现代数学与中学数学的结合[1]

现在我们的教育不再是应试教育，而是要向素质教育转化，搞‚题海战

术‛，进行‚大运动量‛、‚高难度‛训练，以应付‚高考‛. 题越挖越深，越出越难，这种‚应试‛教育严重违反了教学规律，摧残了学生身心健康，也阻碍了中学数学课程深化改革的进程.随着各项教育措施的改革，为了适应未来社会对人才的需求，在我们的中小学课堂教学过程中，学生学习的内容应该事现代科学技术所必须的基本知识。在中小学的数学教学中，要注意结合渗透现代数学的基本内容和思想。那么什么是现代数学呢？我们的中小学课堂教学过程要渗透哪些现代数学的内容和思想呢？

传统数学与现代数学的对立,贯穿于数学教育改革的始终,现代化进程的

加快,更突出了二者的矛盾。

20世纪初,英国数学家贝利(JPerry)指出,数学教育要冲破5几何原本6

的束缚,重视实验几何,多教些立体几何,应尽早教授微积分概念;德国数学家克莱因(FKlein)主张,应加强函数和微积分教学,改革充实代数内容,用几何变换观点改革传统几何内容,把解析几何纳入中学数学内容.克莱因2贝利运动实质上就是一场近现代数学冲击传统数学的数学教育改革运动。

1960年代的/新数运动0,把数学教育现代化运动推向了高潮,传统与现代

的矛盾也激化起来。传统数学内容被削减许多,开方!根式!无理函数!三角方程等均被精简,尤其是几何,在/许多国家里,几何作为的实体趋向于从课程中消失0[1],而大量近现代数学内容如集合!向量!变换!矩阵!概率统计等被充实到中小学课程中去.但这次改革并未成功,/新数运动0的受挫,使人们认识到:数学不能割断历史,传统的中学数学还是最基本的。于是在1970年代/回到基础0的口号中,传统数学又占据了主导地位。

我国充实先进数学内容的改革,实质上也反映了传统数学与现代数学的

冲突.事实上,每一次数学教育改革,都或多或少地隐含着传统与现代的矛盾,正是二者的矛盾运动,推动了数学教育的健康发展。

现代数学事相对于传统数学而言的，它有区别于传统数学的几个特征：

（1）研究对象大大扩充，研究对象的任意抽象关系，研究集合，研究结构（2）数学思维进一步发展，抽象程度越来越高（3）数学方法发生根本变革，公理化方法形成，并有主要位臵；（3）应用领域大大扩充。目前再我们的中学教材中增添的现代数学内容主要就是以下几种：集合论、数理统计、微积分、概率统计、空间向量、算法语言和简单程序设计。

在课堂教学中我们可以在解题过程中渗透现代数学中的思想，集合是全

部数学的基础，在中学数学里引进集合并运用集合思想改造传统数学内容的例子到处都是。

例如在立体几何中将直线和平面都理解为点的集合，这样就可以运用集合思想方法处理立体几何中的问题。

例如：三个平面两两相交，有三条直线，求证这三条交线交于一点或互相平行. （1）用集合语言描述上述问题：已知：α ∩ β = a,β ∩γ = b,γ ∩α = c, 求a //b//c或a.b.c交于一点.

(2)用集合思想解题：证明：若 a // b ，则∴b ∩ c = α ∩ β ∩γ = a ∩b = φ Qb ? γ ,c ? γ ， b // c 。从而a //b//c;若a ∩b = A，则 A∈a =α ∩ β, ∴ A∈α; A∈b = γ ∩α,∴ A∈γ.所以 A∈γ ∩α = c,∴a,b,c共点于 A 点

空间向量在解决立体几何问题犹如一把，它把立体几何问题加以量化，从而降低了思维难度，增加了可操作性，使空间向量在角和距离的处理上有着独特的优势，它最大限度的避开了思维的高强度转换，避开了各种辅助线添加的难处，代之以空间向量的计算，有利于我们较好的解决问题，不再那么烦琐，被众多师生所青睐。 例如：

在以棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1中， E,F,G 分别

是 B B1,CD,C C1的中点. （1）求证：AE ⊥D1F.（2）求平面A1BG 与平面 ABCD所成的角（锐角）。（3）求点 A到平面A1BG 的距离。（4）求 A A1与平面A1BG 所成的角（5）求异面直线 AC 和 B C1的距离。 分析：（1）建立空间直角坐标系. 要证明 AE ⊥D1F 只

要证明 AED1F = 0（2）要求平面A1BG 与平面 ABCD 所成的角,只要求这两平面的法向量所成的角。（3）A A1在平面A1BG 的法向量n射影的绝对值就是点 A到平面A1BG 的距离. （4）A A1 与平面A1BG 的法向量n所成的角余角就是直线 A A1与平面A1BG 所成的角（5） AB在 AC 和 B C1 的公垂向量上射影的绝对值就是异面直线 AC 和 B C1的距离.

传统解法中求二面角、线面角、点面距离和异面直线距离都和平面的垂线有关。 与向量方法中的平面法向量本质上是一致的，所不同的是过定点作平面的垂线及异面直线的公垂线都只有唯一一条，但平面的法向量及异面直线的公垂向量可以自由移动的，这恰恰是向量的本质之一，这就给我们解题带来了自由选择的余地，这正是向量解法的绝妙之处。

前苏联著名数学教育家斯托利亚尔认为：与其说是教现代数学，不如说是现代的数学教学。即把中学数学建立在现代数学的思想基础上，用现代数学的观点、思想、方法、风格和语言进行中学数学教学，使学生的思维向现代数学的思维方向发展。

例如学生在学习等差树数列和等比数列过程中，可以运用近世代数中的同构思想指导等比数列的教学。由于等差数列中的‚-‛、‚+‛及等比数列中‚÷‛、‚ ‛，可以统一看作代数运算‚? ‛及其逆运算‚*‛，这样等比数列和等差数列本质上是同构的。于是，在等比数列的教学中，只要运用类比手法通过对等差数列的分析，就可以猜测等比数列相应的性质，

然后再进行验证。 这就起到了分化教学难点，把握等差数列与等比数列之间内在本质的作用。

极限是微积分中最基本最重要的概念，它从数量上描述变量在无限变化过程中的变

化趋势用极限作工具求一个量时,先用己知方法求这个量的近似值,然后在某一个无限变化过程中,考察近似值的变化趋势,从而根据近似值的变化趋势确定出这个量的精确值，这种在无限变化过程中考察变量的变化趋势的思想就是极限思想，我们在球体表面积和体积时就可以运用极限原理。

现代数学和中学数学是紧密结合在一起的，以中学数学为基础，在数学思想上，结合现代数学思想，提高学生得数学思维，从根本上脱离题海战术，真正意义上促进素质教育。

初中数学与信息技术的整合，是从数学教学的需要出发，确定哪些环节，哪些教学内容适合使用现代信息技术，并选用合适的软件，创造相应的学习环境，推进现代信息技术在数学中的辅助教学，达到优化数学教学的作用。

下面根据数学教学中的实践经验，谈谈初中数学与信息技术整合的几点尝试作法。

一、巧借信息技术的交互性，激发学生学习数学的兴趣和充分体现学生的主体作用。

1、人机交互是多媒体计算机的显著特点，多媒体计算机可以产生出一种新的图文声色并茂的、感染力强的人机交互方式，而且可以立即反馈。这种交互方式对于数学教学过程具有重要意义，它能有效地激发学生的学习兴趣，使学生产生强烈的学习欲望，因而形成学习动机。

题组训练是数学课堂教学的一个重要环节，传统的方法是点几位学生（或自愿）到黑板上演板，完毕后教师再讲评强调。人机交互则会出现另一片天地。用Authorware制成题组训练课件，学生笔算后，选择正确答案。若答对了，窗口立即弹出激励性文字：‚你答对了，真了不起!‛若答错了，窗口马上显示‚你答错了，请再试一次!‛只至出现正确结果，万一三次尝试失败，则显示解题步骤。这样处理，学生学习兴趣浓，效率高。若在网络教室上课，每个学生都有参入机会，老师也能从服务器上迅速查出答题的正误率，借此调整自己的教学方式。

2、人机交互有利于发挥学生的主体作用，有利于激发学生自主学习的积极性。传统的数学教学，教师是主宰，学生是配角，从教学内容、教学方法、教学步骤，甚至练习作业都是教师事先安排好的，学生只能被动参入这个过程。而优秀的多媒体课件所提供的交互式学习环境中，学生可以按照自己的学习基础，学习兴趣来选择所学的内容的深浅，来选择适合自己水平的练习作业。

初中数学复习课或习题课，特别适合人机交互的学习环境，因为初中数学教师完全有能力制作这类课件，从前臵知识复习，精选例题讲解，到巩固练习作业，每一教学环节都可以设臵成不同的层次，学生根据自身情况，选择性地进入相应层次，当然还有机会进入高一层次。这种交互性所提供多种的主动参与活动，就为学生的主动性、积极性的发挥创造了良好的条件，从而使学生能真正体现出学习主体作用。

二、巧借信息技术提供的外部刺激的多样性，有利于学生对数学知识的获取与保持。

信息技术提供的外部刺激是多种感官的综合刺激，它既能看得见（视觉），听得着（听觉），还能用手操作（触觉），这种多样性的刺激，比单一地听老师讲解强得多。同时信息技术的丰富性、交互性、形象性、生动性、可控性、参入性大大强化这种感官刺激，非常有利于知识的获取和保持。

1、化无形为有形。初中数学理性知识成分太重，传统的教学只片面强调逻辑思维训练，缺乏充分的图形支持，缺乏供学生探索的环境，于是只能靠学生的死记和教师的说教了。比如，初三几何‚点的轨迹‛，学生最终会知识‚轨迹‛是一些直线或射线，但学生对‚轨迹‛是毫无想象力的。《几何画板》能有效地解决这一问题，它显示的‚点‛一步步地动态有形地组成直线或射线，旁边还能显示轨迹中‚点‛的条件，这种动态的有形的图形是十分完整的，清晰的，它远远超出老师‚把轨迹比喻成流星的尾巴‛。

