【湘教版】八年级数学上册第二章能力培优训练合集（含答案）

课时评价10 2、1 定义

（时量：40分钟，满分100分）考标要求

1、通过具体的事例了解定义的含义；2、能正确叙述已学过数学概念的特征；

重点、难点：弄清定义的含义，能掌握已学过的数学概念的特征性质。⼀、选择题:（每⼩题5分，共25分）1、下列语句中属于定义的是（）A、对顶⾓相等

B、三⾓形的内⾓和等于180°C、平⾏四边形的对⾓相等

D、连接三⾓形两边中点的线段叫三⾓形的中位线。2、下⾯对矩形的定义正确的是（）A、矩形的四个⾓都是直⾓，B、矩形的对⾓线相等，C、矩形是中⼼对称图形，D、有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形3、下⾯关于⽆理数的定义正确的是（）A、没有道理的数叫⽆理数B、⽆限⼩数叫⽆理数C、⽆限不循环⼩数叫⽆理数D、开不尽⽅的数叫⽆理数

4、⼩明同学的笔记本上写出他对四个概念的定义，你认为正确的个数有（）（1）如果函数的解析式是⾃变量的⼀次式，那么这样的函数称为⼀次函数；

（2）⼀样⼤的三⾓形叫全等三⾓形；（3）把⼀组数据从⼩到⼤排列，如果数据的个数是奇数，那么位于中间的数称为这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，那么位于中间两个数的平均数称为这组数据的中位数；（4）在⼀组数据中，把出现次数最多的数据叫作这组数据的众数；A、1个B、2个C、3个D、4个

5、下⾯四个定义中不正确的是（）

A、数轴上表⽰⼀个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值;

B、有⼀组邻边相等的四边形叫菱形;

C、有⼀个⾓是直⾓且有⼀组邻边相等的平⾏四边形叫正⽅形;D、两腰相等的梯形叫等腰梯形、⼆、填空题（每⼩题5分，共25分）

6、关于“中华⼈民共和国公民”的定义是这样的：“具有中华⼈民共和国国籍的⼈叫中华⼈民共和国公民”这个定义描述的特征性质是：___________________________；7、等腰三⾓形的定义是：有____________相等的三⾓形叫等腰三⾓形；8、简洁的说，在随机现象中，⼀个事件发⽣的_____________叫概率。

9、有这样⼀个语句：“印花税就是开启帐簿（记载资⾦帐和其他帐簿）、书⽴产权转移书据（办产权、销售房屋等）、签⽴合同（不论合同是否兑现、不论合同⼏时兑现）、办理权利许可证照（如⼯商执照、商标注册证等）时缴纳的税”。_____(填“是”或“不是”)印花税的定义；

10、填写适当的概念：如果⼀个图形关于某⼀条直线做______，能够和另⼀个图形____，那么就说这两个图形关于这条直线对称。三、解答题（每个⼩题10分共50分）11、叙述下列概念的定义:

(1)⾓平分线（2）三⾓形的⾓平分线12、下⾯语句是那个定义的特征？(1)连接三⾓形的顶点和对边中点的线段；（2）三⾓形⼀边的延长线和另⼀边组成的⾓

（3）不等式组中各个不等式的解集的公共部分（4）点到直线的垂线段的长度；13、请你写出两个本考卷中没有的定义

14、⼩明同学认为对顶⾓可以这样定义：顶点公共，⽽且相的等⾓叫对顶⾓，你认为正确吗？如果你认为不正确请举⼀个反例，并对“对顶⾓”正确定义。15、下⾯⼏个定义是否正确，如果不正确，请你正确的定义：(1)三条线段⾸尾相接组成的图形叫三⾓形；（2）多边形所有外⾓的和叫多边形的外⾓和16、拓展探究题（不计总分）

我们知道：有两条边相等的三⾓形叫做等腰三⾓形，类似地我们定义：⾄少有⼀组对边相等的三⾓形叫等对边三⾓形。(1)请写出⼀个你学过的特除四边形中是等对边三⾓形的图形的名称；

(2)如图在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上设CD、BE相交于点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12

∠A、请你写出图中⼀个与∠A相等的⾓，并猜想图中那个四边形是等对边四边形；

(3)在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐⾓，点D，E分别在AB、AC上且∠DCB=∠EBC=1 2∠A，探究满⾜上述条件的图形是否存在等对边四边形，并证明你的结论。

