数理方程常规例题I

(1-20题)

一、数学模型例题

例1． 密度为均匀柔软的细弦线x=0端固定，垂直悬挂，在重力作用下，横向拉它一下，使之作微小的横振动。试导出振动方程。

解：考虑垂直悬挂的细弦线上一段微元ds，该微元在坐标轴上投影为区间[x，x+dx]，在微元的上端点处有张力：

T1g(Lx)，

在下端点处有张力：

O T1 T2g(Lxdx)

考虑张力在位移方向的分解，应用牛顿第三定律，有

T2sin2T1sin1mutt 由于细弦作微小振动，所以有近似

x x+dx Llx u

T2sin2tan2ux(xdx) sin1tan1ux(x)

代入牛顿第三定律的表达式，有

g(Lxdx)ux(xdx,t)g(Lx)ux(x,t)dsutt

上式两端同除以ds，得

g由于dsdx，而

(L(xdx))ux(xdx)(Lx)ux(x)utt

ds(L(xdx))ux(xdx)(Lx)ux(x)[(Lx)ux(x)]x

dx所以，细弦振动的方程为

g[(Lx)ux]xutt

例2． 长为L密度为底半径为R的均匀圆锥杆（轴线水平）作纵振动，锥顶点固定在x=0处。导出此杆的振动方程。（需要包括假设在内的具体推导） 解：设均匀圆锥杆作纵振动时位移函数为

u x O x+dx R Lx u(x，t )

则在点x处，弹力与相对伸长量成正比，即

P(x,t)Yux(x,t) 其中，Y为杨氏模量。在截面上张力为

lT(x, t ) = S(x) P(x, t )

这里，S(x)为x处圆锥截面积。考虑圆锥杆上对应于区间[x，x+dx]处的微元（如右图所示）。应用牛顿第二定律，得

T(xdx,t)T(x,t)由于圆锥截面积

1[(xdx)S(xdx)xS(x)]utt(x,t) 3S(x)(R2x) L微元（圆台）体积

11R[(xdx)S(xdx)xS(x)]()2(3x2dx3xdx2dx3) 33L所以

R1RY()2[(xdx)2ux(xdx,t)x2ux(x,t)]()2(3x2dx3xdx2dx3)utt(x,t)

L3L两端除dx，并取极限，得

Y[x2ux(x,t)]xx2utt(x,t)

记a2Y/，则有方程

utta2(uxx2ux) x二、二阶偏微分方程化简与求通解

只考虑未知函数是两个自变量情形，即u(x,y)。考虑二阶偏微分方程只有二阶导数部分

a11uxx2a12uxya22uyy0

题目分常系数和变系数两类，前者简单。利用系数构造一元二次方程

a1122a12a220

待解出根1和2后，再求出两个一阶常微分方程y1和y2的通解。如果是方程中

系数为常系数，则两个根也为常数，只需积分一次即可得通解。如果方程中系数为变系数，则两个根不再是常数，需要用解一阶常微分方程的手段来求通解。

例3．判别二阶微分方程 uxx10uxy9uyy0 的类型并求通解。 解：利用判别式

2a12a11a222590

所以方程是双曲型方程。构造辅助方程

21090

解得：19，21，由

dydy9，1 dxdx积分，得

y9xC1，yxC2

由此构造变换

9xy，xy

显然，变换矩阵为

xy91Q y11x且

1514[91]1[91]4320

59将变换表达式代入方程，化简得u0，对其积分，得

uf()g()

其中，f,g是两个任意一元函数（二阶连续可微）。代回原来变量，得原方程的通解

uf(9xy)g(xy)

例4．判别二阶微分方程y2uxx6xyuxy8x2uyy0的类型并求通解。 解：利用判别式

2a12a11a2236x2y28x2y20

所以方程是双曲型方程。构造辅助方程

y226xy8x20

分解因式，得

(y2x)(y4x)0

所以

dydy2x/y，4x/y dxdx解常微分方程得

22y2xC1 22y4xC2得变换

222xy， 224xyxx4x8x

2y2yyy所以

2xy2y23xy8x22a124x2y[4x2y]8xy 222y3xy8x8xy得标准方程，8x2y2u0，即u0 方程的通解为：uf()g()

f,g是两个任意一元函数（二阶连续可微）。代回原来变量，得通解

u(x,y)f(2x2y2)g(4x2y2)