2、化抽象为直观。初中数学的概念教学是教学中的难点，学生几乎被动地从教师那里接受数学概念，只有靠强化记忆知道概念的共性和本质特征。初三代数‚函数‛，就是一个典型的概念教学，关键是让学生对‚对于x的每一个值，y都有唯一值与它对应‛，有一个明晰直观的印象。运用多媒体的直观特性，分别显示解析式y=x+1，<<数学用表>>中的平方表，天气昼夜变化图象，用声音、动画等形式直观地显示‚对于x的每一个值，y都有唯一值与它对应‛，最后播放三峡大坝一期蓄水时的录相，引导学生把水位设为y，时间设为x，就形成了y与x的函数关系。不仅引起学生的自豪感，而且对函数概念理解非常透彻。

3、化静止为运动。运动的几何图形更加有效地刺激大脑视觉神经元，产生强烈的印象。初中几何《圆》这一章，各知识点都是动态链接的，许多图形的位臵发生变化，图形间蕴藏的规律和结论是不变的。熟悉《几何画板》的教师，无一例外会用《几何画板》来演示‚圆幂定理‛，即相交弦定理→割线定理→切割线定理→切线长定理，鼠标一动，结论立现，效果相当好。其实象‚垂经定理‛、‚圆心角、弧、弦、弦的弦心距关系定理‛等等，需要用‚翻折‛‚旋转‛‚平移‛等知识证明的定理，都可用《几何画板》动态揭示知识的形成过程。有些题目，不经意用鼠标移动一个点，图形变化了，结论仍然成立，比如：图形中移动C点或E点始终有CE∥DF

4、化繁琐为简明。计算机辅助教学的一个重要出发点是更好地实现教学目标，突破重难点，提高课堂教学效率。初三代数‚频率分布‛，在传统的教学中，教师引着学生在‚60名女学生身高‛数据中，找最大值，最小值；再分组；一个一个地数出每组中数据的个数；计算频率；绘频率分布表，画频率分布直方图，既繁琐又费时。用计算机辅助教学，简洁明了，把60个数据输入Excel，排序，最大值和最小值，各组中的频数，一目了然，用Excel还能方便地绘出柱状图，类似频率分布直方图。若教师重点讲透步骤、方法和道理，把非智力过程交给计算机处理，这样才能提高课堂效率。培养学生运用信息技术的能力，是信息社会对基础教育的需要，也是教育面向现代化的需要。

三、巧借信息技术的丰富资源，培养学生的创新精神和发现式学习。

信息技术的丰富资源，能为数学教学提供并展示各种所需的资料，包括文字，声音，图片，视频等，能创设、模拟各种与教学内容相适应的情境，为所有学生提供探索复杂问题、多角度理解数学思想的机会，开阔学生数学探索的视野。比如初三几何‚探究性活动：镶嵌‛，可分三个阶段进行。第一阶段为进

入问题情景阶段，教师投影‚美丽的镶嵌世界‛，把学生引进一个五彩缤纷的图案王国之中，并提出探究的各种问题。第二阶段为实践体验阶段，学生利用校园网资料，搜集一些平面镶嵌图案，在教师的启引下，由简单到复杂，逐步探究各种问题，并总结规律和归纳结论。第三阶段为表达交流阶段，每组学生把探究成果贴在‚我的成果‛目录中，互相交流，对比，归纳。特别一提的是，教师提供了边长相等的3—24边正多边形，配上不同颜色，鼓励学生设计一、二个地板的平面镶嵌图，课堂气氛顿时高涨起来，学生经过设计，复制、粘贴、组合，排列出的图案千姿百态，有些图案大出教师意外，很有创意。由此可见丰富的信息资源，开拓了视野，激活了思维，增强了想象，从而培养了学生的创新精神，改变学生学习方式，让学生乐意并有更多的精力投入到现实的探索性的数学活动中去。

当然，初中数学与信息技术的整合，并非强调所有的数学内容都适合计算机辅助教学，它只可巧用，不能滥用。就如《数学课程标准》所指出的，我们不提倡用计算机上的模拟实验来代替学生能够从事的实践活动；我们不提倡利用计算机演示来代替学生的直观想象，来代替学生对数学规律的探索。凭风巧借力，送我上青云，初中数学的课程改革只有巧借现代信息技术的优异性能，才能使二者的有机整合提升到一个新的高度，从而达到优化数学的学习过程和学习资源的目的。

数学家谈‚计算机时代的数学‛

实际问题和理论探讨一直是数学发展的两大动力。

从大约公元前200年起到公元1870年左右为止，几乎整个数学都建基于经验和实用的基础之上，数学主要用于解决与计算、几何、物理有关的实际问题。 19世纪末，由于在数学理论中逐渐出现了矛盾，数学家们开始重新考虑数学的基础问题。20世纪的上半叶，数学的发展主要建立在抽象、演绎和公理化的基础上。

20世纪中叶以来，随着经典数学的繁荣和统一，许多新的应用数学方法的产生，特别是计算机的出现及其与数学的结合，促使数学得到空前的发展，极大地改变了数学的面貌。

一、数学具有了技术的品质

随着现代数学与计算机的结合，数学成为一种技术，它渗透到与人类生存息息相关的各个领域，得到了巨大的应用：

由于计算机的出现，今日数学已不仅是一门科学，还是一种普适性的技术：从航天到家庭，从宇宙到原子，从大型工程到工商管理，无一不受惠于数学技术。因而今日的数学兼有科学与技术的两种品质，这是其他学科所少有的。 ——王梓坤，今日数学及其应用，《面向21世纪的中国数学教育》，严士健主编

计算机的出现，对数学的发展、其他学科的发展与数学方法在诸多领域中的应用带来了巨大的影响，大大拓广了数学方法的应用范围，加深了数学在认识世界和改造世界中的作用。 ——丁石孙、张祖贵著，《数学与教育》

现在数学已经直接在科技的前沿发挥作用，……数学已经走到前线了，不单只是通过别的科学间接地起作用，而且在人文社会科学方面，现在也都在开始发挥很大的作用。

——姜伯驹，在数学与力学教学指导委员会第二次工作会议上的讲话，《中国数学会通讯》，1996，9

本世纪的后半叶，由于计算机技术飞跃发展，现代数学的作用又有了很大的变化，今日的数学，已不甘于站在后台来影响世界了。近三十年来，它已经开始大步地从科学技术的幕后直接走到了前台，从而出现了在经济与产业中大显神威的所谓‚现代科学技术‛。例如，运筹优化、工程自控、信息处理、数理统计、科学计算、模糊识别、图象重建…等等，都是现代数学的原理和方法与计算机相结合而产生的威力无穷的‚数学技术‛，它们渗透、应用到各部门、各行业，开创了这些领域具有高质高效的高新技术的新局面。

——萧树铁、曹之江，面向２１世纪人才与大学数学教育，中国数学会通讯，1997，12

数学已渗透到各个学科，应用数学如雨后春笋般出现（如：高深的拓扑理论正和遗传工程紧密地联系在一起），许多学科（包括社会科学）正向数量化的方向前进（时至今日，经济数学、生物数学等已是一些硕果累累的重要领域，而数学考古学、数学心理学、数学语言学等也拔地而起）。 ——定光桂，巩固‚基层‛改进‚中层‛革新‚上层‛，《面向21世纪的中国数学教育》，严士健主编

数学生物学是今天应用数学最振奋人心的前沿之一，它充分显示了数学的威力和多方面的适用性。这些数学工具帮助人们把生物学研究推到了科学的前沿——了解生命和智力。这是我们这个时代的科学挑战。而数学在这次探险中发挥着中心的作用，正如同一个世纪以前人们寻求了解物质的性质时它所起的作用一样。

类似的数学方法越来越多地被用于环境科学、自然资源模拟、经济学和社会学，还有心理学和认知科学……。数学甚至正在进入艺术领域，例如计算机工具已被画家、电影制片人和音乐家所采用。 ——LynnArthurSteen，面向新世纪的数学，《数学译林》1990、6

计算机的出现，使得数学模型具有了特别重要的意义，数学之所以能够在自然科学、社会科学及其它学科中发挥重要作用，其主要根源在于这些学科可以建立起数学模型，从而通过研究数学模型，对具体问题给出定量的解答： 当代科技的一个突出特点是定量化……。精确定量思维是对当代科技人员共同的要求。

所谓定量思维是指人们从实际中提炼数学问题，抽象化为数学模型，用数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解题的软件包，以便得到更广泛的方便的应用。 ——王梓坤，今日数学及其应用，《面向21世纪的中国数学教育》，严士健主编

数学模型是在各种不相同的学科（从探索物质结构的粒子物理学到人际关系之处理的社会学）、技术领域内运用数学思想和数学方法的出发点。计算机对数学科学的影响，大大拓宽了数学模拟工作者的活动舞台。计算机模拟在科学和工程技术的所有部门中都有广泛的应用。数学的作用就在于用数学方法表示出这种模型并对它进行计算。 ——丁石孙、张祖贵著，《数学与教育》

计算机出现以后，建模在数学的应用上有的作用，反映了新时期的特点。当然，数学在新时期解决实际问题中的作用不止是建模。实际上，在计算

机算出这些复杂的数学问题的数值结果的过程中需要好的计算方法。因此在数学中建立了研究计算方法的新学科——计算数学。另外，由于二十世纪，特别是第二次世界大战以来，由于科技无论在深度或广度是都有了飞速的发展，科学家为各种实际问题建立了新的数学模型，因而产生了一系列新数学学科，如运筹学，控制论，信息论，工业应用统计等等。近来，又有发展到新阶段的趋势。就是不仅对一个具体的实际问题应用数学，而是运用数学对某个（工业的、农业的，经济的）系统的各个方面进行数学模拟和研究，提出方案。这种趋势会是技术的主流发展方向。

——严士健，数学教育应为面向21世纪而努力，《数学通报》，1994、11 今天的国际商业靠的是贸易的计算机模型，它需要诸如随机微分方程这样精细高深的工具。

而对于医学研究来说，数学模型几乎与临床病例具有同等重要性。事实上，高等数学的语言——从控制论到组合学，从微分几何到统计学——已经明显地渗透了商业、医学以及现代社会的每个信息系统中去了。 ——LynnArthurSteen，模式的科学，数学译林1993、2

一个强有力的新的用处是计算机建模，这导致许多科学和技术领域的巨变。建模所做的是用计算机仿真来代替昂贵的实验……。这些模型，再加上计算的方法，对那些实际检验太复杂的理论打开了门。

我想多说些在工业上使用的计算机建模。这方面变化的影响是如此之大，以致没有使用建模的工业很快就落后了。由于数学模型、计算机硬件和数学算法的巨大进展，使得这方面的发展极快并富于竞争力。

