2017年浙江省杭州市中考数学模拟试卷(答案解析版)

浙江省杭州市2017年中考数学模拟试卷（一）

一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）每小题有四个答案，只有一个是正确的，请将正确的答案选出来！ 1．下列计算正确的是（ ）

A． a2+a3=a5 B． （a4）3=a12 C． a2﹣a3=a6 D． a6÷a2=a3

2．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（ ） A． B． C． D．

3．在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（ ） A． 1颗 B． 2颗 C． 3颗 D． 4颗

4．若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2

+4x﹣k=0的根的情况是（ ） A． 没有实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 有两个不相等的实数根 D． 无法判断 5．（1997•南京）一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，这个圆柱的母线长l与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系为（ ）

A． 正比例函数 B． 反比例函数 C． 一次函数 D． 二次函数

6．如图，几个完全相同的小正方体组成一个几何体，这个几何体的三视图中面积最大的是（ ）

A． 主视图 B． 左视图

C． 俯视图 D． 主视图和左视图

7．如图所示，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． 10﹣π B． 8﹣π C． 12﹣π D． 6﹣π

8．如图所示，OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，若OA2

﹣AB2

=18，则k的值为（ ）

A． 12 B． 9 C． 8 D． 6

9．若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ） A． 90° B． 120° C． 150° D． 180°

10．定义运算，比如2⊗3=+=，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2⨂（﹣3）=；②此运算中的字母均不能取零；③a⊗b=b⊗a；④a⊗（b+c）=a⊗c+b⊗c，其中正确是（ ） A． ①②④ B． ①②③ C． ②③④ D． ①③④

二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题应将最简洁最正确的答案填在空格内！ 11．如果a﹣2b=6，则4b﹣2a= ．

12．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为 元．

13．已知一组数据﹣3，x，﹣2，3，1，6的中位数为1，则其方差为 ．

14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为 cm．

15．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= ．

16．“如果二次函数y=ax2

+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2

+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是 ．

三．解答题（共7题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的过程呈现出来！

17．计算：（cos45°﹣sin30°）+（4﹣4π）0

+（）﹣1

．

18．如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，求旗杆的高度？

19．节能灯根据使用寿命分成优等品、正品和次品三个等级，其中使用寿命大于或等于8000小时的节能灯是优等品，使用寿命小于6000小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品．质检部门对某批次的一种节能灯（共200个）的使用寿命进行追踪调查，并将结果整理成此表．

（1）根据分布表中的数据，在答题卡上写出a，b，c的值；

某人从这200个节能灯中随机购买1个，求这种节能灯恰好不是次品的概率． 寿命（小时） 频数 频率 4000≤t≤5000 10 0.05 5000≤t＜6000 20 a 6000≤t＜7000 80 0.40 7000≤t＜8000 b 0.15 8000≤t＜9000 60 c 合计 200 1

20．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，直线AB与反比例函数图象交与另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D． （1）求反比例函数的解析式；

求tan∠DAC的值及直线AC的解析式．

21．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台． （1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 22．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG， （1）求证：直线EP为⊙O的切线；

点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2

=BF•BO．试证明BG=PG； （3）在满足的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=

．求弦CD的长．

23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2

+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD． （1）求该抛物线的解析式；

设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．

浙江省杭州市2017年中考数学模拟试卷（一）参与试题解析

一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）每小题有四个答案，只有一个是正确的，请将正确的答案选出来！ 1．下列计算正确的是（ ）

A． a2+a3=a5 B． （a4）3=a12 C． a2﹣a3=a6 D． a6÷a2=a3

考点： 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．

分析： 分别进行同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方等运算，然后选择正确选项． 解答： 解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、（a4）3=a12，计算正确，故本选项正确；

C、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项错误； D、a6÷a2=a4，计算错误，故本选项错误． 故选B．

