第２８卷第ｌ期 佛山科学技术学院学报（自然科学版） ＶＯ１．２８ ＮＯ．】 ２０１０年１月 Ｊｏｕｒｎａ１ ｏｆ Ｆｏｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｊａｎ．２０１０ 文章编号：１００８一Ｏ１ ７１（２０１０）０１—００２１—０４ 关于乘积和的两个恒等式 杨 勇 （佛山科学技术学院信息科学与数学系．广东佛山５２８０００） 摘要：利用发生函数方法给出关于乘积和的一个恒等式的证明．并利用同样的方法。得到了关于乘积和的另一 个恒等式。 关键词：发生函数：乘积和：恒等式 中图分类号：Ｏ１ ７ 文献标志码：Ａ 设ｋ≥１是～整数。 是定义在积集Ｅ：一Ｅ ×Ｅ ×…ｘＥ （通常Ｅ 、Ｅ孙…、Ｅ 是自然数集）中所有点 ｆ：一（ｆ ， ，…．ｃ ）上的实值函数，ＦＣＥ是有限集。关于厂在ｒ的每个点ｆ上的值的有限和 ／（ｆ）的 ｆ∈厂 恒等式问题，曾引起许多数学研究者的关注，参见文献［１—３］。发生函数方法是现代离散数学领域中的重 要方法，它能以某种统一的程序方式处理和解决众多不同类型的问题ｌＬ４ 。 设ｆ 、ｒ：、…、 为满足ｆ 十ｆ：＋…十ｆ 一 的非负整数， 、ｋ为正整数，ｂ 、ｂ：、…、ｂ 为互不相等的ｋ个 非零复常数。寻找关于乘积和 ＞： Ｃ１ｃ …ｃ 的恒等式曾引起了许多学者的兴趣。事实上，当ｋ一２ 】＋ ２＋…＋ 时，通过简单变换，不难得到如下恒等式 ∑ ：一∑ … ）一 ∑Ｃｌ一∑ｃ 一 ． 一 一 ． １＋ ２ ０≤ ｌ≤＾ ０≤ 】≤ ０≤‘１≤ｎ ‘一 当七≥３呢？文献［５］给出了关于乘积和 ｃ ｃ：…ｃ 的恒等式，但未给出它的证明。本文将利用发 ｌ－｝－ｃ２－１－…＋ 女 生函数方法给出它的证明，并利用同样的方法，得到了一个关于乘积和 …坶的恒等式。 １预备知识 记 （ ）为函数 （ ）的 阶导数，记（ｚ） 为 （ 一１）…（ 一五十１）。利用对｛ｇｇ＂Ｉ＜１成立的几何级 数求和公式：∑ 一 ≥０ ～ ，容易得到下面的引理１和２。 引理１ 设ｚ是实数，且Ｉ Ｉ＜１，则∑ｎｔ 一 。 ｗ≥０ ‘ 。 引理２设６、ｚ．是复数。且１次ｉ＜１，则∑ｂ≥０ 一 兰 。… 引理３设 是复数， ≥２是正整数，ｂ 、ｂ。、…、ｂ 是互不相等的 个非零复常数，则有 收稿日期：２００９—１０－３０ 作者简介：杨勇（１９８０一）。男，海南陵水人，佛山科学技术学院助教。 ２２ 佛山科学技术学院学报（自然科学版） １ 一一 一——第２８卷 一 ‘一 （１） Ⅱ（１～６， ） ｉ ！ （１—６ ）＿王Ｉ（６ 一６ ） ｉ １、Ｊ≠ ——证明 采用数学归纳法。当 一２时，不难验证 ｂ． 中至 少有｛ Ｉ一一６】 ）（１～ｂ２。） （１——ｂｌ２）（６２——ｂ１） （１一ｈｅ。）（ １～一６：）’ 故式ｒ】）成立。 假设当”一是一１时，式（１）成立，下面证明当”一矗时，式（１）也成立。由于 （一１） 。 。 ～ 一一 个等１ ｌ ｆ（一１）ｋ－２ 一 ∑～ ～ 于Ｏ ． 一 ｉ——一 （１一ｂｋｚ）（１一ｂ，ｚ） ］＿—— Ⅱ（】一６ ２） １＿ｂｋｚ ｉ＝１（１ 一 ｉ＝ｉ 一 卜Ⅱ（６ 一６ ） ｉ＝１．