——PhillipAGriffiths，数学——从伙计到伙伴，《数学译林》，1994、3

数学的惊人的应用也已在自然科学、行为科学和社会科学的全部领地上到处出现。现代民航客机的设计、控制和效率方面的一切进展都依赖于在制造样机前就能模拟其性能的先进的数学模型。从医学技术（计算机辅助层析扫描仪CAT）到经济规划（经济行为的投入/产出模型），从遗传学（DNA，即脱氧核糖核酸的解码）到地质学（石油矿藏的定位），在现代科学的任何部分都已带上了抹不掉的数学的印记，就像科学本身也推动了许多数学分支的发展一样。 ——美国国家研究委员会著，《人人关心数学教育的未来》

从上面的讨论不难看出，现代化的科学、技术和社会越来越向着定量化的方向发展，计算机的出现更加有力地促进了这种趋势。当人们面对纷繁头绪的科学、技术和社会时，数学可以通过建立模型、分析和求解、计算乃至形成软件等一系列方法来帮助我们把握客观世界，因此许多数学家指出‚数学是关于模式和秩序的科学‛：

随着计算机的发展，数学渗入各行各业，并且物化到各种先进设备之中。从卫星到核电站，从天气预报到家用电器，高科技的高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点，无不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算控制来实现的，所以高科技说到底是数学技术。在实用上，数学是关于模式和秩序的学问。它帮助我们认识事物的模式和条理，并帮助我们把事情做得尽量完美，这正是经济竞争力的关键。 ——姜伯驹，有了计算机以后，《面向21世纪的中国数学教育》，严士健主编

以往数学界将证明定理作为（至少纯数学是这样）数学研究的主要目标，

随着现代数学及其应用的发展出现了前面所说的情形：数学既广泛与各门自然科学相渗透，又与计算机结合直接广泛应用于高技术，并将广泛扩展到一般技术，这就使得建立模型日渐成为数学的主要目标之一。因为在应用数学里，模型在表达问题的本质方面具有最突出的作用，它将实验的无序状态转换成明确的数学问题，而且事实上纯数学也充满了模型。所以，在美国国家研究会《人人关心数学教育的未来——关于数学教育的未来致国民的一份报告》中有了‚数学是关于模式和秩序的科学‛的提法，94—98年度的世界数盟D。Mumford在1998年论述现代数学的趋势时说：‚创建好的模型正如证明深刻的定理一样有意义。我想，承认这一点，数学将会从中收益‛。

——严士健，数学思维与数学意识、创新意识、应用意识——数学进行素质教育的一点看法，《教材与教学研究》，1999，3

像生物是有机体的科学，物理是物和能的科学一样，数学是模式的科学……。通过它的所有表现形式——数、数据、形、序，甚至模式本身来划分、解释和描述模式。数学确信科学家遇到的任何模式都可在某处解释为数学实践的组成部分。

——丁尔升，面向新世纪的高中数学课程，《21世纪中国数学教育展望2》 数学科学不再仅仅是数和空间的研究，它成为一门模式的科学，其理论建筑在模式之间的关系以及模式和实际观察之间相吻合而产生的应用之上。 数学是模式的科学。数学家在数中、在空间中、在科学中、在计算机中以及在想象中寻找模式，数学理论解释模式间的关系；函数和映射、算子将一类模式与另一类模式联系起来，产生持久的数学结构。数学应用则是利用这些模式‚解释‛和预测符合它们的自然现象。模式可以启发新的模式，常常产生模式的模式。通过这种方式，数学按照其自身的逻辑，从科学的模式开始，通过添加由此派生的所有模式而结束。

得克萨斯的物理学家StevenWeinberg赞同哈佛的数学家 AndrewGleason的观点，指出数学之所以有不同寻常的为科学研究提供正确模式的能力，其原因可能在于数学家所研究的模式就是所有可能存在的模式。如果模式是数学的全部，那么数学的这种‚异乎寻常的作用‛可能完全是寻常的了。 ——LynnArthurSteen，模式的科学，《数学译林》，1993、2

数学科学是集严密性、逻辑性、精确性和创造力与想象力于一身的一门学问，这个领域已被称作模型的科学（scienceofpatterns）。其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。无论是由于探讨心脏中血液流动这种实际的问题，还是由于探讨数论中各种形态抽象的问题的推动，数学科学家都力图寻找各种模型来描述它们，把它们联系起来，并从它们作出各种推断。部分地说，数学探讨的目的是追求简单性，力求从各种模型提炼出它们的本质。

计算机对数学科学的影响大大拓广了数学模拟工作者的活动舞台，他们现在已经能够通过计算机可靠地模拟非常复杂的物理现象……。针对特定的技术去开发适当的模拟，常常牵扯到一些高深的科学知识和高级的数学工具。数学的作用在于表示这种模型并对它进行计算。要判定这些模型的好坏可能需要应用统计检验方法，并与通过解析手段得到的极限情形解互相比较。为了表示一个物理过程或一种物理现象，模型本身最终不得不依赖物理资料以对它进行认证或提高它的适用性。

——美国国家研究委员会著，《振兴美国数学——90年代的计划》

数学揭示出隐蔽的模式以帮助我们了解周围的世界。当代的数学已经远不止是算术和几何，而是一门丰富多彩的学科了。当代的数学所处理的是科学中的数据、测量、观测资料；是推断、演绎、证明；是自然现象、人类行为、社会系统的数学模型。

实际上，数学是模式和秩序的科学，数学的领域不是分子或细胞，而是数、机会、形状、算法和变化。

——美国国家研究委员会著，《人人关心数学教育的未来》 二、计算机给数学研究带来了新领域和新课题 同时，计算机开拓了一系列数学研究的新领域和新课题：

几千年来，茂密的数学丛林一直从实际应用的需要中吸取养分。近几年，计算机扩大了应用的影响，同时，计算和应用象旋风似地席卷着数学领域。这些智慧风暴相互作用所释放的能量永远地——向好的方向——改变了数学的结构。风暴过后就是新开端的出现，数学森林完全不同的部分产生了联系，这种联系促进了各个孤立部分之间的相互繁荣，从而极大地增强了整个数学森林。 核心数学在计算机的影响下改变了，这种影响与数学科学中应用性较强的领域对它的影响不相上下，但是方式不同。最为显著的是研究兴趣转移到了由计算机引发的问题。但是计算机也改变了提出和验证猜想的方式，改变了发现证明的方法，并且——在越来越多的情形中——改变了证明本身。

虽然公众一般认为计算机可以代替数学，但事实上，双方都是对方有力的工具。正如计算机给数学提供了新的机会，数学也使计算机具有如此不可思议的威力。数学为自然现象提供抽象模型，也提供用计算机语言实现这些模型的算法。应用、计算机和数学形成了一个紧密相关的系统，产生了以前不可能出现的新结果和以前不可能想象的新思想。 ——LynnArthurSteen，模式的科学，《数学译林》，1993、2

计算机以两种很不一样的方式影响数学：它们使数学比以往任何时候都更具威力，同时它们也改变了数学科学本身的内在特点。今天，计算机被普遍用于各类数学研究，不论是纯粹的还是应用的；它们改变了各分支之间的平衡，给理论提出了新问题，同时也给发现和证明提供了新工具。 ——LynnArthurSteen，面向新世纪的数学，《数学译林》1990

科学计算已经成为日常科学和工程实践经验的巨大部分，以至可以认为科学计算是科学的第三种基本方法——平行于实验科学和理论科学这两个早已确立的范例……。科学计算的方法把数学概念引入现实世界的科学模型中去，不亚于公理化理论和微分方程所起的作用。 ——美国国家研究委员会著，《人人关心数学教育的未来》

有些人可能会认为一旦有了足够强大的计算机，就不再需要数学家去解决科学和工程技术中提出的各种数学问题了。然而，实际情况却远非如此。随着计算机的威力日益强大，也就越来越需要数学去把科学问题归结或表示成能够运用计算手段处理的数学问题。并且当科学和工程技术企图解决日益复杂的各种蛙问题——涉及愈来愈多的、千头万绪的资料和愈来愈复杂的结构——时，也就越发需要用完全新的数学观念去组织、综合和解释有关的各种资料。设计和分析计算机算法的效率在很大程度上是数学的任务。随着计算机运算速度的日夜提高和内存容量的日益扩大，不断提高算法的效率实际上也就显得愈来愈重要。

——美国国家研究委员会著，《振兴美国数学——90年代的计划》

计算机本身的发展也要求大力推进理论数学的研究。计算机的出现促进了‚计算数学‛、‚数学模型‛、‚离散数学‛、‚数理逻辑‛等许多数学分支学科的发展。

——丁石孙、张祖贵著，《数学与教育》

电子计算机进入数学领域，改变了整个数学的进程，使以前不受重视的数学理论重放光彩（如：方程的数值解，气象预报中的数值方法等），并发展了许多边缘科学（如：人工智能、图象识别、机器证明、数据处理等等）。 ——定光桂，巩固‚基层‛改进‚中层‛革新‚上层‛，《面向21世纪的中国数学教育》

计算机为数学研究提出了新的课题，提供了新的工具，同时发展了许多新的领域，改变了数学各分支间的平衡，计算机和数学已经成为了一个紧密相关的系统。

三、数学研究方式发生了变化

以往，人们对数学的描绘主要集中于利用纸、笔进行运算和证明，很难体会实验、模拟、探索、等一系列的数学活动过程。而计算机向数学家提供了探索模式和检验猜测的强有力的工具，使数学家的研究方式发生了变化： 工作场所使用数学的人——会计师、工程师、科学家——现在几乎不再用纸和笔来算了，对于重要或复杂的问题的分析肯定不用这种方法了。电传纸、数值分析程序包、符号计算机系统、以及高级计算机绘图已经成为工业中重要的数学工具，甚至理论数学家也借助计算机进行探索、猜测、证明。 ——美国国家研究委员会著，《人人关心数学教育的未来》

在没有计算机的时代，数学家为了得到某些问题的精巧的代数形式——比如代数表达式或三角表达式的解而做异常艰苦的工作。现在，人们认为一个应用数学的问题得到满意的解答，是指你能找到一种算法，输入计算机后将给出你所要求的所有数值解。

总而言之，计算机正在数学家工作的所有阶段，特别是在探索和实验阶段，提供着十分实际和有效的帮助。随着数学向纵深发展，以及我们变得更加雄心勃勃，所遇到的原始素材也相应地会变得更加凌乱和复杂。正是计算机可以帮助我们筛选这些素材并为我们指出进一步理解和前进的道路。 ——M阿蒂亚著，数学家思想文库之一，《数学的统一性》