参1、 D2、 D3、 C4、 C5、 B

6、具有中华⼈民共和国国籍7、两条边相等

8、可能性⼤⼩9、是10、轴反射，重合

11、从⾓的顶点出发的⼀条射线，如果把这个⾓分成了相等的两部分，那么这条射线就叫这个⾓的平分线，三⾓形的⼀个⾓的平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三⾓形的平分线12、（1）三⾓形的中线（2）三⾓形的外⾓（3）不等式组的解集（4）点到直线的距离13、略

14、不正确，图略，⼀个⾓的两边分别是另⼀个⾓的两边的反向延长线，这两个⾓叫对顶⾓。

15、（1）不正确，由不在同⼀直线上的三条线段⾸尾相接所组成的图形叫三⾓形；（2）不正确，在多边形的每个顶点处取⼀个外⾓，它们的和叫这个多边形的外⾓和。16、(1)平⾏四边形，等腰梯形;

（2）与∠A相等的⾓是∠BOD(或∠EOC)，四边形DBCE是等对边四边形;

（3）提⽰：分别过点B、C作CD、BE的垂线段BF、CG，证明△BCF≌△CBG得BF=CG，再证△BDF≌△CGE得BD=CEO 课时评价11 2、2命题考标要求：

1、 了解命题与逆命题的概念；知道命题有真假，会识别两个互逆命题，并知道原命题成⽴，其逆命题不⼀定成⽴；2、 能分清命题的条件和结论，能把⼀个命题写成“如果…、那么…、、”的形式 重点难点：

重点：命题的定义和形式，区分命题的真假；难点： 判断命题的真假 ⼀、 选择题（每⼩题5分，共25分） 1、下列语句中（1）四川地震让中国⼈众志成城；（2）中国加油！四川加油！

（3）对顶⾓相等; （4）过直线外的⼀点有且只有⼀条直线和已知直线平⾏、 是命题的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个

D 、4个 2、 下列命题是真命题的是（ ） A 、 真命题的逆命题是真命题 B 、 如果22

a b 那么a>b

C 、 如果 ac>bc ，那么a>b ;

D 、 三⾓形的中位线平⾏于三⾓形的第三边且等于第三边的⼀半 3、下列命题中，假命题的个数有（ ）(1)⽆限⼩数是⽆理数； （2

（3） 三点确定⼀条直线； （4）多边形的边数越多，内⾓和越⼤。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、 下列命题中假命题是（ ）

A 、 有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形是矩形 ；B 、对⾓线相等的平⾏四边形是矩形；C 、四条边相等的四边形是菱形 ；

D 、 有⼀组对边平⾏的四边形是梯形。 5、 下列命题，真命题是（ ）

A 、 如图：如果OP 平分∠AO

B ，那么，PA=PB ； B 、 三⾓形的⼀个外⾓⼤于它的⼀个内⾓；C 、

D 、有⼀组邻边相等的矩形是正⽅形。

⼆、 填空题(每⼩题5分，共25分) 6、 命题“对顶⾓”相等，的条件是_____________________， 结论是：______________________________;

7、把“同⾓或等⾓的余⾓相等”写成“如果…那么”的形式是_______________________________________________________________;

8、 命题：“直⾓三⾓形中，30°的锐⾓所对的直⾓边等于斜边的⼀半”的逆命题是___________________________________________________;

9、 命题：“直⾓三⾓形中，两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅”的逆命题是_____________________________________________________;

10、 请你任写⼀个真命题:_______________________________ ____________; 三、 解答题（每⼩题10分，共50分）11、 写出下列命题的条件和结论并指出它是真命题还是假命题： （1）有⼀个⾓是60°的等腰三⾓形是等边三⾓形；（2）等腰三⾓形底边上的⾼和底边上的中线顶⾓的平分线互相重合； （3）各位上的数字和能被3整除的整数能被3整除；（4）对⾓线互相垂直平分的四边形是菱形；

12、判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题举出反例。 (1)有两个⾓和⼀边对应相等的两个三⾓形全等； (2)有两边和⼀⾓对应相等的两个三⾓形全等；

