最大公约数与最小公倍数(正式)

基本概念：

1、公约数和最大公约数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。

一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。 2、公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，… 18的倍数有18，36，72，90，…

12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和 18的最小公倍数。

一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。 3、最大公约数与最小公倍数的求法 A．最大公约数

求两个数的最大公约数一般有以下几种方法 （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）辗转相除法 （4）小数缩倍法 （5）公式法

前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。 当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。 B．最小公倍数

求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法： （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）大数翻倍法 （4）a×b=（a,b）×[a,b]

上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。

例1、437与323的最大公约数是多少？

LX1、24871和3468的最小公倍数是多少？

例2、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。至少能剪 块。

【分析】根据题意，剪得的小正形的边长必须是90和42的最大公约6。所以原长方形的长要分90÷6＝15段，宽要分42÷6＝７段，至少能剪17×７＝105（块） 解：（１）求90和42的最大公约数 2 90 42

3 45 21 15 7 （90，42）＝60 （2）求至少剪多少块正方形铁板 90÷6＝15 45÷6 ＝7

15×7＝105（块） 至少可以剪105块正方形铁板。

说明：用短除法求小数的最大公约数比较容易。

LX2、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果每束花里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？

例3、38支钢笔，41只计算器，平均奖给四、五年级评比的优秀学生，结果钢笔多出2支，计算器差1只。问：评出的优秀学生最多有几人？

LX3、有甲、乙两个互相衔接的齿轮，甲轮有437齿，乙轮有323齿，甲的某一齿与乙的某一齿从第一次接触到第二次接触，需要各转几周？

例4、10个自然数之和等于1001，求这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少？

LX4、66个自然数的和是6666，这66个数的最大公约数最大能是多少？ 【分析】最大公约数为101

例5、甲、乙、丙三人定期向王老师求教。甲每隔6天去一次，乙每隔8天去一次，丙每隔9天去一次。如果6月17日他们三人都在王老师家见面，那么下一次三人都在王老师家见面的时间是几月几日？

LX5、加工一种零件有三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成48个，第二道工序每个工人每小时可完成32个，第三道工序每个工人每小时可完成28个。在每道工序至少安排多少工人，才能搭配合适，使每道工序不产生积压或停工待料。

例6、有一堆苹果共五千多个，按10个装一袋，装到最后少一个；9个装一带，最后还少1个；按8个，7个，…，2个装一袋，总是少1个。这堆苹果到底有多少个？

LX6、能同时被2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数整除的最大六位数是多少？

例7、三个连续的自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和等于 。 【分析】 168=2×3×7，因此这三个连续自然数是6，7，8。和为6+7+8=21.

LX7、四个连续自然数的最小公倍数是60，这四个数和是（ ）。 （北京市第十一届迎春杯数学竞赛刊赛试题） 【分析】600=2×3×5×7×13

12+13+14+15=

例8、53，27和42三个数被同一个数除，所得商的和为9，余数和为14，求各自的商及余数。

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LX8、在一根长棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总和被锯成多少段？

课后练习

1、用长5厘米、宽3厘米的长方形铁片，摆成一个正方形（中间没有空隙），至少要用多少块这种长方形铁片？

2、有一些糖果平均分成若干包，每包10粒余9粒，每包12粒余11粒，每包15粒余14粒。这些糖果最少有多少粒？

3、有一种自然数，它加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍数，加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数。则这种自然数中除1以外，最小数是多少？

4、同时能被3，5，7和13除余1的最小五位数是多少？

5、求被4除余1，被5除余2，被6除余3的最小自然数。

6、小明的储蓄罐里存有2分和5分的硬币，他把这些硬币倒出来，估计有五六元钱，小明把这些硬币分成钱数相等的两堆，第一堆2分和5分的硬币个数相等；第二堆2分和5分的钱数相等。你知道小明存了多少钱吗？

7、一次会餐，每两人合用一只饭碗，三人合用一只菜碗，四人合用一只汤碗。会餐共用了65只碗，问：参加会餐的人数是多少？

8、在一条长96米的路两侧，计划每隔4米栽一棵树。画好“记号”后发现 距离过近，改为每隔6米栽一棵树，还要重新做多少个“记号”？

9、把一批苹果分给幼儿园大小两个班，平均每人可分得6个。如果只分给大班，每人可分得10个，如果只分给小班，每人可分得几个苹果？