例5．化简微方程并求方程通解。

sin2yuxx6cosxsinyuxy8cos2xuyy0

解：一元二次方程为，(sin2y)26(cosxsiny)8cos2x0 分解因式：[(siny)2cosx][(siny)4cosx]0。

得：12cosx/siny，24cosx/siny。将根换为dy/dx，得两个一阶微分方程

dydy2cosx,siny4cosx dxdxcosy2sinxC1解常微分方程得通解

cosy4sinxC22sinxcosyxy2cosxsiny构造变换：， 4cosxsiny4sinxcosyxy22222222所以，a128sinycosx18cosxsiny8cosxsiny2cosxsiny 得标准方程， u0

方程的通解为：uf()g()f(2sinxcosy)g(4sinxcosy)

siny

二、分离变量法 1．固有值问题

（1）第一类边界条件固有值问题

XX0,x(0,L) X(0)0,X(L)0固有值和固有函数

n(n2n)，Xn(x)sinx，（n=1，2，……） LL（2）第二类边界条的固有值问题

XX0,x(0,L) X(0)0,X(L)0固有值和固有函数

n(3．第三种边界条的固有值问题

n2n)，Xn(x)cosx LLXX0,x(0,L) X(0)0,X(L)0固有值和固有函数

n(n1/22n1/2)，Xn(x)cos(x) LL4．第四种边界条的固有值问题

XX0,x(0,L) X(0)0,X(L)0固有值和固有函数

n(n1/22n1/2)，Xn(x)sin(x) LL2xyxyy0 yx10,yxe0例6．求解欧拉方程固有值问题

t)，即tlnx，未知函数的导数为 解：作变换：xexp(dydydt1dy dxdtdxxdtd2y1dy1ddy1d2ydy2()2(2)

dtdx2xdtxdxdtxdx代入微分方程，得

d2ydydy(2)y0

dtdtdtd2y方程化简为：2y0，对应边界条件：yt00,yt10。

dt所以固有值和固有函数为：n(n)2，ysinnt 代回原自变量，固有函数为：ysin(nlnx)

2．双曲型方程分离变量法

utta2uxx,(0xL,t0) ux00,uxL0ut0(x),utt0(x)满足边界条件和初值条件的解为

u(x,t)Bn(t)sinn1nx L其中系数是t的函数：Bn(t)CncosnanatDnsint。而 LL2Ln2LnCn()sind，Dn()sind，（n=1，2，……） 00LLnaL例7．求解双曲型方程初边值问题

utta2uxx,x(0,),t(0,) ux00,ux0ut0sinx,utt00解：对应的固有值和固有函数分别为：nn2，Xn(x)sinnx，（n=1，2，……）。

满足边界条件的解为

u(x,t)[CncosantDnsinant]sinnx

n1利用初值条件，得

Cn1nsinnxsinx，anDnsinnx0

n1对比等式两端，得

C1=1，Cn =0，（n=2，3，……）；Dn = 0，（n=1，2，……）

所以初边值问题的解为

u(x,t)cosatsinx

注记：如果用系数计算公式

2L2LCnsin()sin(n)d，Dn0sin(n)d，（n=1，2，……）

L0na0会得出同样结论。

例8．用分离变量法求解双曲型方程初边值问题

uttuxx,0xL,t0 ux00,uxL0ut0x(L.x),utt00解：由边界条件知固有值和固有函数分别为

n(满足边界条件的解为

n2n)，Xn(x)sinx，（n=1，2，……） LLu(x,t)[Cncosn1nnntDnsint]sinx LLL利用初值条件，得

nn，Csinxx(Lx)nDsinx0 nnLLLn0n0为计算系数，首先令(x)x(Lx)，显然(0)0,(L)0，且

(x)L2x，(x)2

所以

2Ln2n2Cn(x)sinxdx(x)cosxL0LnL0n2nLLLL0(x)cosLnxdx Lnxdx Ln2Ln2L(x)cosxdx(x)sinx0LL0(n)2(n)20(x)sin4L(n)2n4L2nsinxdxcosx 3LL0(n)L4L2（n=0，1，……） [cos(n)1]，3(n)（n=0，1，……） Dn0，所以初边值问题的解为

