一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范 围是( )
A.(1,2) B.(2,+∞) C.[3,+∞ D.(3,+∞)
参:
B 2. 若函数
是R上的单调函数,则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D. 参:
C
若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立,即△=4﹣12m≤0,∴m≥.故选:C. 3.
的内角
的对边分别为
,若
,
,则等于
( ) A.
B.2
C.
D.
参:
D
4. 已知椭圆
与轴交于
、
两点,
为椭圆上一动点(不与
、
重合),则
( ▲ )
A. B. C. D.
参:
D
5. 已知函数f(x)=,则方程f2(x)﹣3f(x)+2=0的根的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
参:
A
【考点】:根的存在性及根的个数判断.
【分析】求解方程f2(x)﹣3f(x)+2=0,得f(x)=1或f(x)=2,画出函数f(x)
=
的图象,数形结合得答案.
【解答】解:由f2(x)﹣3f(x)+2=0,得f(x)=1或f(x)=2.
画出函数f(x)=的图象如图:
由图可知,方程f(x)=1有1根,方程f(x)=2有2根. ∴方程f2(x)﹣3f(x)+2=0的根的个数是3.
故选:A.
【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,是中档题.
6. 如图所示,正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1,O是平面A′B′C′D′的中心,则O到平面
ABC′D′的距离是( )
A. B.
C.
D.
参:
B
【考点】点、线、面间的距离计算.
【分析】过O作A′B′的平行线,交B′C′于E,则O到平面ABC′D′的距离即为E到平面ABC′D′的距离.作EF⊥BC′于F,可得EF⊥平面ABC′D′,进而根据EF=B′C,求得EF.【解答】解:过O作A′B′的平行线,交B′C′于E, 则O到平面ABC′D′的距离即为E到平面ABC′D′的距离. 作EF⊥BC′于F,可得EF⊥平面ABC′D′, 从而EF=B′C=.
故选B.
7. 如果,则使取最大值时的k值为( )
A. 5或6
B. 6或7
C. 7或8
D. 以上均错
参:
B
解:
所以当k≤6时,P(ξ=k+1)≥P(ξ=k), 当k>0时,P(ξ=k+1)<P(ξ=k),
其中k=6时,P(ξ=k+1)=P(ξ=k), 从而k=6或7时,P(ξ=k)取得最大值
8. 已知函数f(x)=xex
,则f′(2)等于( ) A.e2 B.2e2 C.3e2 D.2ln2
参:
C
【考点】导数的运算.
【分析】先根据两乘积函数的导数运算法则求出f(x)的导数,然后将2代入导函数,即可求出所求.
【解答】解:∵f(x)=xex
, ∴f′(x)=ex+xex. ∴f′(2)=e2+2e2=3e2. 故选C.
【点评】本题主要考查了导数的运算,以及函数的求值,解题的关键是两乘积函数的导数运算法则,属于基础题. 9. 欲证
,只需证( )
A.
B.
C.
D.
参:
C
【考点】R8:综合法与分析法(选修). 【专题】11 :计算题.
【分析】原不等式等价于 <
,故只需证
,由此得到结
论.
【解答】解:欲证
,
故选C.
,只需证 <,只需证
13. 与双曲线有共同的渐近线,且经过点的双曲线的标准方程
为 参:
【点评】本题主要考查用分析法证明不等式,体现了转化的数学思想,属于中档题.
10. 已知双曲线﹣=1(a>0,b>0),F是左焦点,A、B分别是虚轴上、下两端,C是它的左顶
点,直线AC与直线FB相交于点D,若双曲线的离心率为
,则∠BDA的余弦值等于( A.
B. C. D.
参:
B 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 椭圆的焦点分别是F1和F2,过原点O作直线与椭圆相交于A,B两点.
若
的面积是20,则直线AB的方程是_______________________.
参:
略
12. 命题“如果
,那么
且
”的逆否命题是______.
参:
如果 或
,则
【分析】
由四种命题之间的关系,即可写出结果. 【详解】命题“如果
,那么
且
”的逆否命题是“如果
或
,则”.
故答案为:如果
或
,则
【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系,熟记概念即可,属于基础题型.
14. 将3本相同的小说,2本相同的诗集全部分给4名同学,每名同学至少1本,则不同的分法有 种.
参:
28
【考点】D8:排列、组合的实际应用.