Ｊ； （一１） 。 一。 —ｂ 一一 ・——Ｉｂ ｌ１＝广一一—— Ｉ— （１一 ２）（ｂ 一ｂ ） Ｌ１一ｂ ）（ 一｛Ⅱ（ 一ｂ１）ｂ ） 一 Ｊ １． 手 ㈠Ⅱ一 １ ｋ －－‘． ． 、 （——１）！二 ～ ６ 一。：竺： 二（ 竺： １ ｎ＿ｂｋ￣ ｉ＝１（卜一 ｂ￣） ｋ－Ｉ ’（６ 一６ ） 一 （１—６， ）Ⅱ（６ 一ｂ１） 』：１，Ｊ｝ Ｌ １一一ｂ （１—６ ）Ⅱ（６ 一６，） 』：１－－； ｉ ｋ一１ １ （一１） ～ １一ｂｋｚ 下 ————一 二（ 二 ’Ⅱ（６ ～ｂｋ） （１—６ ２）Ⅱ（６ 一ｂｉ） ｉ＝】 — ｉ １ （１—６， ）ＩＩ（６ 一ｂｌ ｌ＝ｉ．ｉ毕 故式（１）成立。证毕。 ２ 主要结果 定理１ ｚ 设ｆ 、ｃ。、…、 为满足ｆ ＋ｆ。十…＋ｆ ＝ 的非负整数， 、ｋ为正整数，则有 （ ：一１ ）（ 。一２。）…（ ～（ｋ一１）：） （２ｋ一１）！ 。 （２） 证明 （１）设 ＜志。对于任意一个非负整数组ｃ 、ｆ。、…、ｆ ，由约束条件ｆ ＋ｆ。＋…＋ｃ 一 可知ｆ 、 中恰好含有因式（ｎ２－／，／２）一０ 所以丛 二 善 二 二 一ｏ。因此，式（２）成立。 不难验证， ∑ｍｔ ｊ 展开后ｆ 的系数正是ａ 。因此 ｍ≥０ （ｆ）一∑ ∑删 ≥＾ ７ ≥０ 由引理】．得 （ｆ）一 ∑ｒｎｔ ｊ 一 ｍ≥０ 由莱布尼茨公式，得 （ 一 ∽（ 厂 ＝：： 于是∑ｆ 一 Ｏ 又 因为理 一 一一 一第１期 杨 勇：关于乘积和的两个恒等式 ２３ ∑Ａ－ｆ？１（点）ｉｔ￣ｋ－ｉ）（２志＋ 一 一１） 壹 从而 ， ｏ＼１／ （２七十 一ｉ一 一 （１一ｔ） ｔ —— （。）一（ ）（ ） （２志＋ 一点一１） 一 ：＝＝ ｋ ！（，２一ｋ ）！ 。 ・ （２ｋ 一１ ）！ 一 ！（ ＋ｋ一１）！ （，２一ｋ）！（２ｋ一１）！’ ６ ６ 十 ∑一 于是 一 ，“ 】：＝一’（Ｏ） ！ （ ＋ｋ一１）！ ＝＝ （ ——ｋ）！（２ｋ一１）！一 铅 一 （Ｔ／＋ｋ一１）（ ＋ｋ一２）…（ 一ｋ＋２）（ 一ｋ＋１） （２ｋ １）！ （ 。一１ ）（ 。一２。）…（ 一（ｋ一１））。 （２ｋ一１）！ 。 因此，式（２）成立。证毕。 定理２设ｆ 、ｆ “、 为满足ｆ 十ｆ：＋…＋ ： 的非负整数，，２、ｋ为正整数，ｂ１、ｂ：、…、ｂ 为互不相 等的ｋ个非零复常数，则有 ｆｂ ， ｋ一１， 厶 壹 ，：１・Ｊ≠Ｉ ， ≥２ ，／ ｏ （３） Ⅱ（ 一６，） 证明 （１）设ｋ＝ｌ。显然 ∑ ６ …铅一 。 １十ｆ２＋…十ｃ女 （２）设志≥２。令 一 ∑ ６ …铅，考虑ｎ 的发生函数 （。）一∑ｎ ， 为复数。不难验 １＋ ２＋…＋ ＝ 月≥０ 证，Ⅱ （∑ｂＴｚ ）展开后 的系数正是ｎ 。因此， ｉ １ ≥Ｏ （ ）＝∑ｎ 。 一Ⅱ （∑ ）， ≥０ ｉ １ ｍ；≥０ 由引理２，得 （ ）一Ⅱ（∑ｂＴｚ ）一 Ⅱ（１—６ ２） ｉ １ ｍ≥０ １ 其中ｍａｘ｛Ｉｂｌ ｌ，Ｉｂ２ｚｌ，…，ｉ ｆ｝＜１。 由引理３，得 （２）一 二 ：（： ： …Ｊ＝１．