u(x,t)4L23cos(n)1nncostcosx 3LLnn02．抛物型方程分离变量法

例9．求解抛物型方程初边值问题

uta2uxx,x(0,),t(0,) ux00,ux0ut0sinx解：对应的固有值和固有函数分别为：nn2，Xn(x)sinnx，（n=1，2，……）。

满足边界条件的解为

u(x,t)Cnexp(a2n2t)sinnx

n1利用初值条件，得

Cn1nsinnxsinx

对比等式两端，得

C1=1，Cn =0，（n=2，3，……）

所以初边值问题的解为

u(x,t)exp(a2t)sinx

例10．分离变量法求解热传导问题

utuxx,0xL,t0 uxx00,uxxL0ut0(xL./2)解：注意边界条件，对应的固有值和固有函数分别为

n(满足边界条件的解为

n2n)，Xncosx，（n =0，1，2，…… ） LLC0nnu(x,t)Cnexp[()2t]cosx

2n0LL利用初始条件，得

C0nCncosx(xL/2) 2n0L利用计算系数公式，注意丢那克函数的积分性质得

2Ln2n(xL/2)cosxdxcos，（n =0，1，2，…… ） L0LL2当n为奇数时系数是零；当n为偶数时

22C2kcosk(1)k

LLCn所以，原问题的解

122k22ku(x,t)(1)kexp[()t]cosx

LLk1LL

3．椭圆型方程分离变量法

例11．用分离变量法求解拉普拉斯方程边值问题

uxxuyy0,0x,y1u(0,y)u(x,0)u(x,1)0 u(1,y)sin(y)解：令u(x，y)=X(x)·Y(y)，代入拉普拉斯方程，分离变量得

XY XY得两个常微分方程：

XX0，YY0

由边界条件可得，Y(0)=0，Y(1)=0，与第二个方程联立，得固有值问题

Y(y)Y(y)0,y(0,1) Y(0)0,Y(1)0求解，得固有值和固有函数

n22，Yn(y)sin(ny)，( n = 1，2，……)

将固有值代入第一个方程中并求解，得

Xn(x)Anexp(nx)Bnexp(nx) ( n = 1，2，……)

从而有基本解

un(x,y)[Anexp(nx)Bnexp(nx)]sin(ny)

所以有级数形式解

u(x,y)[Anexp(nx)Bnexp(nx)]sin(ny)

n1利用边界条件 u(0，y)=0，u(1，y)= sin  y 得

(An1nnn1nBn)sin(ny)0

nn(AeBe由此得

)sin(ny)siny

An = Bn =0 ( n≠1) A1 +B1 = 0，A1 e +B1 e- =1

解得

A1B1sinh

所以边值问题的解如下

u(x,y)sinh(x)sin(y)

