物理与工程Ｖｏ１．１８ Ｎｏ．５ ２００８ 氢原子径向波函数的“初等”解法 陈 钢 （苏州大学物理科学与技术学院，江苏苏州 ２１５００６） （收稿日期：２００８—０５—１４） 摘 要 用构造氢原子径向波函数的方法，通过解薛定谔方程给出氢原子径向波函数幂多项式 的系数． 关键词 氢原子径向波函数；薛定谔方程；幂多项式 ＳＥＭＩ—ＣＬＡＳＳＩＣＡＬ ＭＥＴＨＯＤ ＴＯ ＳＯＬＶＥ ＴＨＥ ＲＡＤＩＡＬ ＷＡＶＥ ＦＵＮＣＴＩＯＮ ＦｏＲ ＨＹＤＲｏＧＥＮ ＡＴｏＭ Ｃｈｅｎ Ｇａｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．Ｓｕｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｕｚｈｏｕ，Ｊｉａｎｇｓｕ ２１ ５００６） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｔｒｕｃｔｕｒｉｎｇ ｒａｄｉａｌ ｗａｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｈｙｄｒｏｇｅｎ ａｔｏｍ，ｗｅ ｈａｖｅ ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ—ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｏｆ ｔｈｅ ｒａｄｉａｌ ｗａｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｈｙｄｒｏｇｅｎ ａｔｏｍ ｂｙ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ＳｃｈｒＯｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ ｈｙｄｒｏｇｅｎ ａｔｏｍ ｒａｄｉａｌ ｗａｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｐｏｗｅｒ—ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ 氢原子是量子力学中的典型问题，氢原子问 旦ｆ２ ＋ １一 ＿尺一ＥＲ （２）题是初学量子力学的人都需要学习和了解的基本 ｒｎ＼ｄｒ ’ｒ ｄ，．／ｒ… ～ 内容，在任何量子力学著作中都有标准解法．但是 其特解Ｒ （ｒ）一ｂｅ 为基态波函数．当氢原子处 对库仑场问题解出的缔合勒盖尔多项式不容易被 在球对称的激发态时，波函数的ｅ ａｔ，仍保持不变； 初学量子力学的人所理解，用初等方法求解径向 根据束缚态波函数特点（如无限深势阱），基态波 波函数对理解氢原子有一定的意义． 函数没有节点，第一激发态有１个节点，第二激发 态有２个节点等．氢原子球对称束缚态也具有与 氢原子具有球对称势场一 ，其薛定谔方 此相同的基本特点，由束缚态的这一基本特征考 程为 虑径向波函数由ｅ…与ｒ的幂多项式乘积构成，多 项式的次数就是节点数．由薛定谔方程的线性和 ｈ２ ｌ１ ｒ ３ｒ）十 １ ３（ｓｉｎ ）＋ 球对称特点，氢原子径向波函数形式为 一 ㈩ Ｒ ＝Ａ （＞：ｂｉｒ ）ｅ一。 （３） 其中，Ａ 为波函数归一化因子．对波函数Ｒ（ｒ）求 氢原子的球对称势场使波函数可以分离变量，波 一阶和二阶导数（为方便起见，以下推导均将 函数 一 （ｒ，０， ）一Ｒ（ｒ）＠（ ） （ ）． Ｒ （ｒ）记为Ｒ（ｒ）），得 氢原子的量子态可分为与角函数无关的球对 ｄＲ一（ ｎ １ ｎ－－１ 一称态和与角函数有关的非球对称态．当氢原子处 ａ ）ｅ一 在与角函数无关的能量态，其波函数也与角函数 一∑／ｂ ｅ…一ａＲ 无关，是球对称的，有 一 一０，薛定Ｎ－方程简化 ｉ一０ 口口 口（口 一 （ ｎ １ 。ｒａ塑为关于径向波函数Ｒ（ｒ）的方程 ｄｒ 物理与工程Ｖｏ１．１８ Ｎｏ．５ ２００８ （∑ｅ一）一 ｉ＝Ｏ 。（莹ｉｂｉｒｉ－１ ｅ－￣）＋ａ ２Ｒ 将磐和 代人薛定谔方程式（２）解得 一 ［蒌 一 厂 一ｚｎ ｎ－Ｉ ｉｂｉｒｉ－Ｉ￣－ ａａ。。霎６∑ ＋吾∑ 一ｉ ＝ ０ ｒ ＋ 蓑 ｒ，＝ ｏ ｌ—— ∑ Ｚａ＿霎ｉ ＝ Ｊｏ ６ ｒ ］ —— （等＋Ｅ ） ６『ｒ一０ 整理得 ”ｌ ｒ ∑ｌ ｉ（ｉ一１）ｂ 一２ａ（ｉ一１）ｂ ｒ】＋ ＋２ ２ ＋ ＋ 。 一 （ｎ－－１，－４－２ａ－－ 一 ［ ＋［ ＝。 上式薛定谔方程对任意ｒ都成立，ｒ，ｌ不同幂的系 数必为零，有 ］６ｌ一［２ａｉ－ ］６ｒ１＋ ＋ ｂ 一。 ㈤ 一 一 ［抖 ］ ＝。 ㈣ ［ ＋ａ ２］ 一。 ㈣ 由式（５）和式（６）得 口一 。一 ： （７）¨ ｎ 舰 ０ 其中ｎ。一 为玻尔半径． ，＇＇ｐ— Ｅ 一 ｚ－一 １ 一 １ ㈣ 并得到关于ｂ 的递推关系 一。，…一 （９） 式（８）给出与主量子数相关的Ｅ的确定值，主量 子数 确定后，由式（７）和式（９）就可以确定ａ和 ｂ 从而确定波函数Ｒ （ｒ）．不难验证，由式（７）和 式（９）给出的氢原子径向波函数Ｒ （ｒ），与缔合勒 盖尔多项式径向函数的结果完全相同．式（８）正是 由玻尔理论给出的能级，它是量子力学中氢原子 的球对称能级． 一０给出波函数的节点和峰值 所在位置． 用这种方法求解氢原子径向波函数，比较突 出物理思想，突出量子束缚态的基本特征，而解薛 定谔方程的过程只涉及求导数，减少了初学者的 数学困难． 参 考 文 献 Ｅｌｉ Ｍ．卡普路斯，Ｒ．Ｎ．波特．原子与分子．北京：科学出版社， ［２］杨福家．原子物理学．北京：高等教育出版社。２００３