最新版初中数学教案《完全平方公式 2》精品教案(2022年创作)

教学目标：完全平方公式的推导及其应用；完全平方公式的几何解释；视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．

教学重点与难点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用.

教学过程：

一、提出问题，学生自学

问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a•a，那么(a+b)2 应该写成什么样的形式呢？(a+b)2的运算结果有什么规律？计算以下各式，你能发现什么规律？ 〔1〕(p+1)2 = (p+1)(p+1) = _______； (m+2)2 = _______； 〔2〕(p−1)2 = (p−1)(p−1) = _______； (m−2)2 = _______； 学生讨论，教师归纳，得出结果： (1) (p+1)2 = (p+1)(p+1) = p2+2p+1 (m+2)2 = (m+2)(m+2) = m2+ 4m+4 (2) (p−1)2 = (p−1)(p−1) = p2−2p+1 (m−2)2 = (m−2)(m−2) = m2− 4m+4

分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2•p•1，4m=2•m•2，恰好是两个数乘积的二倍(1)(2)之间只差一个符号．

推广：计算(a+b)2 = __________；(a−b)2 = __________. 得到公式，分析公式

结论： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2

即：两数和〔或差〕的平方，等于它们的平方和，加〔或减〕它们的积的2倍．

二、几何分析：

你能根据图(1)和图(2)的面积说明完全平方公式吗？

图(1)大正方形的边长为(a+b)，面积就是(a+b)2，同时，大正方形可以分成图中①②③④四个局部，它们分别的面积为a2、ab、ab、b2，因此，整个面积为a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2，即说明(a+b)2 = a2+2ab+b2.

类似地可由图(2)说明(a−b)2 = a2−2ab+b2. 三、例题：

例1．应用完全平方公式计算：

1 (1)( 4m+n)2 (2)(y−)2 (3)(−a−b)2 (4)(b−a)2

2 解答：(1)( 4m+n)2 = 16m2+8mn+n2 (2) (y−

121) = y2−y+ 24 (3) (−a−b)2 = a2+2ab+b2 (4) (b−a)2 = b2−2ba+a2

例2．运用完全平方公式计算： (1)1022 (2)992

解答：(1)1022 = (100+2)2 = 10000+400+4 = 10404 (2)992 = (100−1)2 = 10000−200+1 = 9801 四、添括号法那么在公式里的运用

问题：在运用公式的时候，有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体，把另外一个多项式看作另外一个整体，例如：(a+b+c)(a−b+c)和(a+b+c)2，这就需要在式子里添加括号；那么如何加括号呢？它有什么法那么呢？它与去括号有何关系呢？

学生回忆去括号法那么，在去括号时：a+(b+c) = a+b+c，a−(b+c) = a−b−c 反过来，就得到了添括号法那么：a+b+c = a+(b+c)，a−b−c = a−(b+c) 理解法那么：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．也是：遇“加〞不变，遇“减〞都变．

总结：添括号法那么是去括号法那么反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，•所以我们可以用去括号法那么验证所添括号后的代数式是否正确． 五、小结：

1．完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项为哪一项左边二项式中两项乘积的2倍．

2．添括号法那么：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．利用添括号法那么可以将整式变形，从而灵活

利用乘法公式进行计算，灵活运用公式进行运算.

第4课时 教学内容

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P〔x，y〕，关于原点的对称点为P′〔-x，-y〕及其运用．

教学目标

理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P〔x，y〕关于原点的对称点为P′〔-x，-y〕的运用． 复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．

重难点、关键

1．重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P〔x，y〕•关于原点的对称点P′〔-x，-y〕及其运用．

2．难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．

教具、学具准备

小黑板、三角尺

教学过程

一、复习引入

〔学生活动〕请同学们完成下面三题．

1．点A和直线L，如图，请画出点A关于L对称的点A′．

2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ADC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．

3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形． 老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．〔略〕 二、探索新知

〔学生活动〕如图，在直角坐标系中，A〔-3，1〕、B〔-4，0〕、C〔0，3〕、•D〔2，2〕、E〔3，-3〕、F〔-2，-2〕，作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并答复：

这些坐标与点的坐标有什么关系？ 老师点评：画法：〔1〕连结AO并延长AO 〔2〕在射线AO上截取OA′=OA

〔3〕过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″． ∵△AD′O与△A′D″O全等 ∴AD′=A′D″，OA=OA′ ∴A′〔3，-1〕

同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标．

〔学生活动〕分组讨论〔每四人一组〕：讨论的内容：关于原点作中心对称时，•①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？

提问几个同学口述上面的问题．

老师点评：〔1〕从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．〔2〕坐标符号相反，即设P〔x，y〕关于原点O的对称点P′〔-x，-y〕．

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， 例1．如图，利用即点P〔x，y〕关于原点O的对称点P′〔-x，-y〕． 对称的点的坐关于原点