sin()三、行波法

1．行波法求解无界区域的双曲型方程初值问题

2uttauxx,x,t0 u(x),u(x)tt0t0的达朗贝尔公式

u(x,t)11xat[(xat)(xat)]()d xat22a例12．求解双曲型方程初值问题

2uauxx,x,t0tt ut0sinx,utt01解：应用达朗贝尔公式

11xatu(x,t)[sin(xat)sin(xat)]d

22axat整理，得

u(x,t)sinxcosatt

例13．求解初值问题：

uttuxxsinx(x,t0) xu|t0sinx,ut|t0xe解：利用叠加原理，令 u(x，t) = v(x，t) + w(x)。代入原方程，得

vtt = [vxx + wxx] + sin x

故取 w(x) = sin x，得v(x，t )满足的初值问题

vttvxxv(x,0)0 xvt(x,0)xe由达朗贝尔公式，得

v(x,t)1xt1xtxtxtxted[(xt)e(xt)eee] xt22所以初值问题的解为

1[(xt1)ext(xt1)ext] 21[(xt1)ext(xt1)ext]sinx 2例14．求解非齐次波动方程初值问题

u(x,t)uttuxx(xt)(x,t0) 2u|t0x,ut|t0sinx解：利用叠加原理，令 u(x，t) = v(x，t) + w(x，t)。取

w(x,t)得v(x，t )满足的初值问题

121t(xt) 23vttvxx(x,t0) 2vx,vsinxtt0t0由达朗贝尔公式，得

v(x,t)11xt[(xt)2(xt)2]sind 22xt1x2t2[cos(xt)cos(xt)]x2t2sinxsint

2所以原初值问题的解为

t2tu(x,t)(x)x2t2sinxsint

23

例15．求解初值问题

u2uxy3uyy0(x,y0)xxuy03x2,uy0y0dy，则对应的特征方程为： dx2230

解得11,23，所以

dydy1，3 dxdx积分得：y = – x + C1，y = 3x + C2，构造变换

xy 3xy将原方程化为：u0，得通解：u(,)f1()f2()，即

解：记u(x,y)f1(xy)f2(3xy)

由初始条件，得

f1(x)f2(3x)3x2，f1(x)f2(3x)0

将第二式积分，联立第一式，得

323(xC)，f2(3x)(3x2C)

4433122代换，得：f1(xy)[(xy)C]，f2(3xy)[(3xy)C]

443f1(x)原方程通解为

u(x,y)31(xy)2(3xy)2 442．行波法求解半无界区域的双曲型方程初边值问题

例16．求解半无界弦定解问题

utta2uxx(0x,t0) ut0cosx,utt0sinxuxx00解：对初始条件函数做偶延拓

x0cosx,x0sinx,，(x) (x)cosx,x0sinx,x0应用达朗贝尔公式，当x >0，且 x > at 时，有

11xatu(x,t)[cos(xat)cos(xat)]sind

22axat1[cos(xat)cos(xat)] cosxcosat2a1cosxcosatsinxsinat

a当x >0，且 x < at 时，有

011xatu(x,t)[cos(xat)cos(xat)][sindsind

xat22a01cosxcosat[cos(xat)11cos(xat)]

2a1cosxcosat(1cosxcosat)

a四、付里叶变换方法 重要积分公式

证明：令

exp(x2)dx/

Iexp(x2)dx

则有重积分

I2做极坐标变换，有

22exp[(x2y2)]dxdy

Idrexp(r)dr2rexp(r2)dr/

0002所以



例17．求矩形波函数f(x)解：应用付里叶正变换，有

exp(x2)dx/

1,|x|1的付里叶变换。

0,|x|1ˆ()1ejxdx1cosxdx2sin f11ˆ()2sin。 所以矩形波的付里叶变换为：f例18．求函数f(x)cosax的付里叶变换 解：为了方便积分，构造函数

2g(x)cosax2isinax2exp(iax2)

应用付里叶正变换，有

F[g(x)]exp(iax)exp(ix)dxexp[i(ax2x)]dx

2将二次多项式配方

axxa(x利用重要积分公式，得

22a)224a

所以

exp[ia(x2a)2]dx/ia/aexp(i/4)

F[g(x)]exp(i提取上式右端的实部，得

24a)exp[ia(x2a)]dxexp[i(224a4)]/a

F[f(x)]/acos(例19．

例20． 用付里叶变换法求解热传导方程初值问题

2a4a)

2utauxx,x,t0 ut0(x)解：记U(,t)F[u(x,t)]。由于狄拉克函数的付里叶变换为1，对方程和初始条件做付里叶变换，得一阶常微分方程初值问题

22UtaU,,t0 Ut01求解得

U(,t)exp(a22t)

对其做付里叶逆变换（利用上题结论），得热传导方程初值问题的解

x2u(x,t)exp(2)

4at2at1