点评： 本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．

2．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（ ）

A． B． C． D．

考点： 特殊角的三角函数值；三角形内角和定理． 专题： 计算题．

分析： 根据比例设三个内角分别为k、2k、3k，然后根据三角形内角和等于180°列出方程求出最小角，继而可得出答案．

解答： 解：∵三角形三个内角度数的比为1：2：3， ∴设三个内角分别为k、2k、3k， ∴k+2k+3k=180°， 解得k=30°，

最小角的正切值=tan30°=． 故选：C．

点评： 本题主要考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”求解更加简单．

3．在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（ ） A． 1颗 B． 2颗 C． 3颗 D． 4颗

考点： 概率公式．

分析： 先根据白色棋子的概率是，得到一个方程，再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，再得到一个方程，求解即可．

解答： 解：由题意得，

解得．

故选：B．

点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=；关键是得到两个关于概率的方程．

4．若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0的根的情况是（ ） A． 没有实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 有两个不相等的实数根 D． 无法判断

考点： 根的判别式． 专题： 计算题．

分析： 根据已知不等式求出k的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情况． 解答： 解：∵5k+20＜0，即k＜﹣4， ∴△=16+4k＜0， 则方程没有实数根． 故选：A．

点评： 此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．

5．（1997•南京）一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，这个圆柱的母线长l与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系为（ ）

A． 正比例函数 B． 反比例函数 C． 一次函数 D． 二次函数

考点： 反比例函数的定义．

分析： 根据圆柱的侧面积=底面周长×母线长，列式整理即可得解． 解答： 解：根据题意，2πr•l=10，

所以l=．

故l与r的函数关系为反比例函数． 故选B．

点评： 本题考查了反比例函数的定义，熟记圆柱侧面积公式，列式整理出l、r的函数解析式是解题的关键．

6．如图，几个完全相同的小正方体组成一个几何体，这个几何体的三视图中面积最大的是（ ）

A． 主视图 B． 左视图

C． 俯视图 D． 主视图和左视图

考点： 简单组合体的三视图．

分析： 根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图，根据图形的比较，可得答案．

解答： 解：主视图是三个正方形，左视图是三个正方形，俯视图是四个正方形，

故俯视图的面积做大， 故选：C．

点评： 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图．

7．如图所示，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． 10﹣π B． 8﹣π C． 12﹣π D． 6﹣π

考点： 扇形面积的计算．

分析： 连接OE．求得弓形AE的面积，△ADC的面积与弓形AE的面积的差就是阴影部分的面积． 解答： 解：连接OE． ∵S△ADC=AD•CD=×4×4=8， S扇形OAE=π×22=π，

S△AOE=×2×2=2， ∴S弓形AE=π﹣2，

∴阴影部分的面积为8﹣（π﹣2）=10﹣π． 故选：A．

点评： 本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．

8．如图所示，OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，若OA2﹣AB2=18，则k的值为（ ）

A． 12 B． 9 C． 8 D． 6

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．

分析： 设B点坐标为（a，b），根据等腰直角三角形的性质得OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD，则OA2﹣

AB2=18变形为AC2﹣AD2=9，利用平方差公式得到（AC+AD）（AC﹣AD）=9，所以（OC+BD）•CD=9，则有a•b=9，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=9． 解答： 解：设B点坐标为（a，b）， ∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形， ∴OA=

AC，AB=

AD，OC=AC，AD=BD，

∵OA2﹣AB2=18，

∴2AC2﹣2AD2=18，即AC2﹣AD2=9， ∴（AC+AD）（AC﹣AD）=9， ∴（OC+BD）•CD=9， ∴a•b=9， ∴k=9． 故选：B．

点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

9．若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ） A． 90° B． 120° C． 150° D． 180°

考点： 圆锥的计算．

分析： 设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，然后设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，利用弧长的计算公式即可求解．

解答： 解：设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，

设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，则=2πr， 解得：n=180°． 故选D．

点评： 正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

10．定义运算，比如2⊗3=+=，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2⨂（﹣3）=；②此运算中的字母均不能取零；③a⊗b=b⊗a；④a⊗（b+c）=a⊗c+b⊗c，其中正确是（ ） A． ①②④ B． ①②③ C． ②③④ D． ①③④