计算机已经酝酿出了进行数学研究的一种全新手段，即人们所知的实验数学。实验数学家和大多数其他的科学家一样通过归纳的方法，而不是通过逐步演绎出证明的方法来获取知识。所不同的是，别的科学家们设计针对的各个部分的实验，而新一代数学家们则通过搜寻只存在于计算机中的抽象世界的图案来进行实验。在过去，一项数学研究的成果将是一篇关于命题的证明或反驳的科学论文。现在它却可以包含一些色彩鲜艳的图案和一声充满快乐的惊呼：‚看，我发现了什么！‛

实际上，可能数学本身正在进入一个实验阶段。在依照Euclid的规则生活了23个世纪之后，数学家可能正在变得稍稍不拘小节些了。当维多利亚时代人发现非Euclid几何时，他们认为可以推翻Euclid了。但是他们仍按照旧的方式工作。也许只有在今天，100年之后，新的自由的许诺才能兑现。Euclid的‚原理‛（Elements），也许是不象我们想的那样基本了 ——WilliamBrown，新潮数学，《数学译林》，1992、4

一个人怎么会拒绝猜测未来研究方向的诱惑呢？我很泰然地猜测，下一世

纪，计算技术比之今天将占据更加重要的地位。研究数学模型的学者将用实验学家的方式来研究他们的课题。那时，常规图像显示技术会另今天的我们眼花缭乱。我们也将懂得用计算来作为严格的证明的手段之一。

——PeterDLax，应用数学在美国的蓬勃发展《数学译林》，1992、1 实际上，计算机提供了进行多次试验计算的可能性，为数学研究提供了有力的‚实验工具‛……。计算数学、应用数学的发展都是与计算机结合在一起才取得突破成就的。

——丁石孙，张祖贵著，《数学与教育》

数学是一门科学，观察、实验、发现、猜想等数学的实践部分和任何自然科学是一样多的。尝试和错误、假说和调研以及度量和分类是数学家常用的部分技巧。

——丁尔升，面向新世纪的高中数学课程，《21世纪中国数学教育展望2》 由于计算机与数学的结合，实验、尝试错误、模型模拟、猜测、检验等已经成为当今数学家研究数学、应用数学的一种常见的方式，计算机为数学研究提供了有力的实验工具。

随着数学实践活动和数学实验的加强，一个基本的数学过程日益清晰： 计算机使我们比以往任何时候都要更多地看到数学的发现就象科学的发现。它开始于在数据中寻找模式（可能在数中，但常常在几何的或代数的结构之中），经过概括提升，抽象成模式。理论作为模式的模式而出现，其意义则通过一个领域中模式与其他领域中模式的联系程度来衡量。最有解释力的精巧模式就是最深刻的结果，它们构成了所有数学分支的基础。 ——LynnArthurSteen，模式的科学，《数学译林》1993、2

数学思想是强有力的。它们是实在的，它们从现实世界的检验中产生，然后——通常以抽象的形式——逐步发展，再回过来说明现实世界的各种问题……

——SaundersMacLane，数学研究的特征，《数学译林1993、2》

从数据到演绎到应用的循环一再出现在所有用到数学的地方……‚做‛数学的过程远远超出了仅仅是计算或演绎，它涉及模式的观察，猜测的检验以及结果的估计。

——美国国家研究委员会著，《人人关心数学教育的未来》

一个基本的数学过程即是抽象、符号变换和应用。弗赖登塔尔称之为数学化，即数学地组织现实世界的过程。

——顾泠沅，现代背景下的数学教育，《数学教学》1997。1

我们看到了一个基本的数学过程的循环，它反复出现，形成了最基本的形式：抽象、符号变换和应用。这种循环不只出现在普通实验和数学实验的交界处，而且也在数学王国内部多次重复——导致了该学科更高水平的概括性，从而使它可以具有更强的效能。

——美国2061计划第一阶段数学专家小组报告，《发达国家教育改革的动向和趋势》（第四集）本世纪中叶以来，数学得到了空前的发展。数学与计算机的结合促使其应用领域迅速扩大，数学已经从幕后走上了前台，成为现代化社会中一种不可替代的关键技术，数学帮助人们把握客观世界的各种模式，整理客观世界的顺序，因此，许多数学家提出了‚数学是关于模式和秩序的科学‛。 计算机为数学研究提供了新课题、新方法、新理论，同时促使数学家的研究方式发生了改变：在抽象、符号变换、应用这一数学过程中，充满了观察、

实验和模拟、猜测、验证与等合情推理的模式，数学实验构成了数学研究和数学活动的重要组成部分。

总之，计算机和数学的结合极大地改变了数学的面貌，这一点是不容臵疑的。

数学家谈‚初中几何的改革‛

在初中数学课程中，几何这一领域引起了数学家和教师的广泛关注。当然，没有人会怀疑几何的重要性，特别是在人类进入信息社会的今天，几何学对于社会发展的贡献越来越大。无论是在ＣＴ扫描、核磁共振等医疗成像技术上，还是在机器人、光盘、传真、无线电话、高清晰度电视等最新电子产品上，都广泛采用了传统的和现代的几何学理论，因此，几何无疑将是数学课程的重要组成部分。

但是应该开设怎样的几何课程，一直是国际数学课程改革的焦点之一。要讨论初中几何课程的设臵，首先遇到的一个问题就是如何看待几何的教育价值以及初中几何课程的目标。

一、 学会逻辑推理是初中几何课程的首要目标吗？

我国现行初中几何课程基本保持了欧氏几何体系，它对培养学生的逻辑推理能力有着重要的作用，但是学生学习几何的首要目标是为了学会逻辑推理吗？

尽管教给学生的几何好象是：平面图形只有多边形或圆，３维图形只有球、圆柱或圆锥。其实世界上每个物体，从你阅读这篇文章时所坐的椅子到一棵数上的叶子，不管看作是一片叶子或是一堆叶子，都有一定形状和大小。计算机制图大大提高了我们通过画图来表示这个世界的能力，以及考察那些画图的能力。这使几何的技能和应用变得更容易理解，同时，像早先提到的，这也提高了函数的几何表示的重要性。总之，这个世界是几何的。

——Zalman Usiskin,从‚为少数人的数学‛到‚为所有人的数学‛，中小学数学教学论著译丛《数学教学理论是一门科学》，Rolf Biehler 等主编

想要以强化几何的演绎结构来拯救传统几何，那是注定要失败的。事实上，几何不单纯是演绎理论。

几何是空间的科学，是现实的物理空间的科学。也许有人认为变化多端的现实世界不能成为高度抽象的数学体系的基础，认为数学是至高无上的演绎体系，它不能受现实世界任何非演绎细菌的侵犯与污染，否则它的发展将受到阻碍，这固然也是一种道理，在一定的范围内也是对的。但要知道，有更多的学生，他们学几何并不是为了要建立一个演绎体系，而是要了解我们生活的空间。……因此必须结合日常生活实际，以了解物理空间为出发点去学习几何，它才不易被忘记，才会对人的生活产生影响。

作为演绎体系，也许还有比几何更合适的系统，但在认识现实世界与联系实际，使现实数学化方面，几何的作用是无法被代替的。数与形都是对现实世界的反映，通过计算能学思维，但借助眼睛、手等各种感官来接触空间形状，是一种最好的引导机会，它更有利于发现与创造，也符合于教育家夸美纽斯（Ｊ．Ｃomenius）的观点——打开学生的各种感觉器官。

——弗赖登塔尔， 中小学数学教学论著译丛 《作为教育任务的数学》 阿蒂亚指出：‚与其说几何是数学的一个分支，不如说它是渗透到各个数学分支中的一种思想方法。‛不仅如此，在人们的生活和工作中，几何思维活动比比皆是，现代工业生产中，几何量的测量与计算也处处可见，往往还要有很深

的几何知识，……所以数学教育改革，必须在数学教育内容上克服偏废几何的错误做法。

——朱剑英 ，进一步深化数学教育改革， 《面向21世纪的中国数学教育》，严士健主编人们生活在三维空间，生活和工作中存在着大量的图形，图形直观以及图形分析是人们理解奇妙的自然世界和社会现象的绝妙工具，特别是随着计算机制图和成像技术的发展，几何方法更是运用到人类生活和社会发展的各个角落，因此，义务教育阶段开设几何课程的首要原因在于‚这个世界是几何的‛，学生学习几何的首要目标不是为了训练逻辑推理，而是更好地适应我们生活的空间。

同时，没有人能否定图形给人类带来了无穷无尽的直觉源泉：

概括地说，我想提出这样的看法：几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分。这种区分也许用另一对词刻画更好，即‚洞察‛对‚严格‛，两者在真正的数学研究中都起着本质的作用。

它们在教育中的意义也是清楚的。我们的目标应是培养学生发展这两种思维模式，过分强调一种而损害另一种是错误的……我力图讲清的要点是，几何并不只是数学的一个分支，而是一种思维方式，它渗入数学的所有分支。 我对几何作用的减少感到遗憾的另一个理由是，几何直觉仍是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。需知我不是强要别人增加任何一门几何课。我只是请求尽可能广地应用各种水平的几何思想。 —— M阿蒂亚著， 数学家思想文库之一 《数学的统一性》

当然，我不是否认逻辑推理的重要性。一旦把几个重要的原理确定下来，我们还是要一步一步地严格论证，从原理出发，推出那些几何学命题和结论。另一方面，几何学有形象化的好处，几何会给人以数学直觉。不能把几何学等同于逻辑推理。应该训练学生的逻辑推理能力，但也应适可而止。只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造性的。

——吴文俊，数学教育不能从培养数学家的要求出发，《面向21世纪的中国数学教育》，严士健主编

我们不必把形式化和严格化的东西看得过于神圣，这不是我们要教给学生的最本质的东西，最本质应当是数学的直观和形象化。 ——冯克勤 ，数学教育的关键是彻底转变观念，《中国数学会通讯》 1999、3

