吉林省安图一中2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题

高二数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。只填结果，不要过程！） 1、过点(2,3)且与直线x2y10垂直的直线的方程为 ▲ ； 2、过三点A(4,0),B(0,2)和原点O(0,0)的圆的标准方程为 ▲ ；

3、已知ABC中，A(2,4),B(1,3),C(2,1),则BC边上的高AD的长为 ▲ ； 4、已知两条直线l1:(3m)x4y53m,l2:2x(5m)y8. 若直线l1与直线l2平行，则实数m ▲ ；

5、已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：

①若l∥α，m⊂α，则l∥m； ②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m； ③若l∥m，m⊂α，，则l∥α； ④若l⊥α，m∥α，则l⊥m. 其中真命题是 ▲ (写出所有真命题的序号)． 6、若两圆xy4，x222y22mxm210相外切，则实数m ▲ ；

x07、若x,y满足约束条件x2y3,则z2xy3xy的最小值是 ▲ ；

xy20228、过平面区域y20内一点P作圆O:xy1的两条切线,

xy20切点分别为A,B,记APB,当最小时,此时点P坐标为 ▲ ； 9、右图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,

水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 ▲ 米；

x2y210、已知双曲线221(a0,b0)的一条渐近线经过点(1,2)，

ab则该双曲线的离心率的值为 ▲ ；

11、已知点P在抛物线x24y上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为(2,3)，

若PAPF的最小值为M,此时点P的纵坐标的值为n,则Mn ▲ ； 12、在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x4)y1,若直线ykx3上 至少存在一点,使得以该点为圆心, 2为半径的圆与圆C有公共点, 则k的最大值是 ▲ ；

13、已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是 ▲ ；

22x2y214、已知椭圆221(ab0)，F1,F2是椭圆的左右焦点，l是右准线，

abP到直线l的距离的2倍， 若椭圆上存在点P，使PF1是

则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ ；

二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

ABAC,D为BC的中点. 15、（14分） 如图,已知斜三棱柱ABCA1B1C1中,

(1) （7分）若AA1AD，求证:ADDC1；

A1 B1 C1

(2) （7分）求证:A1B// 平面ADC1

16、（14分）如图,在四棱锥PABCD中, AB∥DC,DC2AB,

APAD,PBAC,BDAC,E为PD的中点.

求证:(1) （7分）AE∥平面PBC;

(2) （7分）PD⊥平面ACE.

P

E

D

A B

（第16题图）

17、（14分）

（1）（7分）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，

求椭圆的标准方程；

(2) （7分）已知双曲线的渐近线方程为y求该双曲线的标准方程.

C

316x，准线方程为x， 45

18、（16分）已知ABC三个顶点坐标分别为：A(1,0),B(1,4),C(3,2)，

直线l经过点(0,4)．

(1) （5分）求ABC外接圆M的方程；

(2) （5分）若直线l与M相切，求直线l的方程； (3) （6分）若直线l与

19、（16分）已知直线l与圆C:x（1）（4分）求实数

M相交于A,B两点，且AB23，求直线l的方程．

y22x4ya0相交于A,B两点，

弦AB的中点为M(0,1)，

2a的取值范围以及直线l的方程；

（2）（4分）若圆C上存在四个点到直线l的距离为2，求实数a的取值范围；

3PN，求实数

（3）（8分）已知N(0,3)，若圆C上存在两个不同的点P，使PMa的取值范围.

x2y220、（16分）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:221(ab0)的

ab6离心率e，且椭圆C上的点到点Q0,2的距离的最大值为3.

3(1) （6分）求椭圆C的方程;

(2) （10分）在椭圆C上,是否存在点Mm,n,使得直线l:mxny1

与圆O:xy1相交于不同的两点A,B,且OAB的面积最大? 若存在,求出点M的坐标及对应的OAB的面积; 若不存在,请说明理由.

22高二数学期中考试数学参考答

1、2xy10 2、(x2)2(y1)25 3、5 4、7 5、②、④6、3 7、－3 8、4,2 9、26 10、

11、5 12、

5

248317 13、 14、[,1) 732

15、【答案】证明:(1)因为AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC. …… 2分

因为AA1AD，AA1CC1，所以ADCC1，…… 4分

CC1BCC，所以AD平面BCC1B1 ，…… 6分

A1

B1 C1

因为DC1平面BCC1B1,所以AD⊥DC1 …… 7分

(2) 连结A1C,交AC1于点O,连结OD, 则O为A1C的中点. 因为D为BC的中点,所以OD//A1B …… 9分 因为OD平面ADC1,A1B/平面ADC1, …… 12分

所以A1B//平面ADC1 …… 14分

A

O C

B D （第15题图）

16、证明:(1)取PC中点F,连结EF,BF,∵E为PD中点,∴EF∥DC且EF=1DC.…… 2分

2∵AB∥DC且AB1DC,∴EF∥AB且EF=AB.