考点： 有理数的混合运算． 专题： 新定义．

分析： 各项利用题中的新定义计算得到结果，即可做出判断．

解答： 解：①2⨂（﹣3）=﹣=，正确；②此运算中的字母均不能取零，正确；③a⊗b=+=b⊗a=+，正确；④a⊗（b+c）=+≠a⊗c+b⊗c=+++，错误， 其中正确的为①②③， 故选B

点评： 此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．

二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题应将最简洁最正确的答案填在空格内！ 11．如果a﹣2b=6，则4b﹣2a= ﹣12 ．

考点： 代数式求值．

分析： 把a﹣2b=6整体代入代数式4b﹣2a=﹣2（a﹣2b）求得数值即可． 解答： 解：∵a﹣2b=6，

∴4b﹣2a=﹣2（a﹣2b）=﹣2×6=﹣12． 故答案为：﹣12．

点评： 此题考查列代数式，注意已知条件与所求代数式的联系，利用整体代入求得答案即可．

12．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为 120 元．

考点： 一元一次方程的应用． 专题： 销售问题．

分析： 依据题意建立等量关系商品标价=进价×（1+5%）÷70% 解答： 解：设售货员应标在标签上的价格为x元， 依据题意70%x=80×（1+5%） 可求得：x=120， 故价格应为120元．

点评： 此题首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

13．已知一组数据﹣3，x，﹣2，3，1，6的中位数为1，则其方差为 9 ．

考点： 方差；中位数． 专题： 计算题．

分析： 由于有6个数，则把数据由小到大排列时，中间有两个数中有1，而数据的中位数为1，所以中间两个数的另一个数也为1，即x=1，再计算数据的平均数，然后利用方差公式求解． 解答： 解：∵数据﹣3，x，﹣2，3，1，6的中位数为1， ∴=1， 解得x=1，

∴数据的平均数=（﹣3﹣2+1+1+3+6）=1，

∴方差=[（﹣3﹣1）2+（﹣2﹣1）2+（1﹣1）2+（1﹣1）2+（3﹣1）2+（6﹣1）2]=9． 故答案为：9．

点评： 本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数． 14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为 6 cm．

考点： 圆锥的计算．

分析： 易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 解答： 解：圆锥的底面周长=2π×2=4πcm， 设圆锥的母线长为R，则：解得R=6． 故答案为：6．

=4π，

点评： 本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：

．

15．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=

．

考点： 相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题）． 专题： 压轴题．

分析： 可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可． 解答： 解：∵AB=1，

设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，

∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，

∴=，=，

解得x1=，x2=（不合题意舍去），

经检验x1=是原方程的解．

故答案为．

点评： 本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．

16．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a

＜b，则a、b、m、n的大小关系是 m＜a＜b＜n ．

考点： 抛物线与x轴的交点． 分析： 依题意画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）图象草图，根据二次函数的增减性求解． 解答： 解：依题意，画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）的图象，如图所示．

函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）． 方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0 转化为（x﹣a）（x﹣b）=1， 方程的两根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1的两个交点． 由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．

由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大， 则有b＜n．

综上所述，可知m＜a＜b＜n． 故答案为：m＜a＜b＜n．

点评： 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．

三．解答题（共7题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的过程呈现出来！ 17．计算：

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．

分析： 原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果． 解答： 解：原式=

×（

﹣）+1+

（cos45°﹣sin30°）+（4﹣4π）0+（

）﹣1．

=1﹣+1+ =2．

点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，求旗杆的高度？

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

分析： 利用等腰三角形的性质以及锐角三角函数关系得出AB的长，进而求出即可． 解答： 解：由题意可得：∠BDC=∠DBC=45°，则BC=DC=3m， 设AB=xm， 则tan60°=解得：x=3（故AC=3+3（

=

=

，

﹣1）， ﹣1）=3

（m），

答：旗杆的高度为3m．

点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用锐角三角函数关系是解题关键．

19．节能灯根据使用寿命分成优等品、正品和次品三个等级，其中使用寿命大于或等于8000小时的节能灯是优等品，使用寿命小于6000小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品．质检部门对某批次的一种节能灯（共200个）的使用寿命进行追踪调查，并将结果整理成此表．