D希尔伯特和S 。康福森专门写了一本书叫《直观几何》，认为直观在几何中起很大作用，而通过几何与许多数学分支的关系，人们甚至于能够从它获得整个数学的概观，能够认识数学问题的变化多端，以及数学的丰富多彩，使广大群众对于数学有更合理的评价。 ——梁之舜 ，‚头脑编程‛与数学教育，《面向21世纪的中国数学教育》，严士健主编几何和计算机的结合产生了数学科学中一个非常活跃和瞩目的领域：计算机图形学。尽管计算图形学大多数熟知的运用是在应用数学范围内，但是可视技术正在对传统的核心数学以及各个层次的数学科学教学产生实质性的影响。

——Lynn Arthur Steen， 模式的科学 ，《数学译林》1993、2

作为逻辑推理的体系，几何也许是可以代替的，但作为一种直观、形象化的数学模型，几何是不可替代的。由图形带来的直觉，能增进学生对数学的理

解，激发他们的创造力。特别是随着可视技术的应用，几何直观的作用越来越大，因此科学家和数学家呼吁‚21世纪几何学万岁‛。

综上所述，初中几何课程的首要目标是使学生更好地理解人类赖以生存的空间，发展学生的空间观念和几何直觉。 二、欧几里得几何的价值是什么？

近30年来，国际上大多数国家在经历了各种风雨之后，已经放弃了完整的欧氏几何体系，而我国的初中几何课程仍然保持了这一体系，如何看待这一现象呢？欧氏几何的价值究竟是什么呢？

数学中严谨的推理和一丝不苟的计算，使得每一数学结论不可动摇。这种思想方法不仅培养了数学家，也有助于提高全人民的科学文化素质，它是人类巨大的精神财富。爱因斯坦关于欧氏几何曾说：‚世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以致它每一个命题都是绝对不容臵疑的——我这里说的是欧几里得几何。推理的这种可赞叹的胜利，使人类的理智获得了为取得以后成就所必需的信心。‛ ——王梓坤，今日数学及其应用，《面向21世纪的中国数学教育》，严士健主编

欧氏几何中有严密的推理：根据已知条件，明确所要证明的问题，然后从已知条件出发，一步一步按照严格的逻辑关系，最后顺利地得出结论。这种思想方法对任何人来说都是十分重要的，……虽然这些思想对于没有经过几何训练的人来说也可以从经验中总结出来，但有训练与没有训练的差别，有时能导致工作效率的极大不同。 ——丁石孙、张祖贵，《数学与教育》

平面几何中不少结论在理论发展和实际应用上都无多大作用，然而在培养学生逻辑思维能力上却不是其他学科所能代替的。它除了有一个适当规模的公理体系作为推理的出发点，使学生能初步体会形式逻辑的‚三段论证‛的方式，用此来锻炼学生思维，不但较为容易，而且，由于学生对所讨论的对象有实感，他们还能在学习中主动出击，自己去探讨一些问题，智能由此发展。这是其他学科在初中阶段难以办到的。王元同志说：‚几何的学习不是说学了这些知识有什么用，而是针对它的逻辑推导能力和严密的证明，而这一点对一个公民都是非常重要的，而这个能力若能在中学里得到训练，会终身收益无穷。‛平面几何的精髓在‚论证‛而不在知识。 ——陈重穆 ，‚大众数学‛及其他——谈初中数学教育改革， 《面向21世纪的中国数学教育》，严士健主编

欧几里得几何建立了最简单、最直观、最能为孩子们所接受的数学模型，然后教会他们用这样的数学模型去思考去探索，有大量的练习供他们去做，让他们亲身体验数学推理的力量。点、线、面、三角形和圆——这是一些多么简单又多么自然的数学模型，却能让孩子们在数学思维的天地里乐而忘返。很难想象有什么别的材料能够这样简单同时又这样有成效。 ——张筑生，数学对人类文明发展的贡献与数学教育，《面向21世纪的中国数学教育》，严士健主编

我迫于无奈而不得不写这篇文章，并为此而感到遗憾。不幸的是一些论述为什么严格数学已死亡的文章已经产生了意想不到的副作用。我们正生活在一个教育改革蓬勃兴起的时代，许多数学教育改革的倡议者正在抨击证明的重要性并质问是否有正确的答案等等……。而Horgan(他于1993年10月在

Scientific American 上发表了题为 The death of proof 的文章)在他的文章的结尾甚至指出‚中学几何的证明是否已经过时？‛这一更加令人困扰的疑问，这种不负责任的属于认识上问题的折衷主义者提供无根据的弹药的做法是数学的一大祸害。

——George E。Andrews ，什么证明死了？什么半严格数学？都是骗人的鬼话！《数学译林》1995、8

数学中需要的不只是实验和猜想，我们要强调这种认识的重要性，并且指望最能干的学生能够证明某些结论，这样我们就可以教育所有学生，使他们充分发挥其才干，这不仅丰富了他们的生活，而且使他们有准备进入现代社会，为之作出贡献，从而保证我们这门学科继续成为大千世界的主力。 ——DTHaimo 为纪念FTHaimo而作 ，实验与猜想是不够的，《数学译林》1990、3 Mumford 教授以及其他一些人问到：既然极少数人会在将来的工作中用到逻辑推演和证明，那么如何证明学习这些知识的重要性呢？美国已有相当多的律师，Mumford 教授不得不承认这些知识对未来的律师十分有用。 非数学家和非职业律师的情况有如何？电子工程师、物理学家、化学家和许多其他人可以通过明智的接触数学证明而收益匪浅。许多受人喜爱的大众科普文章也要求读者对数学证明有一定了解。

———DKlein 和 JRosen，改革微积分——为了数百万美元 ，《数学译林》1998、4

由上不难得出，欧氏几何的主要价值在于它能培养学生的逻辑推理能力，这点似乎是不需要怀疑的。但进一步分析，我们发现数学家所强调的是欧氏几何的思想方法，是它作为文化传统和人类精神财富所起的作用，而不是具体的知识。同时，数学家们还强调欧氏几何的学习将有利于学生体验数学推理的力量，获得为取得以后成就所必需的信心，将丰富他们的生活，将使学生在数学思维的天地里乐而忘返。而现行教材是否达到了这个目的，大多数的学生是否在欧氏几何的学习中获得了信心、兴趣和推理的力量，要划一个大大的问号。 三、仅仅有逻辑推理够吗？

另一方面，很多数学家也指出仅仅有逻辑推理是不够的，过分强调逻辑会抑制学生的数学直觉和创造力，而这些也许是更重要的：

Lakators 用一种与介绍《实验数学》时用的很相似的口气，谈论欧几里得的方。

欧几里得方发展了某种带强制性的表达风格，我称之为‚演绎主义风格‛。这种风格以一串煞费苦心陈述的公理，引理和（/或）定义开始。公理和定义看上去往往是人为的且是令人迷惑的复杂，绝没有告诉你这复杂性缘何而来。一串公理和定义之后则是用词谨慎的定理，它们都带有众多的条件，而这些条件似乎都不可能猜到。定理之后便是证明。

演绎主义风格隐藏了人们所作的努力，隐藏了经历过的冒险。整个故事消失了，在证明过程中不断尝试的定理的表述注定被遗忘了，最终的结果被提升到神圣的绝对正确的境地。

——JBorwein、PBorwein、RGirgensohn、 SParnes ，正确理解实验数学的意义，《数学译林》1997 、2

问题的要害在于由于强调证明而造成的各种基本价值观处于不平衡状态。证明本身是‚真理‛概念的衍生物。而除了真理，还有其他价值观念，其中包括‚活力‛（activities）、‚美‛和‚理解‛，这些在中学教学及其后的教学中

都是本质的要素。忽略这些价值观的教员（或大学教授）会失败得很惨。 从教育学的角度看，证明只是各种类型的数学内容中的一种。还有许多不同类型的数学内容：计算、附有解释的纲要，计算机程序，算法语言的描述，还有常被忽视的关于形式定义和直观概念间联系的讨论。 ——Yuri Ivanovich Manin ，数学是一种比喻 ，《数学译林》1998、3 一般认为数学是按严密的逻辑构成的科学，即使与逻辑不尽相同，却也大致一样。但是实际上，数学与逻辑没有什么关系。数学当然应该遵循逻辑，但逻辑在数学中作用就象文法在文学中的作用那样。书写合乎文法的文章与照着文法去写小说完全是两码事；同样，进行正确的逻辑推理与堆砌逻辑去构成数学理论是性质完全不同的问题。

考察除数学外的自然科学，例如物理学可以说是研究自然现象中物理现象的科学。在同样的意义上，数学就是研究自然现象中数学现象的科学。因此，理解数学就要‚观察‛数学现象。这里说的‚观察‛不是用眼睛去看，而是根据某种感觉去体会。这种感觉虽然有些难以言传，但显然是不同于逻辑推理之类的纯粹感觉，我认为更接近于视觉，也可称之为直觉。 ——小平邦彦，数学的印象 ，数学译林》 1991、2 其实整个现代物理所赖以筑构的‚推导‛，是启发性论证、计算和偶尔的精密讨论之组合。在其它科学里， 诸如化学和生物学，逻辑演绎实际上是没有地位的，因为所研究的系统过于复杂，不允许我们去精密地证明任何事情：科学家们所能做的仅是依靠数据，以及与其它系统进行类比，并且借助Bayers 模型对于这类系统的预测来论证如此这般是最有可能的解释。如果科学家们尚且这样不常使用逻辑，那么其它受过教育的公众则更是如此了。在政治讲演中，我们不仅看不到逻辑的使用，而且甚至看不到首尾一致的数目字用来量化他们的论点。如果我们作为一个团体要承担教育的使命，更好的行为可能是，努力让更多的人相信数字有助于他们理解周围的世界。人们普遍对证明不感兴趣，是纯数学在科学中最为孤立的原因之一。如果我们能放弃那种要时时处处都如此精确的清规戒律，更自如地传播我们所正在从事的工作，那么我们或许能更经常地光顾《纽约时报》的‚科学‛栏目了

——David Mumford ,改革微积分——为了数百万人 ，《数学译林》1997、4 数学并非是一门演绎科学——那已是老生常谈了。当你试图去证明一个定理时，你不仅只是罗列假设，然后开始推理。你所要做的工作应是反复实验、不断摸索、猜测。

——PRHalmos ，怎样做数学研究，《数学译林》1995、2

但由于证明‚几乎必然性‛要便宜很多，我们将不会或不愿为寻求这种彻底的证明付出

大量财力。我能想象二十一世纪的一篇论文摘要，它写道：‚在某一精确意义下，我们证明了Goldbach猜想成立的概率大于0。9999，但要彻底证明其真实性，则需要一笔100亿美金的预算。‛

