐷𝐻=𝑂𝐻−𝑂𝐷=1， ∵∠𝑂𝑀𝑃=∠𝑂𝑃𝑁，

∴180∘−∠𝑂𝑀𝑃=180∘−∠𝑂𝑃𝑁， 即∠𝑃𝑀𝐷=∠𝑁𝑃𝐶． 在△𝑃𝐷𝑀与△𝑁𝐶𝑃中， ∠𝑃𝐷𝑀=∠𝑁𝐶𝑃{∠𝑃𝑀𝐷=∠𝑁𝑃𝐶 𝑃𝑀=𝑁𝑃

∴△𝑃𝐷𝑀≅△𝑁𝐶𝑃(A𝐴𝑆) ∴𝑃𝐷=𝑁𝐶，𝐷𝑀=𝐶𝑃，

答案第15页，总18页

设𝐷𝑀=𝐶𝑃=𝑥，则𝑂𝐶=𝑂𝑃+𝑃𝐶=2+𝑥，𝑀𝐻=𝑀𝐷+𝐷𝐻=𝑥+1， ∵点𝑀关于点𝐻的对称点为𝑄， ∴𝐻𝑄=𝑀𝐻=𝑥+1，

∴𝐷𝑄=𝐷𝐻+𝐻𝑄=1+𝑥+1=2+𝑥， ∴𝑂𝐶=𝐷𝑄，

在△𝑂𝐶𝑁与△𝑄𝐷𝑃中， 𝑂𝐶=𝑄𝐷

{∠𝑂𝐶𝑁=∠𝑄𝐷𝑃=90∘ 𝑁𝐶=𝑃𝐷

∴△𝑂𝐶𝑁≅△𝑄𝐷𝑃(A𝐴𝑆)， ∴𝑂𝑁=𝑄𝑃．

【解析】（1）根据题意画出图形．

（2）由旋转可得∠𝑀𝑃𝑁=150∘，故∠𝑂𝑃𝑁=150∘−∠𝑂𝑃𝑀；由∠𝐴𝑂𝐵=30∘和三角形内角和180∘可得∠𝑂𝑀𝑃=180∘−30∘−∠𝑂𝑃𝑀=150∘−∠𝑂𝑃𝑀，得证．

（3）根据题意画出图形，以𝑂𝑁=𝑄𝑃为已知条件反推𝑂𝑃的长度．由（2）的结论∠𝑂𝑀𝑃=∠𝑂𝑃𝑁联想到其补角相等，又因为旋转有𝑃𝑀=𝑃𝑁，已具备一边一角相等，过点𝑁作𝑁𝐶⊥𝑂𝐵于点𝐶，过点𝑃作𝑃𝐷⊥𝑂𝐴于点𝐷，即可构造出△𝑃𝐷𝑀≅△𝑁𝐶𝑃，进而得𝑃𝐷=𝑁𝐶，𝐷𝑀=𝐶𝑃．此时加上𝑂𝑁=𝑄𝑃，则易证得△𝑂𝐶𝑁≅△𝑄𝐷𝑃，所以𝑂𝐶=𝑄𝐷．利用∠𝐴𝑂𝐵=30∘，设𝑃𝐷=𝑁𝐶=𝑎，则𝑂𝑃=2𝑎，再设𝐷𝑀=𝐶𝑃=𝑥，所以𝑄𝐷=𝑂𝐷=√3𝑎．𝑂𝐶=𝑂𝑃+𝑃𝐶=2𝑎+𝑥，𝑀𝑄=𝐷𝑀+𝑄𝐷=2𝑎+2𝑥．由于点𝑀、𝑄关于点𝐻对称，即1

点𝐻为𝑀𝑄中点，故𝑀𝐻=𝑀𝑄=𝑎+𝑥，𝐷𝐻=𝑀𝐻−𝐷𝑀=𝑎，所以𝑂𝐻=𝑂𝐷+𝐷𝐻=

2√3𝑎+𝑎=√3+1，求得𝑎=1，故𝑂𝑃=2．证明过程则把推理过程反过来，以𝑂𝑃=2为条件，利用构造全等证得𝑂𝑁=𝑄𝑃．

本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180∘，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以𝑂𝑁=𝑄𝑃为条件反推𝑂𝑃的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以𝑂𝑃=2为条件构造全等证明𝑂𝑁=𝑄𝑃．