（1）根据分布表中的数据，在答题卡上写出a，b，c的值；

某人从这200个节能灯中随机购买1个，求这种节能灯恰好不是次品的概率． 寿命（小时） 频数 频率 4000≤t≤5000 10 0.05 5000≤t＜6000 20 a 6000≤t＜7000 80 0.40 7000≤t＜8000 b 0.15 8000≤t＜9000 60 c 合计 200 1

考点： 频数（率）分布表；概率公式． 专题： 图表型．

分析： （1）由频率分布表中的数据，根据频率=频数÷数据总数及频数=数据总数×频率即可求出a、b、c的值； 根据频率分布表中的数据，用不是次品的节能灯个数除以节能灯的总个数即可求解． 解答： 解：（1）根据频率分布表中的数据，得 a==0.1， b=200×0.15=30，

c==0.3；

（Ⅱ）设“此人购买的节能灯恰好不是次品”为事件A．

由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有110个，次品有30个，

所以此人购买的节能灯恰好不是次品的概率为P（A）==0.85．

点评： 本题考查了读频数（率）分布表的能力和利用统计图获取信息的能力及古典概型的概率，用到的知识点：频率=频数÷数据总数，概率=所有出现的情况数与总数之比．

20．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，直线AB与反比例函数图象交与另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D． （1）求反比例函数的解析式；

求tan∠DAC的值及直线AC的解析式．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

分析： （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=2

，从而求得反比例函数解析式；

），确定AH=2

﹣1，BH=2

作BH⊥AD于H，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为（1，2

﹣1，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根据特殊角的三角函数值得tan∠DAC=

；由于AD⊥y轴，则OD=1，AD=2

，然后在Rt△OAD中利用正切的定义可计算出CD=2，易得C

x﹣1；

点坐标为（0，﹣1），于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为y=解答： 解：（1）由反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，得： k=2

×1=2

，

∴反比例函数为y=（x＞0），

作BH⊥AD于H，如图1，

把B（1，a）代入反比例函数解析式y=∴B点坐标为（1，2∴AH=2

﹣1，BH=2

）， ﹣1，

（x＞0），得a=2

，

∴△ABH为等腰直角三角形，

∴∠BAH=45°， ∵∠BAC=75°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，

∴tan∠DAC=tan30°=∵AD⊥y轴， ∴OD=1，AD=2

，

；

∵tan∠DAC==， ∴CD=2， ∴OC=1，

∴C点坐标为（0，﹣1），

设直线AC的解析式为y=kx+b， 把A、C（0，﹣1）代入

得，

解，

∴直线AC的解析式为y=x﹣1；

点评： 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法求一次函数解析式；作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．

21．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台． （1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

考点： 二次函数的应用．

分析： （1）根据题意易求y与x之间的函数表达式． 已知函数解析式，设y=4800可从实际得x的值． （3）利用x=﹣

求出x的值，然后可求出y的最大值．

），

解答： 解：（1）根据题意，得y=（8+4×即y=﹣

x2+24x+3200；

由题意，得﹣x2+24x+3200=4800． 整理，得x2﹣300x+20000=0． 解这个方程，得x1=100，x2=200． 要使百姓得到实惠，取x=200元． ∴每台冰箱应降价200元；

（3）对于y=﹣x2+24x+3200=﹣（x﹣150）2+5000， 当x=150时，

y最大值=5000（元）．

所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．

点评： 求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．借助二次函数解决实际问题．

22．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG， （1）求证：直线EP为⊙O的切线；

点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO．试证明BG=PG； （3）在满足的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=

．求弦CD的长．

考点： 圆的综合题． 专题： 几何综合题．

分析： （1）连结OP，先由EP=EG，证出∠EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出∠EPG+∠OPB=90°来求证．

连结OG，由BG2=BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO=∠BFG=90°，根据垂径定理可得出结论．

