20个常用的麦克劳林公式展开

麦克劳林公式是一种通过函数在某个点的导数来求得函数在该点附近的近似值的方法。在数学和物理学中广泛应用。下面是20个常用的麦克劳林公式展开。

1. $e^x=1+x+\\frac {x^2}{2!}+\\frac {x^3}{3!}+\\cdots$

2. $\\sin x=x-\\frac {x^3}{3!}+\\frac {x^5}{5!}-\\frac {x^7}{7!}+\\cdots$

3. $\\cos x=1-\\frac {x^2}{2!}+\\frac {x^4}{4!}-\\frac {x^6}{6!}+\\cdots$

4. $\\cosh x=1+\\frac {x^2}{2!}+\\frac {x^4}{4!}+\\frac {x^6}{6!}+\\cdots$

5. $\\sinh x=x+\\frac {x^3}{3!}+\\frac {x^5}{5!}+\\frac {x^7}{7!}+\\cdots$

6. $\\ln(1+x)=x-\\frac {x^2}{2}+\\frac {x^3}{3}-\\frac {x^4}{4}+\\cdots$

7. $(1+x)^a=1+ax+\\frac {a(a-1)}{2!}x^2+\\frac {a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+\\cdots$

8. $\\frac {1}{(1-x)}=1+x+x^2+x^3+\\cdots$

9. $\\frac {1}{(1+x)}=1-x+x^2-x^3+\\cdots$

10. $\\arctan x=x-\\frac {x^3}{3}+\\frac {x^5}{5}-\\frac {x^7}{7}+\\cdots$

11. $\\frac {1}{\\sqrt{1-x}}=1+\\frac {1}{2}x+\\frac {1\\cdot3}{2\\cdot4}x^2+\\frac {1\\cdot3\\cdot5}{2\\cdot4\\cdot6}x^3+\\cdots$

12. $\\frac {1}{\\sqrt{1+x}}=1-\\frac {1}{2}x+\\frac {1\\cdot3}{2\\cdot4}x^2-\\frac {1\\cdot3\\cdot5}{2\\cdot4\\cdot6}x^3+\\cdots$

13. $\\frac {1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\\cdots$

14. $\an x=x+\\frac {x^3}{3}+\\frac {2x^5}{15}+\\frac {17x^7}{315}+\\cdots$

15. $\\sec x=1+\\frac {x^2}{2!}+\\frac {5x^4}{4!}+\\frac {61x^6}{6!}+\\cdots$

16. $\ext{erf}(x)=\\frac {2}{\\sqrt\\pi}\\left(x-\\frac {x^3}{3}+\\frac {x^5}{15}-\\frac {x^7}{315}+\\cdots\\right)$

17. $\\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\\cdots$

18. $\\frac {1}{(1-

x)^n}=1+\\binom{n}{1}x+\\binom{n+1}{2}x^2+\\binom{n+2}{3}x^3+\\cdots$

19. $\\sin^2 x=x^2-\\frac{x^4}{3}+\\frac{x^6}{45}-\\frac{x^8}{315}+\\cdots$

20. $\\cos^2 x=1-\\frac{x^2}{2}+\\frac{x^4}{24}-\\frac{x^6}{720}+\\cdots$

以上20个常用的麦克劳林公式展开可以用于求解各种数学、物理问题，是几乎每个学习数学和物理学的人都要掌握的基础知识点。