有关角平分线的辅助线做法

由角平分线想到的辅助线

角平分线具有两条性质：a对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。 对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

① 从角平分线上一点向两边作垂线；

② 利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下 考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线

（一）、截取构全等

如图1-1，/ AOCh BOC如取OE=OF并连 接DE

DF,则有△ OED^A OFD从而为我们证 明线段、角相

等创造了条件。

例 1. 如图 1-2，AB//CD，BE平分/ ABC CE平分/ BCD 点 E 在 AD上,求证：BC=AB+CD

C D

分析：此题中就涉及到角平分线，可以利 用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分

线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题， 在证明线段的和 差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，

延长短的线段或在长的线

段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证明延长后的线段与某条线段相等， 截取要证明截取后剩下的线段与某条 线段相等，进而达到所证明的目的。

简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB再证明CF=CD从而达到证明 的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全等自已证明。此

题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。

例2. 已知：如图 1-3，AB=2ACZ BAD2 CAD DA=DB 求证 DC!AC

分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。 构造的方法还是截取线段 相等。其它问题自已证明

例3. 已知：如图1-4，在△ ABC中，/ C=2/ B,AD平分/ BAC求证：AB-

AC=CD

分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明 中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的 和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的 线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的 延长来证明呢？

练习

1. 已知在△ ABC中, AD平分/ BAC / B=

2/C,求证：AB+BD=AC

2.

已知：在厶 ABC中,/ CAB=/ B，AE平分/ CAB交 BC于 E，AB=2AC

求证：AE=2CE

3. 已知：在厶ABC中, AB>AC,A为/ BAC的平分线，M为AD上任一点

求证：BM-CM>AB-AC

4. 已知：D是厶ABC的/ BACK外角的平分线AD上的任一点，连接DB

DC 求证：BD+CD>AB+AC

（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线， 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明

问题。

例 1.如图 2-1，已知 AB>AD, / BAC/ FAC,CD=BC 求证：/ ADC/ B=180?

分析：可由C向/BAD的两边作垂线。近而证/ ADC与/ B之和为平角

例2.如图 2-2，在△ ABC中，/ A=90?, AB=ACZ ABD2 CBD 求证：BC=AB+AD

分析：过D作DEL BC于E,则AD=DE=CE则构造出 全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题， 从中利用了相当于截取的方法。

图2-

例3.已知如图2-3，△ ABC的角平分线BM CN相交于点 P。求证：/ BAC

2.已知在厶 ABC中, Z C=90? AD平分/ CAB CD=1.5,DB=2.5.求 AG

3. 已知：如图 2-5, Z BACZ CAD,AB>AD CE!AB

AE=2 (AB+AD .求证：Z D+Z B=1802

4. 已知：如图2-6,在正方形ABCD中, E为CD的中点, F为BC

上的点，Z FAEZ DAE 求证：AF=AD+CF

5. 已知：如图 2-7，在 Rt△ ABC中, Z ACB=90?,CLAB 垂足为 D, AE

平分Z CAB交 CD于 F,过 F 作 FH//AB 交 BC于 Ho 求证 CF=BH

C

A D B

图2-

（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线， 使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形, 垂足为底边上的中点， 该角平分线又成为底边上的中线和高， 以利用中位线的性质与等腰三 角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一 边相交）。

例 1. 已知：如图 3-1，/ BAD2 DAC AB>AC,Ct!AD于 D, H是 BC中点。 1

求证：DH— （AB-AC

2

分析：延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证

例2.已知：如图 3-2 , AB=ACZ BAC=90? AD为/ AB

C的平分线，CEL BE•求证：BD=2CE

分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的 垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角

例3.已知：如图3-3在厶ABC中，AD AE分别/ BAC的内、外角平分线,

过顶点B作BN垂直AD,交AD的延长线于F，连结FC并 延长交AE于M

求证：AM=ME

E

分析：由AD AE是/ BAC内外角平分线，可得EA

N

丄AF,从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。

图3-

例4.已知：如图3-4，在△ ABC中，AD平分/ BAC AD=AB CMLAD交AD

1

延长线于 M 求证：AM二（AB+AC

2

分析：题设中给出了角平分线AD,自然想到以AD为轴作对称变换，作△ AB

1

D关于AD的对称△ AED然后只需证DM二EC另外

2

1

由求证的结果AM二（AB+AC，即2AM=AB+AC也可 2 尝试作△ ACM关于CM的对称△ FCM然后只需证DF=C

E

F即可。

练习：

B

D

n

C

M

图3-

1. 已知：在厶ABC中,AB=5 AC=3 D是BC中

点,AE是/ BAC的平分 线，且CELAE于E,连接DE,求DE

2. 已知BE、BF分别是△ ABC的/ABC的内角与外角的平分线， AFLBF

1

于F，AE1 BE于E,连接EF分别交 AB AC于 M N,求证MN= BC

2

（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线

有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，

从而构造等腰

三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交， 从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。

C

B

图4-

2

如图，AB>AC, /仁/2,求证: AB- AC>BD- CD

C

A

1

D

例 5 如图，BC>BA BD平分/ ABC 且 AD=CD 求证：/ A+Z C=180

例 6 如图，AB// CD AE DE分别平分Z BAD各Z ADE 求证：AD=AB+CD

练习：

1.已知，如图，Z C=2/A, AC=2BC求证：△ ABC是直角三角形

c

2.已知：如图，AB=2ACZ 仁Z2，DA=DB 求证：DCLAC

B C

D

3.已知CE人。是厶ABC勺角平分线，/ B=60°,求证：AC=AE+CD

4.已知：如图在厶ABC中, Z A=90° , AB=AC BD是/ ABC的平分线，求证: BC=AB+AD

C

（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

例6.如图7,A ABC是等腰直角三角形，Z BAC=90 , BD平分Z ABC交AC 于点D, CE垂直于BD交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE

证明：延长BA CE交于点F,在A BEF和 A BEC中,

vZ 仁Z 2, BE=BEZ BEF=/ BEC=90 , •••A BEF^A BEC 二 EF=EC 从而 CF=2CE

又 Z 1+Z F=Z 3+Z F=90°,故Z 1 = Z 3。

在△ ABD和△ ACF中，I / 仁/ 3, AB=AC / BAD2 CAF=90 ,

•••△ ABD^A ACF 二 BD=CF 二 BD=2CE

注：此例中BE是等腰A BCF的底边CF的中线

（六）、借助角平分线造全等

1:如图，已知在厶 ABC中，/ B=60°，^ ABC的角平分线 AD,CE相交于点 0,求证：0E =0D

2：（06郑州市中考题）如图，△ ABC中, A D 平分/ BAC DGL BC且平分 BC, DEL AB于 E，

DF丄 AC于 F. (1)说明 BE=CF

的理由；（2）如果 AB=，AC=^，求 AE、BE

a

的长.

F

中考应用

（06北京中考）如图①，OP是/MON勺平分线，请你利用该图形画一对以 O

P所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下

列问题：

（1） 如图②，在△ ABC中,/ ACB是直角，/ B=60°，AD CE分别是/ BAC / BCA勺平分线，AD CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2） 如图③，在△ ABC中,如果/ ACB不是直角，而 ⑴ 中的其它条件不变，

请问,

理由