圆与扇形经典题汇总情况

圆与扇形

——公式与割补

内容提要

本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念，及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识． 圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且，所有的平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．

我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用π表示．另外，一般把直径记作d，半径记作r，如图1所示．

r d 图1

所以，圆的周长Cd2r，圆的面积Sr2．

如图3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分，所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论．

n°

r 图3

扇形的圆心角为n°时，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的所以，扇形弧长=

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n． 360nn2r，面积=r2． 360360实用文档

我们先来熟悉一下这些公式． 练习：

1. 半径是2的圆的面积和周长分别是多少？

2. 直径是5的圆的面积和周长分别是多少？

3. 周长是10π的圆的面积是多少？

4. 面积是9π的圆的周长是多少？

例题

一、 基本公式运用

例题1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）

例题2. 已知扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，则这个扇形的半径和周长各是多少？ （圆周率按3.14计算）

60°

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随堂练习：

1. 已知一个扇形的弧长为0.785厘米，圆心角为45，这个扇形的半径和周长各是多少？

2. 扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？

3. 如图，直角三角形ABC的面积是45，分别以B，C为圆心，3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积

是35.58．请问：角A是多少度？（π取3.14）

A B C

二、 圆中方，方中圆

4. 如图，左下图和右下图中的正方形边长都是2，那么大圆、小圆的面积分别为________、________．

随堂练习：

1. 已知外面大圆的半径是4，里面小圆的面积是多少？（答案用π表示）

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二、割补法

5. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）： （1） （2）

3

随堂练习：

2

2

求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）： （1） （2）

7

4

求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）： （1） （2）

2

6. 已知图中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，那么图中阴影部分的面积为________．（答案用表示）

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2

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7. 根据图中所给数值，求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（π取3.14）

4

作业：

1. 半径为4厘米的圆的周长是________厘米，面积是________平方厘米；

2. 半径为4厘米，圆心角为90的扇形周长是________厘米，面积是________平方厘米．（取3.14）

3. 家里来客人了，淘气到超市买了4瓶啤酒，售货员阿姨将4瓶啤酒捆扎在一起

（如下图所示），捆4圈至少要用绳子________厘米．（取3.14，接头处忽略不计）

4. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：

（1） （2）

7厘米 O 1 10 1

1

10

5. 下列图形中的正方形的边长为2，则下图中各个阴影部分面积的大小分别为______、______．（取

3.14）

6. 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小

的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？

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O

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圆与扇形

旋转与重叠

知识总结：

学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域．

例题：

一、 重叠问题

例题1.下图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米，那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少？（圆周率取3.14）

甲 乙

例题2.下图中有一个等腰直角三角形ABC，一个以AB为直径的半圆，和一个以BC为半径的扇形．已知ABBC10厘米．图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）

A E D C B

随堂练习

1. 如图17-13，以AB为直径做半圆，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28

平方厘米，AB长40厘米．求BC的长度．（取3.14．）

C ②

① B

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A

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例题3.如图，直角三角形的两条直角边分别为3和5，分别以三条边做了3个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上），那么阴影部分的面积为______．

4 5 3

例题4.图1是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．如图2所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）

C 60 图1

A 图2 B

二、 动态扫面积问题

例题5.如图，正方形ABCD边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积为________平方厘米．（取3.14）

E A F B D C H

G

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例题6.如图所示，以等边三角形的B、C、A三点分别为圆心，分别以AB、CD、AE为半径画弧，这样形成的曲线ADEF被称为正三角形ABC的渐开线，如果正三角形ABC的边长为3厘米，那么此渐开线的长度为多少厘米，图中I、II、III三部分的面积之和是多少平方厘米？

III C A I B II D E

三、 运动圆扫面积

例题7.图中正方形的边长是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）

随堂练习

1. 图中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一

周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）

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例题8.图中等边三角形的边长是3厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）

思考题

如图所示，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）

狗

作业：

1. 图17-14由一个长方形与两个90角的扇形构成，其中阴影部分的面积是_______平方厘米．（取

3.14．）

2 5 图17-14

2. 图中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形，那么两个阴影部分的面积相差为

_______．（π取3.14）

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3. 如图，直角三角形的两条直角边长分别是10cm和6cm，分别以直角边为直径作出两个半圆，这