由于绝对的真理性变得越来越昂贵，我们迟早会领悟到，只有少数的非平凡结果能用旧式必然性的标准去认识。多半我们会索性放弃这种老要记住价格的苦差事，而去完成数学非严格化的进程。

——Doron Zeilberger，标明价格的定理：明天的半严格数学文化，《数学译林》1995 2

计算机证明，定理的发现以及数学实验现今已公开被承认为合法的获得数

学知识的方法和途径。

因此，绝对严密的数学证明不再作为最理想的一种，而被看作是更为广泛、更为丰富、更具弹性的概念的一部分，我称之为‚数学证据‛。

就数学教育而言，我认为意义非常明确。古典的证明必须过来和其他获得数学证据和知识的方法共享教育的舞台和时间。数学教材必须改变欧几里得解释模式，它的僵化常常使人感到迟钝。

——PJDavis，三角形几何的兴起、衰落和可能的东山再起：微型历史，数学译林，1998，4

一个证明是一种曾被发明的符号装臵，它使我们检查结论的正确性；而它不是我们发现这个真理的思维过程的记录。

通过课堂灌输许多推导特殊类型问题的演绎法则，会把主要负担放在记忆上，削弱一般的理解，使学生毫无准备地去应付可能在校外遇到的，不曾出现在标准课程中的新问题。相反，学生们必须学习培养关于他们正在学习的领域中的事物的直观描述，并且在这些直觉的知识中找到所需要的演绎方法。他们必须做许多猜测，来产生直觉的想法，认识到每一种猜测必须检验其正确性，并且错误的猜测通常可以用于产生更好的猜测。

——美国2061计划第一阶段数学专家小组报告，《发达国家教育改革的动向和趋势》（第四集）

只强调数学的严格思维训练和培养逻辑思维是不够的，甚至会发生负作用，即有时会形成思想呆板的习惯。事实上，人们在真正学懂数学的过程中，除了经常用到形式逻辑思维以外，更重要的是从具体现象到数学的一般抽象，以及将一般结论应用到具体情况的思维过程。虽然数学的概念、模型、结论以至证明过程都是脱离物质形式的，但是从整个研究过程看，这种脱离又不是绝对的，都是以某种实际为背景的，例如它的基本概念和模型常常是以具有典型性而且有深刻内涵的例子为基础，加以归纳和抽象出来的；而且在抽象的过程中需要有一个抓住本质并对本质有准确理解的思维过程。人们对这些概念和模型的理解一方面要从文字的涵义角度去准确理解，但是绝不能只停留在字面的理解上，而是应该结合一些典型的实例理解它的本质涵义，而且后者是更重要的，更实质性的要求。又如结论的证明是逻辑演绎的，但是结论以及证明的方法是如何形成的，研究者通常有某种‚直观‛的想法为背景，就是说，可能是对某些例子的观察和试探而得来的，也可能是基于研究者过去在别的问题上的经验的升华。近年来出现一种重要的苗头：有人进一步用计算机模拟来帮助提供‚直观‛背景，还有一个很重要的方面是：当结论成立以后，如何分析理解它的本质，它的变型和发展，它与其它问题（实际的或理论的）的联系。所以上面所说的抽象过程，可以说是归纳方法与严密思考的结合，直观与抽象的结合，这是一种不同于逻辑思维但是更重要的数学思维方式。

——严士健，数学思维与数学意识、创新意识、应用意识——数学进行素质教育的一点看法，《教材与教学研究》，1999、3

任何数学都要讲逻辑推理，但这只是问题的一个方面，更重要的是用数学去解决问题，解决日常生活中，其他学科中出现的数学问题……。这就要培养学生的创造能力，学会处理各种实际数学问题的方法，但要做到这一点，光凭逻辑推理是不够的。

——吴文俊，数学教育不能从培养数学家的要求出发，《面向21世纪的中国数学教育》，

严士健主编

逻辑训练虽然十分必要，但这只是一种基本训练，而不是数学思维能力的全部。逻辑推理主要应用于数学证明的表达和检验，在数学学习特别是数学的应用及研究中，更重要的是：形成数学问题的能力，活用方法的能力，数学探索及发现的能力，创造性思维的能力，等等。 ——王世强，逻辑训练和数理逻辑课程，《面向21世纪的中国数学教育》，严士健主编

逻辑推理的敏捷性和清晰性是优秀数学头脑的特点……但若只片面强调逻辑推理的严密性会使人头脑僵化……直觉是一种洞察力，它跃过某些繁琐的东西，看到远处。但逻辑推理也不总是按部就班，利用直观能力，有时可以一下子把前因和后果找出或悟出。

逻辑并不是一切，它有时成了科学进步的绊脚石。 正是傅里叶提出：‚对自然界的深入研究是数学发现最丰富的源泉，这种研究的特点不仅在于有完全明确的目的性，还在于排除含糊不清的问题和无用的计算，这是建立分析自身的一种方法，是数学发现至关重要的。‛这应该比严格的逻辑更重要。 ——梁之舜，‚头脑编程‛与数学教育，《面向21世纪的中国数学教育》，严士健主编

许多数学教育工作者仅仅把数学教育看成‚逻辑训练‛的体操，而且奉为座右铭，恐怕是一种误解。数学不等于逻辑。我们追求数学推导的严密，要求适当地严谨，当然很必要。但是，数学本质思想和数学应用意识的教育，恐怕更重要。例如方程和平衡，函数与运动，极值与优化，迭代与逼近，对称和变换，随机和确定等等的理解，当为未来公民应该具备的数学素质。 ——张奠宙，中国数学教育的文化传统和未来走向，《面向21世纪的中国数学教育》， 严士健主编

过分地强调逻辑，过分地偏重于演绎，正是许多青少年在数学学习中陷入窘境的主要原因，本来应当人人喜爱的东西，却使许多人觉得寡味了。

发散思维，直觉，在科学发现中是最受器重的因素，又正是儿童时期思维特别具有发散的特征，可是重视直觉的这种必要性及有利因素被忽略的情况却是特别严重的。

就数学思维来说，逻辑与直觉是交替的。‛……数学发现并非逻辑的结果……但数学基础问题虽意义重大，却毕竟只为极少数人所注目，在专业工作者中也是极少数。这些事实告诉我们，逻辑与直觉两相比较，直觉更为重要。在数学教学中教给学生直觉思维更为困难，对更多的学生也更为需要、更为喜爱……‚严密仅仅是批准直觉的战利品。‛（阿达玛语）我们的数学教育是重点着眼于那纸批准书，还是被批准对象本身呢？ ——张楚廷，让人人喜爱数学 ，《面向21世纪的中国数学教育》，严士健主编

徐利治教授曾指出：在现代初、高等数学教育中，特别反映在教材与教学方法中，似乎过于侧重演绎论证的训练，把学生的注意力都吸引到形式论证（逻辑推理）的严格性上去，这对于培养学生的创造力来说，实际上是不利的。当然，必要的逻辑推理训练不可少，但对于有作为的数学工作者来说，发现和创新比命题的论证更重要。因为一旦抓住真理后，补型证明往往只是时间问题。事实上，数学和任何一门其他自然科学或社会科学的发展，根本的关键因素仍

在于不断地创新，而创造发明的主要思维形式又在于形象思维。

思维除了抽象性与逻辑性的特征以外，同样具有甚或更重要的特征，还在于观察、实验、类比、联想、归纳、想象、直觉和审美数学等等。 ——朱梧贾，数学文化、数学思维与数学教育，《面向21世纪的中国数学教育》，严士健主编

从上面到处充斥的‚直觉‛、‚发现‛、‚创造‛、‚活力‛、 ‚解决问题‛等词语中，我们很容易得到一个结论，仅仅依靠逻辑推理是不够的，不论是在解决实际问题中，或是在从事数学研究中，甚至在推理中，逻辑都只是很小的一部分。在生活中，归纳、类比、直觉、猜测等更为重要，这一点对于一个计算机时代的数学家也不例外，无怪乎有的数学家提出，数学已不再是一门演绎科学；我们会放弃严格证明，而去完成数学非严格化的进程；绝对严密的数学证明不再作为最理想的一种等观点，当然这些观点还需要讨论，但生活、数学绝不等同于逻辑这一点是毋须臵疑的。

四、 欧氏几何是训练逻辑推理的唯一途径吗？

同时，不少数学家还指出欧氏几何并不是培养学生逻辑推理能力的唯一的和最好的途径：

平面几何，强调传统的欧几里得体系的严密性以及几何的综合方法的直观，几乎认为它是培养中学生逻辑思维的唯一途径。这些看法不是没有道理，但是在当今的形势下，不论单从几何角度还是从整个中学数学教材的角度来看，都确实大有商榷余地。因为就几何说，综合法固然有直观的优点，易于为中学生接受，但是，它缺少一般性，学起来事倍功半，而且对以后学习作用不大；至于中学生的逻辑思维训练当然是十分必要的，但是并不一定是综合法，所以国际上很多教材已不单纯地采用它，另一方面，逻辑思维除了一般的要求外，它对更好地使用计算机也是重要的，而计算机所需要的的逻辑性更接近于代数，不是综合几何……。所以加强代数部分的逻辑性也是教材改革的一项任务。 ——严士健 ，让数学成为每一个中国人的生活组成部分，《面向21世纪的中国数学教育》，严士健主编

欧几里得体系是非机械化的，把空间形式化成数量关系是机械化的，……我并不是说完全不要，可是应该及早地，就象小学赶快离开四则难题引进代数一样，中学也是赶快离开欧几里得几何引进解析几何，……我想，总的一个，当然非常简单明了，就是这样，……欧氏几何让位于解析几何。 ——吴文俊，数学教育现代化问题，《２１世纪中国数学教育展望１》 学生应该领悟在数学中推理论证是确立真理性的准则……。应该看到，欧几里得几何不是教学生推理的唯一载体，代数和离散数学都为论证提供了很好的机会，甚至流程图和电子数据表也能用来说明数学论证的逻辑性质。 ——丁尔升主编，《现代数学课程论》

平面集合削弱后，用什么取代它以培养逻辑推理的能力？……现在看来，可以用组合数学。

……组合数学中很多内容，如抽屉原理，奇偶分析，分类等，学生喜爱易于接受（小学生都懂得‚从三只白袜子、五只黑袜子中随意抽出四只必有两只同色‛。）组合数学灵活，有众多的应用。它的推理方式比起平面几何更加接近现代数学。因此可以将一些组合数学的内容分布于各个年级，取代平面几何。 ——单樽，大纲、教材及其他，《面向2世纪的中国数学教育》，严士健主编