（3）连结AC、BC、OG，由sinB=，求出OG，由得出∠B=∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度． 解答： （1）证明：连结OP，

∵EP=EG，

∴∠EPG=∠EGP， 又∵∠EGP=∠BGF， ∴∠EPG=∠BGF， ∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP， ∵CD⊥AB，

∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°， ∴∠EPG+∠OPB=90°， ∴直线EP为⊙O的切线；

证明：如图，连结OG，OP，

∵BG2=BF•BO， ∴=，

∴△BFG∽△BGO， ∴∠BGO=∠BFG=90°， 由垂径定理知：BG=PG；

（3）解：如图，连结AC、BC、OG、OP，

∵sinB=

，

∴=， ∵OB=r=3， ∴OG=

，

由得∠EPG+∠OPB=90°，

∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGF=90°， ∴∠B=∠OGF， ∴sin∠OGF=∴OF=1，

=

∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4， 在Rt△BCA中， CF2=BF•FA， ∴CF=∴CD=2CF=4

=．

=2

．

点评： 本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值．

23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD．

（1）求该抛物线的解析式；

设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题．

分析： （1）首先求出点M的坐标，然后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；

如答图1所示，作辅助线构造梯形，利用S=S梯形PEOC﹣S△COD﹣S△PDE求出S关于x的表达式；求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，得到自变量的取值范围；

（3）由于三角形的各边，只有OD=2是确定长度的，因此可以以OD为基准进行分类讨论： ①OD=OP．因为第一象限内点P到原点的距离均大于4，因此OP≠OD，此种情形排除； ②OD=OE．分析可知，只有如答图2所示的情形成立； ③OD=PE．分析可知，只有如答图3所示的情形成立． 解答： 解：（1）由题意得：OC=4，OD=2，∴DM=OC+OD=6，∴顶点M坐标为． 设抛物线解析式为：y=a（x﹣2）2+6， ∵点C（0，4）在抛物线上， ∴4=4a+6， 解得a=

．

x2+2x+4．

∴抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2+6=

如答图1，过点P作PE⊥x轴于点E．

∵P（x，y），且点P在第一象限， ∴PE=y，OE=x，

∴DE=OE﹣OD=x﹣2．

S=S梯形PEOC﹣S△COD﹣S△PDE =（4+y）•x﹣×2×4﹣（x﹣2）•y =y+2x﹣4． 将y=

x2+2x+4代入上式得：S=

x2+2x+4+2x﹣4=

x2+4x．

．

在抛物线解析式y=x2+2x+4中，令y=0，即设抛物线与x轴交于点A、B，则B， ∴0＜x＜2+

．

x2+2x+4=0，解得x=2±

∴S关于x的函数关系式为：S=

x2+4x（0＜x＜2+）．

（3）存在．

若以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，可能有以下情形： （I）OD=OP．

由图象可知，OP最小值为4，即OP≠OD，故此种情形不存在． （II）OD=OE．

若点E在y轴正半轴上，如答图2所示：

此时△OPD≌△OPE，

∴∠OPD=∠OPE，即点P在第一象限的角平分线上， 所以P点的横纵坐标相等，即所以P点坐标为：（4，4），

x2+2x+4=x，解答x1=﹣2（舍去），x2=4．

∴直线PE的解析式为：y=x+2；

若点E在y轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在． （III）OD=PE． ∵OD=2，

∴第一象限内对称轴右侧的点到y轴的距离均大于2， 则点P只能位于对称轴左侧或与顶点M重合．

若点P位于第一象限内抛物线对称轴的左侧，易知△OPE为钝角三角形，而△OPD为锐角三角形，则不可能全等； 若点P与点M重合，如答图3所示，此时△OPD≌OPE，四边形PDOE为矩形，

∴直线PE的解析式为：y=6．

综上所述，存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，直线PE的解析式为y=6，y=x+2．

点评： 本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、全等三角形、图形面积计算等知识点．难点在于第（3）问，两个三角形中只有一边为定长，因此分类讨论稍显复杂，需要仔细分析．