聚焦水轮问题 三角函数的应用 ——江苏省无锡市青山高级中学 张启兆 吴祺 三角函数能够模拟许多周期现象，在解决实际问题中有着广泛的应用．水轮问题是一道 经典的三角函数应用题，今天我就和同学们谈谈水轮问题的思考过程，相信你们能触类旁 通，学会解三角函数的应用题． 例题 半径４ ｍ 的水轮如图１所示，水 轮的圆心０距离水面 是什么现象？ 学生２这是一个常见的匀速圆周运动 的周期现象． 老师 我们所学的函数模型当中有描 图１ ２ ｍ，已知水轮每分钟 逆时针转动４圈，如果 述周期现象的吗？ 学生３三角函数模型！它是描述周期 当水轮上点Ｐ从水中浮现（图１中点Ｐ。）开 始计算时间． （１）将点Ｐ距离水面的高度ｚ（ｍ）表示 为时间ｔ（ｓ）的函数； 现象的重要数学模型． 老师 找到模型，问题就解决一半了！ 可别高兴得太早，接下来怎么表示出数量关 （２）点Ｐ第一次到达最高点要多长 系呢？在解决问题方向明确的情况下，进一 时间？ 步审题，理解题意． 老师 请同学们仔细审题，读题时把关 键词画出来，并由已知联想，由目标逆推． 阑ｌ麓 是什么意思？ 水轮每分钟逆时针转动４圈 先从目标出发，第（１）小题的目标是什 么？你可以在图形中画出来吗？ 学生１ 如图２， 过点Ｐ作水面的垂线， 垂足为Ｈ，即ｚ—ＰＨ 学生４水轮每分钟逆时针转动４个周 角或者转动４个圆周长． 老师 可以与什么相类比？实质是 什么？ ’ 学生５可以与速度相类比，实质是转 动的速度． 为所求． 老师 为了能够 求出ｚ—ＰＨ的表达 图２ 老师这个转动的速度怎样求？ 式，我们再从已知出发，先来回答下面的 问题： ｔ学生６转１圈需要挈一１５（ｓ），转的速 ‘士 度为 ｒａｄ／ｓ． 镧 水轮匀速旋转，联想一下这 老师水轮转１圈需要的时间就是周 Ｎｅｗ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｅｎｔｒａｎｃｅ Ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ Ｚｌ 期Ｔ＝１５ ｓ，转的速度为等ｒａｄ／ｓ，实际上是 有其他的刻画方法？ 角的转动速度，联想到周期公式Ｔ一 ，即∞ ＝ ， 就是角转动的速度，物理中叫做角 速度． 除了用角度来刻画点Ｐ的运动外，有没 学生８还可以用点Ｐ的坐标（ ， ）来 刻画它的位置． 老师请问上面的两种刻画方法有内 在的联系吗？ 点Ｐ做匀速圆周运动，怎样 刻画在圆周上运动的点Ｐ的位置？你联想 到什么？ 学生７用角来刻画点Ｐ的运动． 学生８设以Ｏｘ为始边，ＯＦ为终边的 角为ａ，根据三角函数的定义有ＣＯＳ ａ一÷， ｓｉｎ ａ 。 ， —ｒｃ。ｓ ａ，ｙ＝ｒｓｉｎ Ｏｒ￣ 老师具体说说，用哪个角来刻画？ 现在我们回到本题的目标， 怎样求 —ＰＨ的表达式？ 学生７用 Ｐ。０Ｐ来刻画． 老师怎样计算 Ｐ。ＯＰ？请同学们注 学生９ 如图３，设ＰＨ与Ｘ轴的交点 为Ｍ，将ＨＰ看成有向线段，它是两条有向 线段ＨＭ，ＭＰ的和，即ＨＰ：ＨＭ＋ＭＰ， ｚ—ＨＰ＝ＨＭ＋ＭＰ一２＋ｙ一２＋４ｓｉｎ口，其 中口＝ Ｐ００Ｐ一 Ｐ０Ｏｘ． 老师怎样求 Ｐ。Ｏｘ？ 意水轮上点Ｐ从水中浮现（图１中的点Ｐ。） 开始计算时间． 学生７ Ｐ。ｏＰ一 嚣￡． 老师通常情况下，我们以水平线作参 照方向．再想想：还可以用哪个角来刻画更 恰当？ 学生８用 ｘＯＰ来刻画． 。 １学生９设 Ｐｏ０ ： ，则ｓｉｎ ： ＝ 老师 可是我给出的图中没有字母 Ｘ呀！ ，￣ＺＰｏＯｘ一詈． 老师 经过同学们的共同努力，我们求 学生８建立平面直角坐标系． 老师怎样建立？ 出了ｚ＝４ｓｉｎ（警￡～詈）＋２，条理清晰，解决 了第（１）问．