中学数学思维结构

中学数学思维结构

引言

其实中学生学习数学的过程就是学习者组织有关的数学材料进行思维的过程．在思维的过程中，学生已有的思维方式、思维成分和思维习惯起着重要的作用，与此同时学习者的思维也得到了锻炼和发展．于是十分有必要分析中学数学思维过程中起主要作用的各种因素以及各因素之间的相互关系，也即中学数学思维结构．

近些年，人们研究数学思维中讨论较多的是创新性思维、发散性思维，还有与解题有关的各种思维．在众多的中学数学思维研究中，中学数学思维结构的研究应居于第一位，因为研究数学思维结构有重要意义．

一、数学思维结构是数学思维研究的主体

数学思维过程构成了一个包括数学知识、方法及学习者之间的相互作用而构成整体，而我们又知整体的功能大于各部分功能之和．以上所述的各种研究均是从某一方面和角度研究的，也即是数学思维结构作用于思维对象的外在表现形式．研究中学数学思维结构可以使我们从整体上理解数学思维，明确数学思维过程的各种因素，以及各因素之间的相互关系，在动态中协调各因素，使得整体功能得到最大化发挥．数学知识是训练思维结构的材料，而数学教育的任务就在于使学生形成完整的数学思维结构，并借助于这些结构去认识数学结构．

二、指导中学数学教学活动，提高学生的数学能力

新的课程标准，突破了原来的＂三大能力＂的界限，提出了新的数学

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能力观．一些全新的理念如何变成教学实践，如何培养出符合时代需要的创新型人才，这都是当前数学教育者所面临的问题．研究中学数学思维结构，能够帮助教师合理处理数学材料，弄清学生已有的基础，揭示思维发展规律，指导中学数学教学活动．有利于培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生的数学探究能力，数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力．

数学思维是人脑对数学对象的本质属性与内在联系的概括的反映过程，它具有以下特点：

第一、数学思维的问题性； 第二、学思维的相似性；

第三、数学思维具有高度的概括性．

一、数学思维结构的组成

数学思维结构是主体在思维中以数学知识、理论为基础在头脑中建立起来的信息系统．

1、数学思维方式

数学思维方式是学习者在数学活动中数学知识和掌握的数学思维方法结合起来的多级系统，是数学知识与主体的认识长期相互作用的结果，随知识的学习在头脑中逐步建立，并在学习过程不断发展．思维方式一般溶于知识之中，是客观存在的．无论是思维的广度、深度还是速度方面，思维结构均受思维方式的影响．思维方式是在学习知识、理解观点、掌握和

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运用方法的基础上形成的．

以中学数学知识结构为基础，可知数学思维方式包括以下内容： (1)集合对应的思维方式

我们知道函数的对应说是集合对应的思维方式的数学基础，抽象其中的数学思维的内容，并用之于数学实践，就可以总结出其思维方式为：

第一、将有待于解决的数学问题与其问题加以区分并准确定义； 第二、将问题转化到已解决系统中加以解决；

第三、反射解决的结果，解决原来的问题并将其结论推广． 数学研究和应用中的关系映射反演（RMI）原理及模型在方程就是这种思想的应用．关系映射反演方法在中学数学中有以下几种方式：坐标法复数法参数法对数法等．在数学教学中，应以唯物辩证法为指导，既要使学生掌握其个性，还要结合函数的对应说，介绍为更高层次的数学思维方法－集合的对应说思维．学生了解这些方法的共性，可提高分析问题和解决问题的能力．

(2)结构化的思维方式

在数学教学中，公理化方法是研究逻辑结构的特点的工具，是人们的认知由感性认识到理性认识的飞跃．公理化系统是数学分支发展的起点．公理一经确定，其内容即可相对独立发展下去，推出新的命题和结论．所以公理方法是数学材料逻辑组织化的工具之一．结构化的思维方式在教学中的主要表现在力图用统一的观点处理数学内容，重视通性通法，并以次作为教学的基础．这种结构化处理方法使数学更能呈现出整体性，有利于学生的数学观念的形成，使学生的整体思维得到发展．

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(3)空间思维方式

空间思维在头脑中构成研究对象的空间形状和简单的结构，对空间映象在头脑中进行相应操作的过程．

空间思维的主要操作单位不是词而是映象，并且不是所有映象，而主要是能表现客体空间特征的映象，如构成的各因素的形状大小位置．客体各因素在平面上空间中相对于任何特定位置的排列次序．空间思维由于有些特征而不同于其他形象思维，反映客体在空间映象的内容．