2∴四边形ABFE为平行四边形. ∴AE∥BF. …… 4分

∵AE平面PBC,BF平面PBC, ∴AE∥平面PBC. …… 7分

(2)∵PB⊥AC,BD⊥AC,PBBDB,∴AC平面PBD. …… 9

∵PD平面PBD,∴ACPD. …… 10分

∵APAD,E为PD的中点,∴PDAE. …… 12分 ∵AEACA,∴PD⊥平面ACE. …… 14分

22分 P E D F

C

A B

（第16题图）

17．解：（1）设椭圆的标准方程为：

xy1(ab0)， a2b2由题意得a2,c1,b23，…………… 3分

x2y21． …………… 7分（选修1—135页5（1）所以所求椭圆的标准方程为！ 43x2y2（2）由题意知双曲线标准方程为：221，

abb3a216 ，…………… 9分 所以，

a4c5222又cab，解得a4,b3，…………… 11分 x2y21. …………… 14分 所以所求双曲线标准方程为

169

18． 解：（1）解法1：设

M的方程为：x2y2DxEyF0,

1DF0D2则由题意得17D4EF0, 解得E4,

133D2EF0F1M的方程为x2y22x4y10，或(x1)2(y2)24．………… 5分

解法2：

A(1,0),B(1,4)的横坐标相同，故可设M(m,2)，

由MAMC 得(m1)24(m3)2，解得m1，

22M的方程为(x1)2(y2)24，或x2y22x4y10．

解法3：

A(1,0),B(1,4),C(3,2)，CA(2,2),CB(2,2)，

CACB0,CACB，则ACB是等腰直角三角形， 因而ACB圆心为(1,2)，半径为2，

M的方程为(x1)2(y2)24．

(2)当直线l与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线l的斜率存在，设l:ykx4，

由题意知k24k212，解得k0或k4，………… 8分 3故直线l的方程为y4或4x3y120．………… 10分 （3）当直线l与x轴垂直时，l方程为x0，它截

当直线l的斜率存在时，设l:ykx4，

M得弦长恰为23；… 12分

∵圆心到直线ykx4的距离k2k12，

由勾股定理得(k2k21)2(3232)4，解得k，…… 14分

42故直线l的方程为x0或3x4y160． ………… 16分

19、课本必修—2P130—15改编！

解：（1）圆C:(x1)2(y2)25a,C(1,2),r5a(a5)…… 1分 据题意：CM25aa3…… 2分 因为CMAB,kCMkAB1,kCM1,kAB1 所以直线l的方程为xy10…… 4分

（2）与直线l平行且距离为2的直线为：l1:xy30过圆心，有两个交点，…… 6分

l2:xy10与圆相交，225aa3;…… 8分

（3）设P(x,y),PM3PNx2(y5)212…… 12分 据题意：两个圆相交：

5a23525a2357206a20657…… 14分

且206573，所以：57206a20657 …… 16分

6c2220.解析:（1）因为e,所以2,于是a23b2.………… 1分

a33设椭圆C上任一点Px,y,

y22则PQxy2a12y22y24y43b2(byb). … 2分

b2222当0b1时,PQ在yb时取到最大值,且最大值为b24b4, 由b24b49解得b1,与假设0b1不符合,舍去. ………… 4分 当b1时,PQ在y1时取到最大值,且最大值为3b26,

22x2y21. ………… 6分 由3b69解得b1.于是a3,椭圆C的方程是3

222(2)圆心到直线l的距离为d1m2n2,弦长AB21d2,所以OAB的面积

111为SABdd1d2,于是S2d21d2d2.………… 8分

242m2n21,即m233n2, 而Mm,n是椭圆上的点,所以311于是d22,而1n1,所以0n21,132n23, 22mn32n1所以d21,………… 10分

3111于是当d2时,S2取到最大值,此时S取到最大值,

42213此时n2,m2. ………… 12分

22综上所述,椭圆上存在四个点262626262、、、,使,,,,22222222

得直线与圆相交于不同的两点A、B,且OAB的面积最大,且最大值为

1. 2（每一个点坐标写出各1分，计4分！）………… 16分