我们不得不感叹几何图形的 魅力！ 学生８以圆心０ 为坐标原点，水平的直 线为ｚ轴，建立直角坐 标系（图３）． ｙ Ｉ 老师我们反思一下： ①水轮问题，可以抽象概括为哪类数学 问题？ 老师 这样建立 坐标系有什么好处？ 学生８便于角的 表示和利用三角函数的定义． 老师一 （点在圆上作匀速圆周运动的问题．） ②你认为解题的关键是什么？ （解题的关键是如何刻画点Ｐ在圆上的 讲得很好．圆周运动常用的建系 运动，可以用两种方法，一是用角，二是用直 方法是以圆心为原点建系，有利于表示角和 角坐标，然后用三角函数定义建立它们的 三角函数． ＩＯ Ｎｅｗ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｅｎｔｒａｎｃｅ Ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ 联系） ③能否规定ｌ １＜号？此时以Ｏｘ为始 边，ＯＰ为终边的角如何表示？ 瓣 同学 们，请把上述ｚ关于ｔ 的各种函数关系用一 个函数式来概括． 学生１２ 可以概 （可以规定Ｉ Ｉ＜詈，此时以Ｏｘ为始边， ＯＰ为终边的角为 ＋ ） 现在我们来研究第（１）题的变式． 如图４，如果水上涨了，水面 括成 —Ａｓｉｎ（叫￡＋ ） ＋ｋ． 图６ 辫 我们建立了刻画周期现象的 刚好过圆心，Ｐ。在水面下方，到水面的距离 是２ ｍ，如果从Ｐ０开始计时，其他条件不变， 请将点Ｐ距离水面的高度ｚ（ｍ）表示为时间 ｔ（ｓ）的函数． 学生１０ 还是ｚ ｌ－－４ｓｉｎ（ 一詈）． 老师 通过前面 、一 一的学习，大家知道了简 ｔ 一 —厂 —— ＝—＿／Ｊ 一 谐运动的位移ｓ与时 间ｔ的函数关系是ｓ— ＡｓｉｎＧｏｔ＋￣ｏ），实际上ｚ 图４ ：＝：４ｓｉｎ（ ｔＢ詈）也表 ｌ · 示了一个简谐运动的 位移ｓ与时间ｔ的函数 关系．也就是，此时，当 点Ｐ在圆周上做匀速 ～ 圆周运动时，点Ｐ在ｙ 轴上的投影Ｐ 在 轴 图５ 上做简谐运动．这个圆叫做简谐运动的参考 圆（图５）． 瀵 如图６，Ｐ。在水面上方，到水 面的距离是４ ｍ，如果从Ｐ。开始计时，其他 条件不变，请将点Ｐ距离水面的高度 （ｍ） 表示为时间￡（ｓ）的函数． 学生１１ 是ｚ一４ｓｉｎ（等 ＋詈）＋２． 三角函数模型Ｙ＝Ａｓｉｎ（ｃｃＪ￡＋ ）＋ｋ，请你结 合水轮问题说说字母Ａ， ， ，ｋ的具体含义． 学生１３ Ａ是圆的半径， 是角速度， 是初相（开始旋转的始边ＯＰ。与 正半轴所 成的角），当ＯＰ。在．２７轴上方时， 的取值是 正的；当ＯＰ。在ｚ轴下方时， 的取值是负 的；当ＯＰ。落在ｚ正半轴上时， 的取值是 ０．ｋ是圆心到水面的距离． ‘老师这位同学总结得很好，我们把掌 声送给他． 你准备如何解决例题的第（２）小问？ 学生１４令４ｓｉｎ（篝￡一詈）＋２—６，得 ｓｉｎ（警￡一詈）一１，取 １５￡一詈一号，得￡ ５， 故点Ｐ第一次到达最高点大约需要５ ｓ． 老师 很好！今天我们研究了三角函 数的应用，那么解决三角函数应用问题的一 般程序是什么？ 学生ｌ５实际问题通常按“实际问题一 建立数学模型一得到数学结果一解决实际 问题”的程序进行，其中建立数学模型是 关键． 老师 水轮问题的本质是什么？我们 是如何解决水轮问题的？ 学生１６水轮问题的本质是匀速圆周运 动，而圆周运动的本质是周期现象，所以我们 才联想到利用三角函数模型解决水轮问题． Ｎｅｗ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｅｎｔｒａｎｃｅ Ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ ３ｌ