数学中的空间思维和其他形象思维的另一区别在于活动进程的结构和条件．建立空间表象活动的目的在于通过感知真实的客体图象建立映象．空间思维活动的目的主要在于改变已建立起来的映象，即按照问题的要求运用映象，空间思维的关键就在于自由运用映象．

(4)变量思维方式

函数发展史上经历了变量说对应说和关系说几个阶段．变量型思维方式是在数学研究和教学中有着重要的地位．因为数学研究的对象大都是运动着的量及其相互关系，而这种思维方式就显示出其优点，其基本过程是：

第一、从运动和变化中提出数学对象； 第二、运用因果相似等关系解决数学问题；

第三、将已解决问题返回原来问题情景中，重视说明数学对象的内容． 变量思维方式在数学教学中有各种应用．解放程f(x)0就是求函数

f(x)的零点；解不等式f(x)0 (f(x)0)就是求函数f(x)的正（负）区间；

数列的通项就是定义在自然数集上的函数等．还有大量的问题都可以通过把常量的瞬间状态置于一定的过程中加以考察而得到解决．

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数学思维方式是从具体的数学知识中抽象发展起来的，但这种抽象并不是一次就能达到很高的层次．数学思维方式是思维的结果的总结，由于数学内容是交互交融的，所以数学思维方式也是交融的，在思维过程中综合起作用．数学知识上不断发展的，新的分支不断涌现发展，新的方法不断产生不断补充，而已有的方式也不断完善和发展．

2、数学思维基本成分 (1)数学形象思维

我们知道数学素以严谨抽象而著称，但在数学思维中也有形象思维的成分，它是人们从数学问题中得到信息的基础．在数学科学体系中，任何一个命题定理都是从具体问题抽象出来的，而在解决未知问题中，形象思维又可引导人们去解决问题．

数学形象思维过程是：形象信息、数学表象、数学知觉、数学想象．数学表象是有两种基本类型，即图表信息和图式表象，很多时候呈现不同的形状．以图表为例，在数学教学中经常会出现图表，它形象直观．主体在图表中可以得到大量的信息，这是主体解决问题的基础，然后可以对问题形成一定表象和知觉，最后可以进一步升华形成数学表象．形象思维是数学思维机构必不可少的一部分，但同时也应该认识到必须把形象思维与抽象思维结合起来，才能组织有关的 信息有效地解决问题．

(2)数学逻辑抽象思维

数学逻辑思维的基本形成为概念判断和推理．主要方法为分析、综合、抽象、概括等．数学中形象逻辑的特点是，表示概念判断的语句多用形式化的语言来表示，表现为数学命题，把命题及演算形式化，形成数理逻辑，

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抽象逻辑思维上形象思维更高一级的数学思维．对于一般的数学问题的解决办法是，把原来的的信息先经过形象思维过程，然后用数学的方法加以抽象逻辑思维过程，形成有一定概括性或广泛性的结论．在具体的思维过程中，逻辑思维与形象思维总是相互渗透的，相互结合，交替使用，这也体现了辨证思维的成分．

(3)数学直觉思维

在数学的学习和发现过程中，直觉思维在数学思维结构中占有重要作

用的地位．人们对一数学问题的发现创立或解决，总是在已有的知识基础上，通过观察联想类比猜想等得出的，这其中包括着大量的直觉思维，对于直觉思维的研究表，明直觉思维常与人们无意识的心理现象联系的．在数学教学和学习中，直觉思维往往不带任何严密的论证形式而进入中学生的意识中，它往往更符合高中生的思维习惯．而在以往的教学相中，过多地强调了数学严谨性，而忽视了学生的直觉思维，进而抹杀了学生的创新意识和创造意识． 3、个体发展水平

数学思维发展水平常会因个体而不同，但总体说来影响个体水平的无

非两个因素，一个是思维的智力品质，另一是思维的非智力品质.