两个半圆的交点恰好落在斜边上，那么阴影部分的面积是_______cm2．（取3.14） （1730）

6cm 10cm

4. 图1是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．如图2所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转

60°，此时B点移动到C点．请问：图中阴影部分的面积是_______平方厘米（π取3.14）

C C 40 图1

A 图2 B

5. 图中正方形的边长是6厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到

原来位置时，其扫过的面积有______．（π取3.14）

6. 图中等边三角形的边长是5厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原

来位置时，扫过的面积有________．（π取3.14）

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几何计数

知识总结： 例题：

一、 枚举或分类解题

利用枚举法以及分类的方法进行几何计数，特别是对于正方形和三角形的计数问题．通常按照面积的大小或者包含基本图形的多少来对图形进行分类．

例题1.小杰瑞把巧克力棒摆成了如图所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问： （1）一共有多少个巧克力棒？

（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？

（3）嘴馋的小杰瑞吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？

随堂练习

1. 图中共有_______个三角形；

例题2.如图，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．图中包含“”的各种大小的正三角形一共有_______．



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例题3.如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中三角形个数是_______．

A E M

B D F N

例题4.图中有多少个正方形？

二、 与排列组合有关的计数

利用排列组合的方法进行几何计数，特别是对于矩形和四边形的计数问题 例题5.如图，线段AB，BC，CD，DE的长度都是3厘米．请问： （1）图中一共有多少条线段？

（2）这些线段的长度之和是多少厘米？

3厘米 A

B

随堂练习

1. 求图中一共有多少条线段．

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3厘米

C

3厘米

D

3厘米

E

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例题6.求图中一共有多少条线段．求图中一共有多少个矩形． 随堂练习

1. 如图，四条边长度都相等的四边形称为菱形．用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形．数一

数，图中共有多少个菱形？

例题7.右图是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形，那么： 1）从中可以数出_______个矩形． 2）从中可以数出_______个正方形．

3）从中可以数出包含_______个，正方形有________个．

随堂练习

（1）图中包含★的长方形有_______个．包含的正方形又有_______个． （2）图中同时包含和★的长方形有_______个．

★ 

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三、 与容斥原理有关的几何计数

例题8.图中一共包含多少个矩形？多少个正方形？

随堂练习

1. 图中有_______个矩形

思考题

用16个边长为1的等边三角形拼成一个边长为4的大等边三角形，那么组成的图形中可以找出多少个平行四边形？

作业

1. 数一数图中一共有多少条线段？

2. 图中共有_______个三角形．

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【分析与解】按边长分类数，图中共有93113个三角形；平行四边形共有333215个． 3. 在图中，包含※的长方形共有________个．

※

4. 图中有_______个矩形，_______个正方形．

【分析与解】图中共有718个正方形，19个长方形．这道题适合按大小分类数． 5. 图中有三角形_______个，梯形_______个．

A B C

【分析与解】三角形有312318个，梯形有1212318个． 6. 图中有_______个正方形，_______个长方形．

【分析与解】答案是38，144．长方形有123123452123123144 个，正方形有352413294138个（这里给出正方形的求法比较巧妙，如果不合适，请按正方形的边长分类枚举）．

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行程

知识总结：

本讲重点学习在小升初中和各个杯赛中的较复杂的行程问题，行程问题主要有三组共9个基本公式： （1） 路程速度时间；速度路程时间；时间路程速度；

（2） 相遇路程速度和时间；速度和相遇路程时间；时间相遇路程速度和； （3） 追及路程速度差时间；速度差追及路程时间；时间追及路程速度差． 要会灵活运用公式，通过已知的条件求出未知的路程、速度或时间． 此时，我们还经常需要用到以下这三个基本倍数关系： 当运动的速度相同时，时间的倍数关系等于路程的倍数关系； 当运动的时间相同时，速度的倍数关系等于路程的倍数关系；