标的特点，作出与线段AB•关于原点对称的图形． 分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可．

解：点P〔x，y〕关于原点的对称点为P′〔-x，-y〕， 因此，线段AB的两个端点A〔0，-1〕，B〔3，0〕关于原点的对称点分别为A′〔1，0〕，B〔-3，0〕．

连结A′B′．

那么就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′． 〔学生活动〕例2．△ABC，A〔1，2〕，B〔-1，3〕，C〔-2，4〕利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．

老师点评分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，•依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′． 三、稳固练习 教材 练习． 四、应用拓展

例3．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1．

〔1〕在图中画出直线A1B1．

〔2〕求出线段A1B1中点的反比例函数解析式．

〔3〕是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b〔我们发现互相平行的两条直线斜率k值相等〕它与双曲线只有一个交点，假设存在，求此直线的函数解析式，假设不存在，请说明理由． 分析：〔1〕只需画出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1、B1，连结A1B1． 〔2〕先求出A1B1中点的坐标，设反比例函数解析式为y=

k代入求k． x〔3〕要答复是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明．这一条直线是存在的，因此A1B1与双曲线是相切的，只要我们通过A1B1的线段作A1、B1关于原点的对称点A2、B2，连结A2B2的直线就是我们所求的直线． 解：〔1〕分别作出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1〔1，0〕，B1〔2，0〕，连结A1B1，那么直线A1B1就是所求的． 〔2〕∵A1B1的中点坐标是〔1，

1〕 2 设所求的反比例函数为y=那么

k x1k1=，k= 2121 ∴所求的反比例函数解析式为y=2

x〔3〕存在．

∵设A1B1：y=k′x+b′过点A1〔0，1〕，B1〔2，0〕

b`11b` ∴ ∴1

k`02kb2 ∴y=-

1x+1 2把线段A1B1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线． 根据点P〔x，y〕关于原点的对称点P′〔-x，-y〕得： A1〔0，1〕，B1〔2，0〕关于原点的对称点分别为A2〔0，-1〕，B2〔-2，0〕 ∵A2B2：y=kx+b

11bk ∴ ∴2

02k`bb1∴A2B2：y=-

1x-1 211 下面证明y=-x-1与双曲线y=2相切

2x1yx11212x+2=-1 -x-1=12xx2yx x2+2x+1=0，b2-4ac=4-4×1×1=0

11 ∴直线y=-x-1与y=2相切

2x∵A1B1与A2B2的斜率k相等

∴A2B2与A1B1平行 ∴A2B2：y=-

1x-1为所求． 2五、归纳小结〔学生总结，老师点评〕 本节课应掌握：

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P〔x，y〕，•关于原点的对称点P′〔-x，-y〕，及其利用这些特点解决一些实际问题． 六、布置作业

1．教材 复习稳固3、4． 2．选用作业设计．

作业设计

一、选择题

1．以下函数中，图象一定关于原点对称的图象是〔〕 A．y=

1 B．y=2x+1 C．y=-2x+1 D．以上三种都不可能 x2．如图，矩形ABCD周长为56cm，O是对称线交点，点O到矩形两条邻边的距离之差等于8cm，那么矩形边长中较长的一边等于〔〕

A．8cm B．22cm C．24cm D．11cm 二、填空题

1．如果点P〔-3，1〕，那么点P〔-3，1〕关于原点的对称点P′的坐标是P′_______． 2．写出函数y=-

33与y=具有的一个共同性质________〔用对称的观点写〕． xx三、综合提高题

1．如图，在平面直角坐标系中，A〔-3，1〕，B〔-2，3〕，C〔0，2〕，画出△ABC•关于x轴对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于y轴对称的△A″B″C″，那么△A″B″C″与△ABC有什么关系，请说明理由．

2．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且A〔0，3〕，B〔3，0〕，现将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1． 〔1〕在图中画出直线A1B1；

〔2〕求出过线段A1B1中点的反比例函数解析式；

〔3〕是否存在另一条与直线A1B1平行的直线y=kx+b〔我们发现互相平行的两条直线斜率k相等〕它与双曲线只有一个交点，假设存在，求此直线的解析式；假设不存在，请说明不存在的理由． 答案:

一、1．A 2．B 二、1．〔3，-1〕 2．答案不唯一 参：关于原点的中心对称图形． 三、1．画图略，△A″B″C″与△ABC的关系是关于原点对称． 2．〔1〕如右图所示，连结A1B1； 〔2〕A1B1中点P〔1.5，-1.5〕，设反比例函数解析式为y=

k2.25，那么y=-．

xx〔3〕A1B1：设y=k1x+b1∴y=x+3

b13k11 03k13b132.25相切的直线是A1B1•旋转而得到的． xy4321-4-3-2-1-1∵与A1B1直线平行且与y=∴所求的直线是y=x+3，

AB(A)3xO12下面证明y=x+3与y=-

2.25相切， xx2+3x+2.25=0，b2-4ac=9-4×1×2.25=0，

2.25∴y=x+3与y=-相切． x