有不少人担心，放弃了欧氏几何，学生的逻辑推理能力会下降，因为欧氏几何是培养逻辑推理的唯一途径。事实是否是这样呢？前面已经提到，今日大多数国家的数学课程里没有完整的欧氏几何体系，很多发达国家从60年代以来，学生就没有系统地学过欧氏几何，但并没有出现科学人才的危机，迄今为止，没有任何一个调查表明，没有系统地学习欧氏几何将导致逻辑推理的下降。至于用什么样的材料可以训练学生的推理能力，数学家们提出了代数中的运算算理、组合数学、流程图等素材。通过日常生活和数学课程中各个领域的学生感兴趣的素材，培养学生推理和证明的意识，也许是义务教育阶段培养学生逻辑推理能力的一条好的途径。

五、过早地从事严密的逻辑推理不符合学生的认知规律

逻辑推理、公理化的思想对于数学是重要的，但数学家提醒我们不能过早地教给学生：

教几何是理想和现实之间一场无可比拟的斗争，其中显示了人类卓越的智慧。当然这必须运用恰当，否则就可能适得其反，使儿童认为自己智力低下，而丧失信心。

总有一天，孩子们会提出为什么的问题来的，过早地对几何作系统的学习对他们只会有害而无益。‚为什么‛这个词对于几何的学习是最为关键的，但不能过早地提它，而要等待时机成熟。

儿童用逻辑方法组织活动的能力有着一个持久但并不连续的发展过程。在最初阶段，他们通过手、眼以及各种感觉器官进行思维，经过一段时间的亲身体验，通过主动的反思，就会客观地描述这些低层次的活动，从而进入一个较高层次。必须注意，这个高层次的达到，决不能借助算法或形式地灌输来强加给他们。

公理系统能否教以及应该如何教，对此应该明确一点，它必须通过公理化的活动过程来学习，那就是‚与其让学生学习公理系统，还不如让学生学习‘公理化’‛

总之，只有建立在现实基础上，以大量丰富的几何事实为后盾，在不断组织，不断比较，反复思考，反复探索的数学活动中，在学习公理化的过程中，才能真正掌握几何的公理系统。

—— 弗赖登塔尔， 中小学数学教学论著译丛 《作为教育任务的数学》 由于教学环境的不同，严格的证明也许并不合适；与其一开始就提出严格的证明，倒不如提出一个直观的轮廓。

——DTHaimo ，实验与猜想是不够的，《数学译林》1990、3

实验几何更贴近人类的生活空间和日常经验；实验几何的另一个优点就是变高速的论证技巧为不同水平的创造活动；实验几何还可以改变以往数学那种枯燥乏味的形象，变几何学习为一种趣味活动，并在这种活动中培养学生的观察能力、实验能力、创造力以及归纳类比能力，这些一般能力的培养对提高人的素质具有重要的意义。基于上述观点，许多人都主张重视实验几何的教学。 与此相反，许多人反对把公理系统过早地引入中学几何，从而使几何的学习成为一种形式的学习。其中有代表性的观点如弗赖登塔尔所说：‚我反对这样的公理系统，并不是因为它的复杂性，而是因为向学生提出的方式。他们必须运用它来进行机械的演绎——我认为这是一种毫无价值而应认真加以排斥的活动……预先建立的公理系统有其本身的优点，它们构成了可被那些在公理化方面有一些经验的人所接受的学习主题。如果学生已经学过把比较容易的材料公

理化，他将根据以前已经知道的经验从复杂的公理系统中找出特征，他将能够解释这个系统并且好像是他自己曾建立它一样地理解它。但是如果他从未尝试过进行公理化，那么，这样一个几何的公理系统，对他来说，将仅仅是另一个不可消化的公理。‛ ——丁尔升主编，《现代数学课程论》

在现行初中几何教学中，有着这样一个现象：一方面，确实有一些学生因为欧氏几何的学习而对数学和理科产生浓厚的兴趣，甚至从此踏向科学探索之路；但与此同时，又有半数以上的学生会因此失去学好数学的信心（其中有部分学生的考试成绩还可以），‚欧氏几何‛课程成为一把‚双刃剑‛。

严密的逻辑推理和公理化对一个从事数学或科技理论工作者是必不可少的，但考虑到义务教育的目标和学生的认知成熟程度，欧氏几何这把‚双刃剑‛似乎不宜在这个阶段引入，处理不好的化，还会伤害学生学习数学的信心和兴趣，而这是致命的。

虽然数学家对欧氏几何的改革有着不同的意见，但有一些结论确是共同的：几何教学的目标更重要的是理解现实的几何世界，培养几何直觉；欧氏几何更重要的价值是它体现出来的思想方法和文化传统；无论在日常生活和工作中，还是在数学研究中，仅仅靠逻辑推理是不够的；欧氏几何并不是培养逻辑推理的唯一途径，也不一定是最好的载体；逻辑推理和公理化是很重要的，但必须在学生能够理解时才能学习；即使是学习欧氏几何，重要的是通过‚公理化‛的过程体会其思想方法，不能将注意力放在繁杂的技巧中，不能使学生因此丧失继续学习的信心和兴趣等等。

以此为原则，我们应该好好反思现行初中几何课程，认真讨论初中几何的改革。

 数学组《寻求高中数学新教材与现代教育技术的结合点》 导论：

于2000年出版的《全日制普通高级中学数学教学大纲》指出：高中数学新教材的编写，旨在进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力，提高学生的思想道德、审美情趣和身体心理素质，培养学生的创新精神、实践能力、终身学习能力和适应社会生活的能力，促进学生的全面发展。而当前的教育理论界一致认为认为：现代教育技术是为实现教学目的服务的手段，恰当的应用可以引发学生的学习兴趣，有利于表现事物的现象和特征以及揭示事物的本质属性，有利于突出教学的重点和难点，尤其对数学教学来说，恰当的地应用现代教育技术，对进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力，提高学生的创新精神，有着实际性的帮助。在这一点上，两者不谋而合。

在近一年使用高中数学新教材的过程中，我们通过研究高中数学新大纲对数学目的的调整、教学内容的改动和教材编排的重新组合不难看出，新教材‚新‛就‚新‛在于提高了学生学习的主动性，增加了数学知识的应用性，为教学方法和教学手段改进提供了空间。同时我们发现，现代教育技术经过几年的实践和摸索已逐渐成熟。所以我们有必要从学习的主动性，数学知识的应用性，教学方法和教学手段这三方面入手，对高中数学新教材与现代教育技术的结合点作一番认真的研究。

探讨：

一、 学生学习的主体性问题。

学生是学习的主体，这就要求学生不仅仅要学会一些重要的数学结论的内容及其正确性的论证与应用，更重要的是要领略数学问题的产生过程，体会数学家运用已有的知识探索未知世界、获得新结论的创造性劳动的艰辛以及培养自己运用数学知识、数学方法、数学思想在现实生活中发现、探索、解决问题的能力。

新教材充分注意到了学生这个主体在学习过程中的主动性与参与性。

（一）、在每章前都精心设计了一个配有插图的、饶有趣味的序言。每个序言中都提出了一个很强现实生活背景的实际问题，这就为现代教育技术提供了一个非常好的结合点。例如在讲述新教材第三章《数列》的序言‚国际象棋的传说‛，当问到国王是否有能力满足发明者上述要求时，大部分学生凭着直觉认为国王可以满足。屏幕上此时生动地显示出随着格数的增加麦子质量（假定千粒麦子的质量为40g）触目惊心的增加过程，当最终麦粒的总质量显示超过了7000亿吨时，学生异口同声‚哇‛叫了起来。学生此时感叹于发明者的睿智并产生出一种探索数列真实面目的强烈愿望。在这一教学过程中，正是由于计算机这一强有力工具的介入，使得序言发挥更大的作用即更能调动学生学习的积极性，增加学生学习本章内容的欲望，这为培养学生自己主动运用数学知识、数学方法、数学思想在现实生活中发现、探索、解决问题的能力创造了基础。 （二）、新教材的正文一般都注意从实际引入概念，从实际提出问题。例如新教材第二章中，把函数与增长率的变化相联系，第三章数列中引入储蓄问题，第八章《圆锥曲线方程》中，把圆锥曲线的引入与行星、卫星运行轨道结合起来等等, 这些同样为现代教育技术提供了一个非常好的结合点。以圆锥曲线为例，教师可利用多媒体技术声像俱貌显示人造地球卫星或行星运行的轨道（如上图），再把其抽象成数学模型，让学生感受数学的真实性。由这一教学过程我们可以看出：新教材从学生所熟悉的实际问题引入，使学生了解数学来源于实际，同时由于多媒体图像、声音、动画的辅助作用，能够为学生开发创造一种宽松而又能紧抓住学生好奇心和求知欲的教学环境，并激发出学生的探索精神和创新思维；再利用计算机把实际问题抽象成数学模型，这是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生观察分析能力的重要一步，更是学生进行知识创新的前提。

（三）、在给出每一个概念或知识点时，新教材注重给学生提供‚做‛数学实验的材料，例如函数的一些性质定理，线面、面面关系的一些概念，空间向量的加减、数乘问题等等。利用现代教育技术可为学生创设一个‚做‛数学实验的平台。以二面角为例，对二面角的平面角的概念的引入，我让每一位学生在自己的计算机上利用几何画板平台作了一个实验：找一个角 将它放入二面角内，把角的顶点Ｏ放在棱上，角的两边分别紧贴在两个面上， 的大小是否唯一确定？（动画演示实验，让学生发现 的大小不能唯一确定），计算机提出问题：当顶点Ｏ在棱a上的位臵不变时，怎样才能使 的大小唯一确定？学生主动操作发现：当 时， 的大小就唯一确定。计算机接着追问：改变 点在棱上的位臵，则 的大小是否会改变，为什么？学生拉 在棱a上动时，对 的大小进行追踪发现角的大小是不会改变的。（图四）这一实验过程中的活动都是交互式的，学生完全

可在各自的计算机平台上完成与计算机一问一答式的操作。在这一段教学中，如果说二面角的概念是实验的结果的话，那么计算机软件的介入，则是这一实验的催化剂。学生利用计算机主动地参与知识本身的建构。这是培养学生创新意识和创新能力最直接和最有力的方法和途径。‚计算机操作实验‛的引入，使学生看到自己的创新成果，体验到创新的乐趣，进一步激发他们的创新探究意识。