(3)有两边和其中⼀边上的中线对应相等的两个三⾓形全等； (4)有⼀边对应相等的两个等边三⾓形全等；13、 写出下列命题的逆命题：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果有⼀对同位⾓相等，那么这两条直线平⾏； （2）⾓平分线上的点到⾓的两边的距离相等； （3）若2r =a ，则r 叫a 的平⽅根; （4）如果a ≥0、

14、“若a>b ，那么ac>bc ”是真命题还是假命题，如果是假命题举⼀个反例并添适当的条件使它成为真命题。

15、 如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，BD=BE ，（1）请你再添⼀个条件，使得△BEA △BDC ，并给出证明，你添加到条件是____________;(2)根据你添加到条件，再写出图中⼀对全等三⾓形：_______________(只要写出⼀对全等三⾓形，不再添加其他线段，不再标注或使⽤其他字母，不必写出证明过程)E D

CB AD CB

参1、 B2、 D3、 C

4、 D 5 D 6、 两个⾓是对顶⾓，这两个⾓相等

7、如果两个⾓是同⼀个⾓或相等的⾓度余⾓，那么这两个⾓相等。

8、直⾓三⾓形中，如果有⼀条直⾓边等于斜边的⼀半，那么这条直⾓边所对的⾓等于30° 9、 三⾓形中如果有两条边的平⽅和等于第三边的平⽅，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形， 11、

（2）假命题，如图△ABC 与△ABD 中，AB=AB ，∠B=∠B ，AD=AC ，但△ABC 与△ABD 不全等、

（3）真命题，（4）真命题，

13、（1）两条平⾏线线被第三条直线所截，同位⾓相等; （2）到⾓两边的距离相等的点在⾓平分线上 （3）若r 是a 的平⽅根，那么2r =a ， （4，那么a ≥0；

14、 假命题，如：2＞1，但2×（-1）＜1×（-1）

如果增加条件：“C ＞0”，命题就成为真命题 15、（1）答案不唯⼀，如：AB=BC 或∠BAE=∠BCD 或∠BDC=∠BEA ，（2）△DAC=△ECA课时评价12 2.3公理与定理考标要求：

1. 了解公理与定理到概念，以及他们之间的内在联系；2. 了解公理与定理都是真命题，它们都是推理论证的依据；3. 掌握教材⼗条公理和已学过的定理。⼀. 选择题:（每⼩题5分，共25分）1.下⾯命题中：

（1）旋转不改变图形的形状和⼤⼩，（2）轴反射不改变图形的形状和⼤⼩（3）连接两点的所有线中，线段最短，（4）三⾓形的内⾓和等于180°属于公理的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下⾯关于公理和定理的联系说法不正确的是（）A. 公理和定理都是真命题，B.公理就是定理，定理也是公理，C. 公理和定理都可以作为推理论证的依据D.公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明

3.推理：如图∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB，这个推理的依据是（）A.等量加等量和相等，B.等量减等量差相等C. 等量代换D. 整体⼤于部分O CBADCA

4.推理：如图：∵∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，(已知) ∴AD=CD，CD=DB( 等腰三⾓形的性质)∴AD=DB( )

括号⾥应填的依据是（）A. 旋转不改变图形的⼤⼩B. 连接两点的所有线中线段最短C.等量代换D. 整体⼤于部分

5.下⾯定理中，没有逆定理的是（）

A. 两条直线被第三条直线所截，若同位⾓相等，则这两条直线平⾏B. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C. 平⾏四边形的对⾓线互相平分D.对顶⾓相等

⼆. 填空题（每⼩题5分，共25分）

6.⼈们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为____________，运⽤基本定义和公理通过推理证明是真的命题叫_______;7.定理：“直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅”的逆定理是：__________________________________________________________;

8. ____________________________________________________是定理“两条直线被第三条E

DCB

A 直线所截，如果同旁内⾓互补，那么这两条直线平⾏”的逆定理

9. 如图，Rt △ABC 沿直⾓边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下⾯结论中 （1） △ABC ≌△DEF ，（2）∠DEF=90°，(3) AC=DF (4) AC ∥DF (5) EC=CF 正确的是______________(填序号)，你判断的依据是____________________________.F E DC BADCB A

10. 要使平⾏四边形ABCD 成为⼀个菱形，需要添加⼀个条件，那么你添加的是_____________，依据是________________________________________.