当运动的路程相同时，时间的倍数关系等于速度的倍数关系，但注意时间长的速度慢，时间短的速度快．

例题1. （ ）甲、乙两地间的路程是600千米，上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往

乙地，货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地．要使两车在全程的中点相遇，货车必须在上午几点出发？

例题2. （ ）某学校组织学生去春游，以2米/秒的速度前进，一名学生以4米/秒的速度从队尾跑

到队头，再回到队尾，共用6分钟，那么队伍的总长为多少米？

例题3. A城在一条河的上游，B城在这条河的下游．A、B两城的水路距离为396千米．一艘在静水中速

度为每小时12千米的渔船从B城往A城开，一艘在静水中速度为每小时30千米的治安巡逻艇从A城往B城开．已知河水的速度为每小时6千米，从A流向B．两船在距离A城180千米的地方相遇．巡逻艇在到达B城后得到消息说他们刚才遇到的那艘渔船上有一名逃犯，于是巡逻艇立刻返回去追渔船．请问巡逻艇能不能在渔船到达A城之前追上渔船？如果能的话，请问巡逻艇在距A城多远的地方追上渔船；如果不能的话，请算出巡逻艇比渔船慢多少小时到A城．

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例题4. 蜗牛沿着公路前进，对面来了一只兔子，他问兔子：“后面有乌龟吗？”，兔子回答说：“10分钟

前我超过了一只乌龟”，接着蜗牛继续爬了10分钟，遇到了乌龟．已知乌龟的速度是蜗牛速度的10倍，那么兔子速度是乌龟速度的________倍．

例题5. 甲、乙二人相距100米的直路上来回跑步,甲每秒钟跑2.8米,乙每秒钟跑2.2米.他们同时分别在直

路两端出发,当他们跑了30分钟时,这段时间内相遇了几次？

例题6. 甲乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在距离B地64千米的地方第一次相遇，相遇后两

车继续原速前进，并且在到达对方出发点之后，立即沿原路返回，途中在距离A点48千米处第二次相遇，问：两次相遇点距离是多少千米？

例题7. 甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千

米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距120千米，那么，A、B两地之间的距离等于_________ 千米．

例题8. 快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这3辆车分别用6

分钟、10分钟、12分钟追上骑车人．现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？

例题9. 有甲乙丙三车各以一定的速度从A到B，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙，甲比乙

又晚出发10分钟，出发后60分钟追上丙，问，甲出发后多少分钟可以追上乙？

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思考题

一次越野赛跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1450米，此后两人分别以每秒a米和每秒b米匀速跑，又过100秒时小刚追上小明，200秒时小刚到达终点，300秒时小明到达终点，这次越野赛跑的全程为多少？

作业

1. 现有两列火车同时同方向齐头行进，快车每秒行18米，慢车每秒行10米，行12秒后快车超过慢

车．如果这两辆火车车尾相齐同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车．那么快慢两车的车长分别是几米？

2. 一辆中巴车6点（24小时制）从A城出发，以每小时40千米的速度向B城驶去，3小时后一辆

小轿车以每小时75千米的速度也从A出发到B．当小轿车到达B后，中巴车离B还有90千米．那么中巴车是几点几分到达B的？

3. 甲、乙两人从相距为46千米的A、B两地出发相向而行，甲比乙先出发一个小时．他们两人在乙

出发后4小时相遇，又已知甲比乙每小时快2千米，那么乙的速度为每小时多少千米？

4. 甲、乙两人分别从南北两地相对而行．已知甲每分钟走50米，乙走完全程要30分钟．相对而行

10分钟后，甲、乙仍相距100米．那么还要过多少秒钟，甲、乙第一次相遇？

5. （第三届“走进美妙的数学花园”团体对抗赛第22题）一个和尚每天早晨都到河边去提一桶水，

他提空桶时每秒走3米，提满桶时每秒2米，来回一趟需10分钟。寺庙距河边有多少米？

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6. (首师大附中考题)甲，乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2

米/秒。如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟以后，共相遇了多少次？ 7.

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