（四）每章都安排了一到两个阅读材料，这些阅读材料通俗易懂，对扩大学生知识面、提高学习兴趣、加深对所学知识的理解程度有益处，同样也为现代教育技术的引入提供非常好的结合点。例如学生通过《自由落体运动的数学模型》这一阅读材料初步掌握了建立数学模型的过程和方法，然后教师组织部分学生模仿伽利略来建立这一数学模型：在我校最高的建筑上做自由落体运动实验，利用校电视台的高清晰度摄像机拍下自由落体运动的过程，然后输入计算机，在计算机中建立一数据库对这一运动过程的各个量的数据进行精确的追踪和测算，再把这些数据填入电子表格中，让学生对这些数据进行研究，从而建立数学模型，最后利用Microsoft Excel软件的自动测算功能进行检验，检验结果证实学生建立的模型是正确的。在这一过程中，正是由于现代教育技术的引入，使学生像‚研究者‛一样，自己重新发现和探索问题，从而得出新的知识点，并学到建立数学模型的方法。学生通过‚做‛数学模型缩短了学生与数学的距离，让学生体会到了数学的原汁原味，真正学到了‚现实的数学‛。正是由于结合了现代教育技术，才使得这一阅读材料发挥了更深层次的做用，使其不仅在于‚读‛，更在于‚做‛，在于提高学生学习的主动性和参与性，在于提高学生解决实际问题的能力。

从以上四段的分析我们可以发现，正是引入现代教育技术，更有利于将学生的主动性和创新精神的培养作为核心目标。

二、数学知识的应用性问题

重视数学知识的应用，是近年来数学教改的一个热点，也是新大纲的重点之一。新教材在加强用数学的意识也作了改进，把培养学生用数学的意识贯穿在教材的始终，注意把数学知识应用到相关学科和生活、生产实际中去，引导学生在解决实际问题过程中，提高分析问题和解决问题的能力。一是与相邻学科相互结合，新教材中大量引入物理、化学等方面的例子作为知识背景，如向量中数量积借助物理学中功的定义来引入；又如，在第九章的多面体和正多面体的欧拉公式应用中，介绍了1996年诺贝尔化学奖的三位化学家获奖原因是发现了C60，还给出了C60的分子结构图等等。现代教育技术在这方面大有用武之地，就以C60的分子结构图来讲吧，学生就可以在教师的指导下，在给合欧拉公式的基础上，利用计算机的3D性能，来观察和进一步研究C60的分子结构图（如右图）。这样不但可以增加教材内容的趣味性，使学生用联系的观点去看待问题，还可以强化学生分析问题与解决问题的意识，加强与其他学科知识之间的联系，现代教育技术在这一方面起着桥梁作用。二是按新大纲的精神，新教材在‚函数‛‚平面向量‛‚概率与统计‛内容中增加了‚实习作业‛，在做‚实习作业‛中可根据实情利用现代教育技术，可使学生在参与数学活动中得到进一步的训练和提高。

从上述分析我们可以发现，加强数学知识与其它学科知识之间的联系，现代教育技术在这一方面可以起到桥梁作用。

三、教学方法和教学手段

新教学大纲（《全日制普通高级中学数学教学大纲》，试验修订版，2000年2月）指出：‚现代技术的使用将会深刻地影响数学教学内容、方法和目标的改变。‛在此指导思想下，新课程对更新教学手段给予高度重视，它允许学生使用计算器，提倡教师要更新观念，充分认识新教学技术给数学教育带来的变革，努力学习现代教育技术，运用现代教育技术改进教学方法。

（一）在新教材中，利用现代教育技术进行函数概念、图像和性质的教学，可生动的表现出函数的单调性、奇偶性，检验函数图像的对称性，实现函数图像的伸缩、平移，节省课堂时间，大大提高课堂教学效率，起到事半功倍的效果。比如，在讲对数函数的图象和性质时，因为对数函数和指数函数互为反函数，我们可利用《几何画版》或其它教学软件，让学生亲眼目睹教师由函数的对称性来画函数图像的过程；根据图像我们可以使学生得出函数的性质，可以使用计算机的数字追踪功能进行函数的性质的验证；还可以使学生发现一些除课本外的性质，如‚当 时，底越大，越靠近坐标轴；当 时，底越小，越靠近坐标轴‛，并利用计算机把这一性质进行生动的‚描绘‛（如图）。这样，有计算机的辅助就可以用很少的时间取得显著的效果，这是其它教学手段不能比拟的。 （二）在新教材中，利用现代教育技术进行几何教学，有着深藏的巨大潜力。在解析几何教学中，形数的结合不好表现，曲线作为动点运动的轨迹只能依靠想象，现在不同了。利用计算机可以测算出平面内任一点的直角坐标，当用鼠标托动点运动时动点的坐标的变化能及时显示，可以通过动画生动地表现曲线作为动点的轨迹的形成过程，这无异将极大改善解析几何的教学现状。例如在讲圆锥曲线的统一定义时，教师设计一个教学组件（如图），学生可自己输入 的值，就能马上画出所对应的圆锥曲线的图像；也可以让计算机自动展示 值变化时，圆锥曲线图像变化的过程。然后通过观察和思考，学生就可以深刻的掌握圆锥曲线的统一定义。由此可见，正是因为现代教育技术的引入，使得原来呆滞的、教师说教式的教学过程变成充满活力的、学生主动探索的教学过程。在至于立体几何，传统教学的最大困难是培养学生的空间想象力，我们可以使计算机在这一方面可以发挥出积极作用。例如，截面问题、折叠问题、侧面展开、从不同的角度观察图形、空间图形的分解与组合……这些传统教学的困难，现在通过计算机得到了的解决。

（三）把新教材中的内容，做为数学实验的材料，教师努力去创设一个让学生能积极主动参与教学活动并乐于、敢于表现自己所知、所想、所能的民主氛围，使学生通过实验、观察、验证、归纳、类比等形成对数学的理解，培养学生辩证唯物主义的科学观和世界观。这也是用传统教学所不能达到的。（例子上面已有）

从以上三点的分析我们可以发现，现代教育技术的引入，有利于教学方法和教学手段的改进。

后记：

通过学生学习的主体性问题、数学知识的应用性问题、教学方法和教学手段三者去探讨新教材和现代教育技术的结合点中，我们可以说：高中数学新教材的出版和使用拉起了高中数学教育改革这条大船的帆，而 ‚现代教育技术‛ 刮起了这场东风，只要广大教师做好这条船的舵手，掌握好风向，就一定会使高中数学教育改革这条大船‚乘风破浪‛，达到大海的彼岸。

参考资料：

（1） 鲁献蓉．《高中数学新大纲新教材新在哪里》．中学数学教与学，2002/2 （2） 饶汉昌．制定新高中数学大纲的几点思考．人民教育出版社，1996.

《现代数学与中学数学》论文

现 代 数 学 应 用 于 中 学 数

学

院系：数学与信息科学学院

班级：07级应数二班

姓名：宋瑞媛

学号：0600205012

现代数学应用于中学数学

现代数学仍以代数、几何与分析为三大基础，系统掌握现代数学基础知识，无论是作为工具性目的的需要还是逻辑思维方法的训练，都是必须的。 根据我国的教育，基本顺序有：幼儿园，小学，中学，大学等。而数学则是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中

产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。

中学数学就是中学时期要学的数学。能够按照一定的程序与步骤进行运算、作图或画图、进行简单的推理。这是初中数学教学大纲中明确规定的，概括起来讲就是：能算、会画、可推理。

当前我国正在掀起一场数学教育改革的高潮，其核心是课程改革。为了适应新世纪的数学教育现代化的改革，教育部制定了《全日制义务教育国家数学课程标准（实验稿）》。新课程标准对中学数学的课程目标作了全新的概括，充分体现了数学教育发展的新要求。

现在我们的教育不再是应试教育，而是要向素质教育转化，应试教育摧

残了学生身心健康，也阻碍了中学数学课程深化改革的进程.随着各项教育措施的改革，为了适应未来社会对人才的需求，在我们的中小学课堂教学过程中，学生学习的内容应该是现代科学技术所必须的基本知识。在中小学的数学教学中，要注意结合渗透现代数学的基本内容和思想。那么什么是现代数学呢？我们的中小学课堂教学过程要渗透哪些现代数学的内容和思想呢？

传统数学与现代数学的对立,贯穿于数学教育改革的始终,现代化进程的

加快,更突出了二者的矛盾。

现代数学事相对于传统数学而言的，它有区别于传统数学的几个特征：

（1）研究对象大大扩充，研究对象的任意抽象关系，研究集合，研究结构（2）数学思维进一步发展，抽象程度越来越高（3）数学方法发生根本变革，公理化方法形成，并有主要位臵；（3）应用领域大大扩充。目前在我们的中学教材中增添的现代数学内容主要就是以下几种：集合论、数理统计、微积分、概率统计、空间向量、算法语言和简单程序设计。

前苏联著名数学教育家斯托利亚尔认为：与其说是教现代数学，不如说是现代的数学教学。即把中学数学建立在现代数学的思想基础上，用现代数学的观点、思想、方法、风格和语言进行中学数学教学，使学生的思维向现代数学的思维方向发展。

例如学生在学习等差数列和等比数列过程中，可以运用近世代数中的同构思想指导等比数列的教学。由于等差数列中的‚-‛、‚+‛及等比数列中‚÷‛、‚ *‛，可以统一看作代数运算及其逆运算，这样等比数列和等差数列本质上是同构的。于是，在等比数列的教学中，只要运用类比手法通过对等差数列的分析，就可以猜测等比数列相应的性质，然后再进行验证。 这就起到了分化教学难点，把握等差数列与等比数列之间内在本质的作用。空间向量在解决立体几何问题犹如一把，它把立体几何问题加以量化，从而降低了思维难度，增加了可操作性，使空间向量在角和距离的处理上有着独特的优势，它最大限度的避开了思维的高强度转换，避开了各种辅助线添加的难处，代之以空间向量的计算，有利于我们较好的解决问题，不再那么繁琐，被众多师生所青睐。

现代数学以中学数学为基础，并应用于中学数学中，在数学思想上，结合现代数学思想，提高学生的数学思维，从根本上脱离题海战术，真正意义上促进素质教育，完成新课程标准的要求。