(1)思维的智力水平

数学思维结构作用与思维对象过程中表现出的差异在智力水平特征方面就是思维的智力品质．学生学习了一定的数学知识和一些数学思维方式之后，自然要进行各种类型的思维活动，个体在智力方面的差异就会影响思维的水平和结果．因主体的思维的智力品质的不同变呈现了思维的层次性，思

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维的智力品质正上区别思维超长正常还是低常的一个重要指标．

思维的智力品质的变化发展影响着思维结构整体的变化发展．而思维的智力品质在相当一定程度上随个体年龄变化而变化．思维的智力品质在思维过程中发挥出来，同时在思维过程中得到锻炼和完善，随年龄的增高和学习的深入而不断发展．在教学中教师应紧紧抓住这一特征，引导培养学生的思维的智力品质．

(2)思维的非智力品质

非智力品质是指智力品质以外的一切心理因素，主要是指动机兴趣意志性格情感态度价值观等．值得注意的是，当个体处于青少年是，非智力因素是数学学习内部的主要动力，而智力因素在此时表现的并不十分明显．如果说思维的智力品质难以把握和改变，那么思维的非智力品质却上教师和容易作用于学生的．强烈的动机，积极的态度，坚强的意志是合理应用思维方式解决问题的保证．在数学教学中，教师自然要加强对学生的动机情感意志等地培养，充分调动学生的学习积极性和培养其不畏困难的精神．

二、数学思维结构的建构基础

数学思维结构融于数学结构和数学知识结构中，不能脱离思维结构和数学知识．

1、各成分交互作用，构成整体

数学思维结构具有通融性，它们是一个有联系的统一整体而不是简单的拼合．数学思维结构以数学知识结构和个体的认知水平为基础，数学思维方式和各种思维成分的有机结合，并受思维智力品质和非智力品质的影响．应

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当注意的是，思维技能在形成发展过程中是相互作用的，互相联系和发展的，并构成整体．

2、循序渐进，逐次发展

事物的一般发展规律是从低级到高级，数学思维结构也一样，循序渐进，逐次发展．在学习新的知识基础上，学生掌握了新的数学思维方式，发展新的思维成分，思维品质也得到了逐步发展，同时已有的思维方式也得到进一步的运用和巩固．进入中学以后，学生学习的数学知识的增加了，代数的结构，几何的推理，解析几何的数形结合以及微积分和概率的运用逐步增加，这些知识和思维都不断丰富学生的认知水平，充实其数学思维结构．在思维成分方面，初中主要以经验为主的形象思维，高中主要是以理论型为主的抽象思维．

3、结构自行调节，协调发展

数学思维结构由于本身的规律对思维活动进行调节．首先，数学思维活动的定向，其中包括对思维课题的意识和注意，确定思维活动的程序并明确其过程的性质；其次，思维活动的进行与控制，其中包括对具体思维活动的进行与监控，根据需要转换思路和及时调节思维活动的进程；再次，思维结果的检查与回忆，在其过程中，数学知识和数学活动经验直接起调节作用．

认知结构是人的心理结构的一个重要组成部分，数学认知结构对数学思维结构的建构起着决定的作用．个体认知结构会随年龄的增大而递增，因次数学思维结构一般也会随着年龄增加而逐步健全．从这个意义上讲，数学思维结构也是可以称为数学认知结构．知识结构与思维结构的统一，既是数学学习过程总的发展趋势，又是良好的数学追求的目标．

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三、中学数学思维结构的发展

前面分析了中学数学思维的成分和建构基础，可以看出数学思维结构形成的速度和完善程度不仅与学生的个人因素有关，而且与教师的教有密切的关系．发展学生的思维结构，则是教育的首要任务．有利于培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生的数学探究能力，数学建模能力，数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力．

1、充分发挥学生的主体作用

在整个学习过程中学生始终是主体，数学思维结构的建构发展和完善的主体也应是学生．所以要发展数学思维结构就要充分调动主体的作用．数学思维方式体现了数学思维的特点，学生应在适应学习的基础上注意概括，总结提高．形成有广泛迁移意义的思维方式．

(1)深刻分析事物间的联系，归纳总结有关概念

在整个高中数学课程，随着数学知识学习的 不断深入，学生不仅要学习新的数学知识，而且要学习新的思想方法．要打破原来狭隘经验造成的思维定势，又要建立新的一般性的思维框架．以高中函数为例，函数作为新学习的内容，不能与学生认知结构直接的有关概念相联系，只能与有关内容或背景相联系．所以学生就要善于把握已有的知识与即将或正在学习的函数有何联系．分析它们的共同的特征与差异，由形象思维到抽象思维，抽象出憾事本质特征．在此过程中，显示了思维的发展过程，概念是由感性认识到理性认识的结果．