答案第16页，总18页

⏜，就是△𝐴𝐵𝐶的最长的中内弧𝐷𝐸⏜， 28. 【答案】解：（1）如图2，以𝐷𝐸为直径的半圆弧𝐷𝐸

连接𝐷𝐸，

∵∠𝐴=90∘，𝐴𝐵=𝐴𝐶=√2，𝐷，𝐸分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点， 𝐴𝐶2√211

∴𝐵𝐶=，𝐷𝐸=𝐵𝐶=×4=2， ==4∘𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛4522⏜=1×2𝜋=𝜋； ∴弧𝐷𝐸

2

（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段𝐷𝐸的垂直平分线上，连接𝐷𝐸，作𝐷𝐸垂直平分线𝐹𝑃，作𝐸𝐺⊥𝐴𝐶交𝐹𝑃于𝐺，

① 当𝑡=1时，𝐶(2,0)，∴𝐷(0,1)，𝐸(1,1)，𝐹(1,1)，

22

1

设𝑃(,𝑚)由三角形中内弧定义可知，圆心线段𝐷𝐸上方射线𝐹𝑃上均可，

2∴𝑚⩾1，

∵𝑂𝐴=𝑂𝐶，∠𝐴𝑂𝐶=90∘，

∴∠𝐴𝐶𝑂=45∘， ∵𝐷𝐸//𝑂𝐶，

∴∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐶𝑂=45∘，

1

作𝐸𝐺⊥𝐴𝐶交直线𝐹𝑃于𝐺，𝐹𝐺=𝐸𝐹=，

2根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点𝐺的下方（含点𝐺）直线𝐹𝑃上时也符合要求； 1∴𝑚⩽，

21

综上所述，𝑚⩽或𝑚⩾1．

2② 如图4，设圆心𝑃在𝐴𝐶上， ∵𝑃在𝐷𝐸中垂线上，

答案第17页，总18页

∴𝑃为𝐴𝐸中点，作𝑃𝑀⊥𝑂𝐶于𝑀，则𝑃𝑀=3，

23∴𝑃(𝑡,)，

2∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，

∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝑂𝐵=90∘，

∴𝐴𝐸=√𝐴𝐷2+𝐷𝐸2=√12+(2𝑡)2=√4𝑡2+1， ∵𝑃𝐷=𝑃𝐸， ∴∠𝐴𝐸𝐷=∠𝑃𝐷𝐸，

∵∠𝐴𝐸𝐷+∠𝐷𝐴𝐸=∠𝑃𝐷𝐸+∠𝐴𝐷𝑃=90∘， ∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐷𝑃， 1

∴𝐴𝑃=𝑃𝐷=𝑃𝐸=𝐴𝐸，

2

由三角形中内弧定义知，𝑃𝐷⩽𝑃𝑀， ∴1

3

𝐴𝐸⩽，𝐴𝐸⩽3，即√4𝑡2+1⩽3，解得：𝑡⩽√2， 22

∵𝑡＞0， ∴0＜𝑡⩽√2．

【解析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得𝐷𝐸=2，最长中内弧即以𝐷𝐸为⏜的长即以𝐷𝐸为直径的圆周长的一半； 直径的半圆，𝐷𝐸

1

（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在𝐷𝐸的中垂线上，① 当𝑡=时，要注意

2圆心𝑃在𝐷𝐸上方的中垂线上均符合要求，在𝐷𝐸下方时必须𝐴𝐶与半径𝑃𝐸的夹角∠𝐴𝐸𝑃满足90∘⩽∠𝐴𝐸𝑃∠135∘；② 根据题意，𝑡的最大值即圆心𝑃在𝐴𝐶上时求得的𝑡值． 此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．

答案第18页，总18页