三. 解答题（3×12+14=50分） 11 仔细观察下⾯推理，填写每⼀步⽤到的公理或定理: 如图：在平⾏四边形ABCD 中，CE ⊥AB ，E 为垂⾜，如果∠A=125°， 求∠BCE.解：∵四边形ABCD 是平⾏四边形(已知)∴AD ∥BC （ ）

∵∠A=125°（已知）∴∠B=180°-125°=55°（）

∵△BEC 是直⾓三⾓形（已知）∴∠BCE=90°-55°=35°( )

12. 如图将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△A ’OB ’

若A 点的坐标为（a ，b ），则B 点的坐标为（ ）， 你⽤到的依.据是__________________________________.13.如图所⽰，在直⾓坐标系xOy 中， A(⼀l ，5)，B(⼀3，0)，C(⼀4，3)．根据轴反射的定义和性质完成下⾯问题：(1)在右图中作出△ABC 关于y 轴的轴对称图形△A ′B ′C ′； (2)写出点C 关于y 轴的对称点C ′的坐标.14.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC.BD相交于O，⽤所学公理.定理.定义说明:（1）△ABC≌△ADC;(2)OB=OD，AC⊥BD.

参1. C2. B3. A

4. C5. D6. 公理定理

7.有两边的平⽅和等于第三边的平⽅的三⾓形是直⾓三⾓形。8.两条平⾏线被第三条直线所截，同旁内⾓互补

9.①②③④，平移不改变图形的性质和⼤⼩，平移不改变直线的⽅向，10. AB=BC，，有⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形。

11. 平⾏四边形对边平⾏；两直线平⾏，同旁内⾓互补；直⾓三⾓形两锐⾓互余。12. （0，a），旋转不改变图形的性状和⼤⼩13. （1）略（2）C’(4，3)

14. （1）∵AB=AD，BC=DC，AC=AC∴△ABC≌△ADC

(2) 由（1）知△ABC≌△ADC∴∠BCA=∠DCA，⼜∵BC=DC

∴BO=OD，AC⊥BD.EC'DCB ACB A21

课时评价13 2.4 证明（1）考标要求:

1.了解证明的含义，理解证明的必要性；2.了解证明的基本步骤和书写格式。 重点难点：

重点：⽤平⾏线的性质.判定定理.三⾓形的性质定理证明有关⼏何问题； 难点：正确填写理由以及寻找证明思路。 ⼀. 填空题：（每⼩题5分，共25分）

1.如图1，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，DE 过点C 且平⾏于 AB ，若∠BCE=35°，则∠A 的度数为（ ）A. 35°B. 55°C. 45°D. 60°

图1 图2 图3 2.如图2，将矩形ABCD 纸⽚沿对⾓线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC ' 交AD 于E ，若22.5DBC ∠=°，则在不添

加任何辅助线的情况下，图中45°的⾓（虚线也视为⾓的边）有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个

D ．3个 3.如图3，已知△ABC 为直⾓三⾓形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于（ ） A. 90° B. 135°C.270° D. 315° 4. 如图4，正⽅形⽹格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于（ ）A.165°B.150°C.210°D.225°

5. 如图5，把⼀副三⾓板按如图⽅式放置，则两条斜边所形成的钝⾓α=( ) A.75° B.105° C.135° D.150° ⼆.填空题:（每⼩题5分，共25分）

6. 如图6，这是⼩亮制作的风筝，为了平衡做成轴对称图形，已知OC 是对称轴，∠A=35°∠ACO=30°那么∠BOC=______.7．等腰三⾓形的两边长分别是10cm ，21cm ，这个等腰三⾓形的周长等于_______cm.213αBACO 图5图4图6G F E

D C B A 8．已知三⾓形三边长a.b.c 满⾜(a+b+c)(a+b-c)=2ab ，则此三⾓形是________三⾓形。

9．在△ABC 中，若AB=8，BC=6，则第三边AC 的长度m 的取值范围是________.

10．如图，两平⾯镜α.β的夹⾓θ，⼊射光线AO 平⾏于β，⼊射到α上，经两次反射的出射光线BO ’平⾏于α，则⾓，θ=______.

