直线与方程专题(高三)

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专题二、直线与方程

一、知识要点：

1、 直线的斜率：倾斜角不是90°的直线．

它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率． 直线的斜率常用k表示，即 ktan

2、 直线的斜率公式：在坐标平面上，

已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)， 由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是 确定的．当x1≠x2时，直线的倾角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率？

P2分别向x轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q⊥P2M，垂足分别是M1、M2、Q．那么： α=∠QP1P2(图甲)或α=π-∠P2P1Q(图乙)

QP2y2y1在图甲中：tan P1Qx2x1在图乙中：

tantanP2P1Q

QP2y2y1 QP1x2x 如果P1P2向下时，用前面的结论课得：tany1y2y2y1 x1x2x2x综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式：

3、直线的点斜式方程：

yy0k(xx0) ………… ①

其中(x0,y0)为直线上一点坐标，k为直线的斜率。

方程①是由直线上一定点及其斜率确定，叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 y 4、直线斜截式方程：

l ykxb ………… ②

1

o b x

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我们把直线l与y轴交点（0，b）的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距(即纵截距)。方程②是由直线l的斜率k和它在y轴上的截距b确定的，所以叫做直线斜截式方程，简称为斜截式。 5、直线方程的两点式：

yy1xx1(x1x2,y1y2)

y2y1x2x1其中x1,y1,x2,y2是直线两点(x1,y1),(x2,y2)的坐标. 6、直线方程的截距式：

xy1,其中a,b分别为直线在x轴和y轴上截距. ab7、直线方程的一般形式：Ax+By+C=0 （A、B不全为0） 8、两条直线的交点坐标： 设两直线的方程是

l1： A1x+B1y+C1=0， l2： A2x+B2y+C2=0．

(2)当A1B2-A2B1=0时：方程无解，即两直线平行.

9、两点间的距离公式： 思考题1、如图（1），求两点A（—2，0），B（3，0）间的距离。

即：AB3(2)5

y 3 2 y 3 A' • B 1 2 2 1 A -2 • 1 -1 o -1 - • A B 1 2 3 x -2 • -1 o -1 -2 • 3 x （图1） (图2)

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思考题2、将图（1）中的A点移到第二象限A'2,2处。如何求A'、B间的距离？ 思考题3、将图（2）中的B点移到第三象限B'3,2处。怎样求A',B'间的距离? y y 3 3 N2 P 2 2 2 1 B 1 M2 3 x -1 O1 2 -1 O 1 -2 -1 -1 -2 B' -2 Q N1 （图3） （图4）

A' A • -2 2 3 x M1

C • • P1

在图（4）中构造出一个直角△P1QP2

∵P1QM1M2x2x1，P2QN1N2y2y1 ∴P1P210、点到直线的距离：

例题：过点P0(x0,y0)作直线l的垂线，垂足为Q。求P0到直线l的距离 （1）若直线l∥x轴，即：A=0，直线l的方程AxByC0为： P(x2x1)2(y2y1)2 1QP2Q22yC (∵B≠0). BC。 B点P0到直线l的距离dy0（2）若直线l⊥x轴，即：B=0，直线l的方程AxByC0为：

yC (∵A≠0). AC。 A点P0到直线l的距离dx0

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A（3）若直线l不平行x轴，也不垂直x轴，则直线l的斜率是。 y BBQ直线P的方程为yy(xx0)， 00A即：BxAyBx0Ay0。

与直线l的方程AxByC0联立，得方程组

lQ P0O x P0QAxByC0BxAyBx0Ay0

。

Ax0By0CAB22l因此，点P0(x0,y0)到直线：AxByC0的距离为：

dAx0By0CAB22 例1、已知点A(1,3),B(3,1),C(1,0)，求ABC的面积。（如下图）

C

例2、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 y

D(b,c)

A(0,0)

4

y A h B O x C(a+b,c) B(a,0) x

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直线与方程习题

一、填空题

1．如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是?

2．若Pa，b、Qc，d都在直线ymxk上，则PQ用a、c、m表示为?

3．直线l与两直线y1和xy70分别交于A,B两点，若线段AB的中点为M(1,1)，则直线

l的斜率为?

4．△ABC中，点A(4,1),AB的中点为M(3,2),重心为P(4,2)，则边BC的长为？

5．若动点P到点F(1,1)和直线3xy40的距离相等，则点P的轨迹方程为？

6．已知直线l1:y2x3,l2与l1关于直线yx对称，直线l3⊥l2，求l3的斜率.

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7．直线xy10上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转900得直线l，则直线l的方程是 ．

8．一直线过点M(3,4)，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是__________．

9．点P(x,y)在直线xy40上，则xy的最小值是________________

10．当0k

11．直线l过原点且平分ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4),D(5,0)，则直线l的方程为________________

221时，两条直线kxyk1、kyx2k的交点在 象限． 212．已知直线l与直线3x+4y－7=0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为________________

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二、解答题

1．求经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0,5)到它的距离相等的直线方程。

2．已知直线l:2xy10和点A（-1，2）、B（0，3），试在l上找一点P，使得PAPB的值最小，并求出这个最小值。

3．已知点A(1,1)，B(2,2)，点P在直线y最小值时P点的坐标。

4．求函数f(x)122x上，求PAPB取得 2x22x2x24x8的最小值。

5.设直线方程为（2m＋1）x＋（3m－2）y－18m＋5 = 0，求证：不论m为何值时，所给的直线经过

一定点。

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