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学生经过联系已有的知识，归纳总结得出新的结论，抽象出概念，学生头脑中的直观自发概念发挥了作用．这些概念是学生主动获得有利于机械的记忆，同时培养了学生思维的深刻性．

(2)灵活运用知识，促进有意义的迁移

数学解题过程，其本质就是运用知识的过程．在这个过程中．作为主体的学生要分析问题的背景，灵活组织有关已知的数学材料以达到解决问题的目的．灵活运用所学的知识是促进思维结构发展的有效手段，如方程问题和不等式问题之间的转化．

在此过程中，首先要深刻分析题意．解题开始阶段是培养学生思维深刻性、批判性与广阔性的良好时机．学生要确定已知条件与所求结论之间的关系，条件是否充分，把握题本质．其次，学生要灵活地、创造性地运用知识和方法．这是解题的关键．在分析题目的同时，要迅速地引起联想，根据题目的特点多方面迅速检索思维结构，应用其中概括程度较高的知识方法和思维，将思想方法进一步简化，将灵活性与创造性结合起来．注意培养学生的辨证思维，让学生主动体会具体问题具体分析的辨证思维．最后，学生还需要认真分析解题的结果，反馈到思维结构中，用批判和检验的眼光去审视结果，进而促进思维结构的发展．

2、充分发挥教师的主导作用

数学教学应以学生为主体，教师为主体，所以教师在学生的数学思维结构中也起着重要的作用．

(1)大力加强背景式教学，开展数学应用知识教育

现行的中学教育，相当程度上背离了我们生活实际，以至于导致数学

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的枯燥，也不利学生数学思维的发展，更不利于形成良好的数学思维和提高数学创造力．从数学思维结构上看，教师的作用在于将思维对象讲述给学生，引导学生进入思维中，使之成为学生乐于思维的起点．然后采用启发、提高等手段让学生根据思维对象和自己已有的知识去分析、比较、归纳等

从学生的生理特点上看，数学语言的符号化，推理的严密性，计算的复杂性，内容的抽象，这些特点使学生对数学的学习感到枯燥．加强背景知识可以引导学生形成数学概念，引起学习兴趣，培养学生的数学思维，提高他们的想象力和创造力．如在讲解等差数列时请同学们观察下列例子：

例1:楼梯的台阶距地面的高度.

例2:张强今年17岁,他的哥哥比他大两岁,而他比他的妹妹大两岁. (2)提倡积极思考，培养创新意识

在数学教学中，教师应为学生创造一个积极主动的课堂氛围，鼓励学生积极思考，发挥学生的主动性，在思维过程中注重培养学生的直觉思维能力，培养学生的批判性和创造性．教师在教学中不唯书是从，而应使学生认识到现存的东西不一定是最完善的，要鼓励学生多向思维，改进和创新．教师在引导学生思考和创新等方面时不能替代学生的地位，而应适度设计引导思考，同时发展学生的创新意识．如围绕一节数学课，教师可设计出几个与本节课有关的问题，让学生尝试解决，教师给出指导性的解答，问题解决了那么这节课的任务也就完成了．如在学习椭圆时,可设计以下问题:

问题1:什么叫做曲线的方程?求曲线方程的一般方法是什么?

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问题2:圆的几何特征是什么?你能否类似地提出一些轨迹命题作广泛探讨?

问题3:到两点距离之和等于常数的点的轨迹是什么? 问题4:椭圆具有哪些特征和性质? (3)注意非智力因素的培养与发展

非智力因素是在人的智力能力与能力发展中明显地起着动力作用、定型作用和补偿作用．非智力因素的培养一般指发展兴趣，顾及气质，培养良好的性格，养成良好的习惯．学习数学的全过程处处需要创造性劳动．强烈的学习动机，积极的学习态度，坚强的意志等学好数学，发展数字思维的保证．就总体而言，个体在智力因素方面的差异并不是很明显，而导致个体在数学学习差异的是个体的非智力因素．所以非智力因素的培养在中学数学教育和发展学生的思维结构方面至关重要．

数学是思维的科学，数学思维结构发挥的规律是数学教学的依据之一．在教学中，教师应抓住学生的数学思维结构的特点，结合实际情况不断发展学生数学思维结构提高学生的各种数学能力．随着21 世纪经济的发展，知识经济的来临，科教兴国战略的实施以及新一轮基础教育课程改革的实施，高中课程也进入了一个重要时期，特别是在新的课程标准下，对数学思维的教学要以全新的框架、体系和教学方式来实施数学教学功能．

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