三. 解答题（12×3+14=50分）

11. 如图在△ABC 中，∠B 的平分线交∠C 的外⾓平分线∠ACE 的平分线于点D ，那么∠A 与∠D 有怎样的数量关系，证明你的结论。

12. 某学校初中三年级学⽣在参加综合实践活动中，看到⼯⼈师傅在材料的 边⾓处画直⾓

时，有时⽤“三弧法”，如图所⽰，⽅法是：（1） 画线段AB ，分别以A.B 为圆⼼，AB 为半径画弧，两弧交于C 点；(2) 在AC延长线上截取CD=CB ；（3）连接DB ，则得到直⾓∠ABC ，你知道这是为什么吗？请说明理由。D

B

13. 证明：如图，EG ∥AF ，请你从下⾯三个条件中，再选两个作为已知条件，另⼀个作为结论，推出⼀个正确的命题.（只写出⼀种情况）（1）AB=AC （2）DE=DF (3) BE=CF

已知：EG ∥AF ，____=_______，______=_______. 求证：______=_______

14. 如图，直线AC ∥BD ，连接AB ，直线AC.BD 及线段AB 把平⾯分成①.②.③.④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P 落在某个部分时，连接PA.PB ，构成∠PAC.∠APB.∠PBD 三个⾓。（提⽰：有共同端点的两条重合的射线所组成的⾓是0°） (1) 当动点P 落在第⼀部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD

（2）当动点P 落在第⼆部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD 是否还成⽴（直接回答成⽴或不成⽴）？

（3）当动点P 在第三部分时，全⾯探究∠PAC.∠APB.∠PBD 之间的关系，并写出动点PE D CB A E DC B A

的具体位置和相应的结论，选择其中⼀种结论加以证明④③①②P DC BA④③①②DC BA④③①②DC BA参

1. B2. B3. C4. D5. A6. 115°7. 528. 直⾓9. 2

11. ∵∠D=∠DCE-∠DBE ，∠A=2∠DCE-2∠DBE=2(∠DCE-∠DBE)∴∠D=2∠A12.∵AC=BC ∴∠A=∠CBA ∵CB=CD ∴∠D=∠CBD∵∠A+∠D+∠CBA+∠CBD=180°∴2(∠CBA+∠CBD)=180°∴∠∠CBA+∠CBD=90°即：∠ABD=90°∴△ABD是直⾓三⾓形

13. （答案不唯⼀）如选AB=AC，DE=DF作已知，BE=CF作结论，证明如下：易证：△DEG≌△DFC，∴CF=EG∵EG∥AC ∴∠EGB=∠ACB∵AB=AC

∴∠B=∠ACB ∴∠B=∠EGB∴ BE=EG ∴ BE=CF

14. (1)如图1作PE∥AC交AB于E，∵AC∥BD ，∴PE∥BD，∴∠APE=∠PAC ，∠BPE=∠PBD，∴∠APB=∠PAC+∠PBD即：∠APB=∠PAC+∠PBD(2)不成⽴

（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB .(b)当动点P在射线BA上，结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .

或∠PAC =∠PBD +∠APB 或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD（任写⼀个即可）.(c) 当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC =∠APB +∠PBD .选择(a) 证明：

如图9-4，连接PA，连接PB交AC于M∵AC∥BD ，∴∠PMC =∠PBD .

⼜∵∠PMC =∠PAM +∠APM ，∴∠PBD =∠PAC +∠APB .选择(b) 证明：如图9-5

∵点P在射线BA上，∴∠APB= 0°.∵AC∥BD，∴∠PBD =∠PAC .∴∠PBD =∠PAC +∠APB或∠PAC =∠PBD+∠APB或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.选择(c) 证明：

如图9-6，连接PA，连接PB交AC于F∵AC∥BD，∴∠PFA =∠PBD .F EOC B

A MB CD A

CBAEO DCBA P DCBAEDCB A④

③CBA CBA 108°90°图2 ②CBA45°①CBA36°

课时评价13 2、4 证明（2）考标要求

1、能⽤⾓平分线的性质和等腰三⾓形的性质、判定解有关⼏何问题2、 继续了解证明的基本步骤和书写格式，培养推理意识和表达能⼒。

重点：⽤⾓平分线的性质和等腰三⾓形的性质、判定证明有关⼏何问题证明有关⼏何问题 难点：⽤⾓平分线的性质和等腰三⾓形的性质、判定解决实际问题⼀、 选择题（每⼩题5分，共25分）