【分析】根据题意,分3种情况讨论:有一个人分到一本小说和一本诗集,有一个人分到两本诗集,有一个人分到两本小说,根据分类计数原理可得.
【解答】解:根据题意,分3种情况讨论:
①:有一个人分到一本小说和一本诗集,
这种情况下的分法有:先将一本小说和一本诗集分到一个人手上,有4种分法,
将剩余的2本小说,1本诗集分给剩余3个同学,有3种分法, 那共有3×4=12种;
②,有一个人分到两本诗集,
这种情况下的分法有:先将两本诗集分到一个人手上,有4种情况,
将剩余的3本小说分给剩余3个人,只有一种分法. 那共有:4×1=4种; ③,有一个人分到两本小说,
这种情况的分法有:先将两本小说分到一个人手上,有4种情况, 再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人,有3种分法.
那共有:4×3=12种,
综上所述:总共有:12+4+12=28种分法,
)
故答案为:28.
15. 一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则该截面的面积为 .
参:
【考点】简单空间图形的三视图.
【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.
【分析】由三视图得到该截面为如图所示的梯形BDEF,共中E,F分别是棱D1C1、B1C1的中点,由此能求出该截面的面积.
【解答】解:由 一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图, 得到该截面为如图所示的梯形BDEF,共中E,F分别是棱D1C1、B1C1的中点, 取DB中点G,BG中点H,连结FG、FH, 由已知得EF=
,BD=2
,EFDG,∴DEFG是平行四边形,∴DE=BF=FG=
=
,
∴FH⊥BD,且FG=
=,
∴该截面的面积为S==.
故答案为:.
【点评】本题考查截面面积的求法,考查简单空间图形的三视图,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 16. 程序框图如下:
如果上述程序运行的结果为S=132,那么判断框中应填入
参:
17. 设命题命题若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是 参:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数f(x)=ax2+(b-2)x+3(a≠0),若不等式f(x)>0的解集为(-1,3). 求
的值;
(2)若函数f(x)在x[m,1]上的最小值为1,求实数m的值.
参:
解:(1)由已知条件得-1和3是方程ax2+(b-2)x+3=0的两个根,则有 ,解
得
(2)由(1)可知,对称轴是
,函数在
上是增函数。则
的最小值
是解得
略
19. 设数列 9,
(1)求证:
是等比数列;
(2)若数列满足,
求数列
的前项和
;
参:
(1)依题意,,故
,
当 ① 又
②
②-①整理得:,故是等比数列,
(2)由(1)知,且
,
,
20. (10分)已知原命题为“若a>2,则a2>4”,写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断四种命题的真假。
参:
原命题为“若a>2,则a2>4”正确 …1分
逆命题: 错误 …4分
否命题:错误 …7分 逆否命题:
正确 …10分
21. 如图,四棱锥,底面是边长为的菱形,
,且
平面
.(Ⅰ)证明:平面
平面
;
(Ⅱ)若平面
与平面
的夹角为
,试求线段
的长.
参:
(Ⅰ)证明:
平面,
四边形是菱形 , 又 , 所以平面
,
又
平面
,所以平面平面
. (6分) (Ⅱ)取的中点,由题易证
,分别以
为
轴,建立空间直角坐
标系
(如图),
设.
所以
. …………………………(7分)
设平面
的法向量为,
根据,得,
令
,则
. …………………………(9分) 平面
的法向量可取
,
…………………………(10分)
由题,
,解得,
所以线段的长为
标是关键.
. …………………………(12分) 22. (12分)已知椭圆的两焦点为F1(﹣1,0)、F2(1,0),P为椭圆上一点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|. (1)求此椭圆的方程;
(2)若点P在第二象限,∠F2F1P=120°,求△PF1F2的面积.
参:
【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的应用.
【分析】(1)根据2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,求出a,结合焦点坐标求出c,从而可求b,即可得出椭圆方程;
(2)直线方程与椭圆方程联立,可得P的坐标,利用三角形的面积公式,可求△PF1F2的面积. 【解答】解:(1)依题意得|F1F2|=2, 又2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=4=2a, ∴a=2, ∵c=1, ∴b2=3.
∴所求椭圆的方程为+=1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)设P点坐标为(x,y), ∵∠F2F1P=120°,
∴PF1所在直线的方程为y=(x+1)?tan 120°, 即y=﹣
(x+1).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解方程组
并注意到x<0,y>0,可得∴S△PF1F2=|F1F2|?
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)
=.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)
【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力,确定P的坐
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