Ｊ≠ Ⅱ（１—６， ） 对 （２）求 阶导数，得 （１—６ ２）Ⅱ（６ 一６ ） 二 ：： ：＝ 一一 （ｚ）一∑ （（１一 ６ ２）刑Ⅱ（ｂｊ一６，） ， 从而 ２４ 佛山科学技术学院学报（自然科学版） （一１）ｋ－ ６： 一 ！ ——— ————————～第２８卷 （。）一∑ ，：１ ’ Ｊ＝１．， ｉ Ⅱ（６，一６ ） 于是 一ｌ一 一刍 （～１） 一 ６ 一 ０ 一 ⅡＬ６ 一ｂｉ） Ｊ；１，Ｊ｛ 因此，式（３）成立。证毕。 参考文献： ［１］ＺＨＡＮＧ Ｗ．Ｓｏｍｅ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ｎｕｍｂｅｒｓ ＥＪ］．Ｔｈｅ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ Ｑｕａｒｔｅｒｌｙ，１９９７，３５（３）：２２５— ２２９． ２］ＺＨＡＯ Ｆ．ＷＡＮＧ Ｔ．Ｓｏｍｅ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ ａｎｄ Ｌｕｃａｓ ｎｕｍｂｅｒｓ［Ｊ３．Ａｒｓ Ｃｏｍｂｉｎａｔｏ— ｒｉａ。２００４．７２：３１１—３１８． ｒ３］朱伟义．杜风英．张跃平．有关Ｌｕｃａｓ数一个组合的恒等式［ｊ］．河南科学．２００９．２７（８）：８９３—８９５． ［４］ＨＥＲＢＥＲＴ Ｓ Ｗ．发生函数论［Ｍ］．王天明．译．北京：清华大学出版社，２００３． ［５］ＬＯＵＩＳ Ｃ．高等组合学［Ｍ］．谭明术．译．大连：大连理工大学出版社．１９９１． 【责任编辑：王桂珍】 Ｔｗｏ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｆｏｒ ｓｕｍｓ ｏｆ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ＹＡＮＧ Ｙｏｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｆｏｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｏｓｈａｎ ５２８０００．Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．ｔｈｅ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｏｎｅ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｏｒ ｓｕｍｓ ｏｆ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｗａｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｏｒ ｓｕｍｓ ｏｆ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｗａｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｕｍｓ ｏｆ ｐｒｏｄｕｃｔｓ；ｉｄｅｎｔｉｔｙ