1、如图1，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD 等于（ ）A 、4B 、3 D 、2C 、1

2、 如图2，在下列三⾓形中，若AB=AC ，则能被⼀条直线分成两个⼩等腰三⾓形的是（ ）A 、 ①②③B 、①②④ C

、②③④ D 、 ①③④ 3、 △ABC 为等腰三⾓形，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于O ，OE ∥AB 交BC 于E ，OF ∥AC ，交BC于F ，则图3中等腰三⾓形有（ ）A 、6B 、 3

图图5

4、 同学们都玩过跷跷板的游戏，如图4，是⼀个跷跷板的⽰意图，⽴柱OC 与地⾯垂直，OA=OB ，当跷跷板的⼀头着地时，∠OAC=25°，则当跷跷板的另⼀头B 着地时∠AOA ’等于（ ）A 、 2 5°B 、50 °C 、60°D 、130°

5、如图5，AC 平分∠BAD ，CM ⊥AB ，且AB+AD=2AM ，那么∠ADC 与∠ABC （ ） A 、相等 B 、互补 C 、和为150° D、和为165° ⼆、填空题（每⼩题5分，共25分）

6、 如图6，已知：AB ∥CD ，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O ，OE ⊥AC 于E ，且OE=2cm ，则AB 、CD 间的距离是________、DC PBOA图1

D C B 图6 图7 图8 图9 7、 如图7，已知，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，点D 到AB 的距离是3cm ，则DC=_____cm 、 8、 ⼀个等腰三⾓形的⼀个外⾓等于110°，则这个三⾓形的三个⾓应该是___________、 9、 如图8，已知△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点P 恰好在BC 边的⾼AD 上，那么△ABC ⼀定是__________三⾓形、10、 如图9，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，点E 在AB 上，且AD=DE=EB ，BD=BC ，那么∠A=__________°、

三、 解答题（每⼩题10分，共50分）

11、已知：如图，OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线，OA=OC ，OB=OD 。 求证：AB=CD 。12、 如图 AF 是△ABC 的⾓平分线，BD ⊥AF ，交AF 的延长线于D ，DE ∥AC 交AB 于E 、求证：AE=BE 、

13、 如图，△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 的⾯积为332cm ， AB=10cm ，AC=12cm ，求DF 的长。

14、 如图，现在给出两个三⾓形，请你把图1分割成两个等腰三⾓形，把图2分割成三个等腰三⾓形。

15、 如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边上，且BD AE ，AD 与CE 交于点F ．EFD

CBA

75°70°35°72°72°36°CAP

（1）求证：AD CE ；（2）求DFC ∠的度数．参1、 D2、 D3、 B4、 D5、 B6、 47、 3

8、 70° 40° 40°或70°70°40°9、 等腰三⾓形 10、 45

11、 ∵OP 平分∠AOC 和∠BOD ，

∴ ∠BOP=∠DOP ， ∠AOP=COP ， ∴∠AOB=∠COD ， ⼜∵OA=OC ，OB=OD ，∴△OAB ≌△OCD ，∴AB=CD

12、 ∵AF 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD ，∵DE ∥AC ， ∴∠EDA=∠CAD=∠BAD ， ∴AE=ED

∵∠EDB+∠ADE=90° ∴∠BDE+∠BAD=90° ∵∠EBD+∠BAD=90° ∴∠BDE=∠EBD

∴BE=ED ∴AE=BE13、3cm 14、如图15、(1)易证△ABD ≌△CAE∴AD=CE

（2）由（1）知，∠BAD=∠ACE

∴∠DFC=∠DAC+∠ACE=∠DAC+∠BAD=60°

课时评价15 2.4 证明（3）考标要求：

1. 能有综合法证明与平⾏四边形的性质.判定以及三⾓形中位线有关的问题，体会严谨证明的必要性。2. 进⼀步培养表达能⼒。

⼀. 填空题（每⼩题5分，共25分）

1. 如图，在平⾯四边形ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂⾜．如果125A =∠，则BCE =∠ （ ）Ａ.55Ｂ.35Ｃ.25Ｄ.30

2.如图，在菱形ABCD 中，不⼀定成⽴的是（ ） （A ）四边形ABCD 是平⾏四边形（B ）AC ⊥BD （C ）△ABD 是等边三⾓形 （D ）∠CAB ＝∠CAD

3.如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，

AC .BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为(A)4cm (B)6cm

(C)8cm (D)10cm 4．如图，在△ABC 中，点E ，D ，F 分别在边

AB ，BC.CA 上，且DE∥CA ，DF∥BA 。下列四个判断中， 不正确．．．的是（ ） A ．四边形AEDF 是平⾏四边形B ．如果∠BA

C =90°，那么四边形AEDF 是矩形 C ．如果A

D 平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形 D ．如果AD⊥BC 且AB=AC ，那么四边形AEDF 是菱形5. 在△ABC 中，DE 是中位线，∠B 的平分线交DE 于F ，则△ABF ⼀定是（ ）A. 锐⾓三⾓形B. 直⾓三⾓形C. 钝⾓三⾓形

D.直⾓三⾓形 或钝⾓三⾓形 ⼆. 填空题（每⼩题5分，共25分）

6. △ABC 与平⾏四边形ABCD 如图放置，点D.G 分别在边AB.AC 上，点E.F 在边BC 上，已知BE=DE ，CF=FG ，则∠A 的度数是_____.

7.如图，平⾏四边形ABCD 中，点E 在AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为10，△FCB 的周长为24，则FC 的长为_______. 8.如图，在菱形ABCD 中，对⾓线AC.BD 相交于点O ，E 为BC 中， 则与OE 相等的线段有____________________.9 .如图，矩形ABCD 中，

将∠D 与∠C 分别沿着过A 和B 的直线AE.AF 向内折叠，使点D.C 重合于点G ，且∠EGF=∠AGB ，则AD=________.10. 如图，有⼀块边长为4的正⽅形塑料模板ABCD ，将⼀块⾜够⼤的直⾓三⾓板的直⾓落在A 点，两直⾓边分别与CD 交于点

F ，与CB 的延长线交于点E ，则四边形AECF 的⾯积是___________.三. 解答题（12×3+14=50）

11.已知：如图，点E 为正⽅形ABCD 的边AD 上⼀点，连接BE ，过点A 作AH⊥BE ，垂⾜为H ，延长AH 交CD 于点F 。求证：DE=CF.

12 .四边形ABCD 中，AB=a ，CD=b(a>b)，M.N 分别是AD.BC 的中点，求MN 的取值范围.13. 将平⾏四边形纸⽚ABCD 按如图⽅式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D′ 处，折痕为EF ．

（1）求证：△ABE≌△AD′F ；

（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．

14.如图，过四边形ABCD 的四个顶点分别作对⾓线AC.BD 的平⾏线，所围成的四边形EFGH

显然是平⾏四边形。 （1）当四边形ABCD 分别是菱形.矩形.等腰梯形时，相应的平⾏四边形EFGH ⼀定是．．．“菱

形ABCD 必须满⾜．．．．怎样的条件？ 解：H

GFE参

1. B2. C3. D4. D5. B6. 907. 78. E C

9. 10. 16 11. 易证：△BAE≌△ADF ∴AE=DF，⼜∵AD=CD，∴DE=CF12.取BD的中点E，连接ME.NE，由三⾓形的中位线性质可得：ME=12AB=12

a，NE=12CD=12CD=12

b，∵ME+NE>MN，∴MN<12(a+b)

13.证明：⑴ 由折叠可知：∠D＝∠D′，CD＝AD′，∠BC D＝∠D′AE．∵四边形ABCD是平⾏四边形，

∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠BCD＝∠BAD．∴∠B＝∠D′，AB＝AD′，∠D′AE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3．∴∠1＝∠3．∴△ABE ≌△A D′F．⑵ 四边形AECF是菱形．

由折叠可知：AE＝EC，∠4＝∠5．∵四边形ABCD是平⾏四边形，∴AD∥BC．∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE．∵AE＝EC，∴AF＝EC．⼜∵AF∥EC，

∴四边形AECF是平⾏四边形．∵AF＝AE，

∴四边形AECF是菱形．

14.(1)从左到右的分别填：矩形.菱形.菱形

（2）四边形EFGH为矩形时，四边形ABCD对⾓线应互相垂直；当四边形EFGH为菱形时，四边形ABCD对⾓线应相等。