八年级上册 等边三角形(学生版)

初中数学 等边三角形

班别：初中数学 姓名：

等边三角形讲之篇

【教学目标】 1、知识目标：

了解等边三角形的概念，探索并掌握等边三角形的性质、判定方法. 2、能力目标：

（1）经过运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维.

（2）经过探索、猜想、证明、归纳等数学活动过程，发展逻辑推理能力. 3、情感态度与价值观：

激发学生积极参与数学学习活动的兴趣，培养学生良好的创新意识. 【教法指导】

在此之前，学生们已经学习了轴对称图形和等腰三角形有关知识 ,这为过渡到本节

内容的学习起到了铺垫的作用.本节内容在教材中具有不容忽视的重要的地位，本课学习不仅是学生进一步认识特殊的轴对

称图形——等边三角形，更是今后证明角相等、线段相等的重要工具，在整个教材中起到了承上启下的作用. 【教学过程】 ☆温故知新☆ 叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的? 等腰三角形的两个底角相等，也可

以简称“等边对等角”.把等腰三角形对折，折叠两部分是互相重合的，即AB与AC重合，点B与点 C重合，线段BD与CD也重合，所以∠B＝∠C.

等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三线合一”.由于AD为等腰三角形的对称轴，所以BD＝ CD，AD为底边上的中线；∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD又为底边上的高，因此“三线合一”. ☆探究新知☆ 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等.我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

1

等边三角形具有什么性质呢?

1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想. 2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的? 等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等

角的性质得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°.

3．上面的条件和结论如何叙述?

等边三角形的各角都____，并且每一个角都等于____. 三个角都相等的三角形是____三角形

有一个角是60°的等腰三角形是_____三角形，也称为正三角形. ☆尝试应用☆ 1．如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE= 度．

2．等边ABC的两条角平分线BD和CE交于点O，则BOC等于_______度． ☆成果展示☆ 在如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P（1）求证：CE=BF； （2）求∠BPC的度数．

2

☆能力提升☆ 如图，已知等边△ABC和等边△PAF，过P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连接PQ交AC边于D，当PA=CQ，AB=1时，求DE的长

☆课堂小结☆

☆课堂提高☆ 1．如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）

A．45° B．55° C．60° D．75°

2.在等边△ABC中，D是BC的中点，点E是AC上一点，且AE=AD，则∠EDC的大小是（ ）

3

A．10° B．15° C．20° D．25°

3．（2015秋•盐都区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AB，BD=AB，则∠DCB= ．

4． 如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA长为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠AOC= _________度．

5．如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，求∠BDC的大小.

等边三角形练之篇

课堂练习：

1．在等边△ABC中，D是边

AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（ ）

A. AE∥BC B. ∠ADE=∠BDC C. △BDE是等边三角形 D. △ADE的周长是9

4

2．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ，则∠CPQ度数为（ ）

A．75° B．60° C．55° D．45° 3．已知ΔABC是等

边三角形，点D、E分别在AC、BC边上，且AD=CE，AE与BD交于点F，则∠AFD的度数为（ ）

A．60° B．45° C．75° D．70° 4.如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α= ．

5．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是

度．

6.如图，已知：B是线段AD上的一点，△ABC、△BDE均为等边三角形，AE交BC于P，CD交BE于Q．求证： （1）AE=CD； （2）BP=BQ； （3）PQ∥AD

5

课后练习：

1．如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹锐角为25°,则∠α的度数为（ ）

A．25° B．45° C. 35° D. 30°

2．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…

均为等边三角形，若OA1=1，则△A5B5A6的边长为（ ）

A．6 B．16 C．32 D．64 3．

如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（ ）

6

A．PD=DQ B．DE=AC C．AE=CQ D．PQ⊥AB 4．设O是等边三角形ABC内一点，已知∠AOB=1150，∠BOC=12

50,则在以线段OA,OB,OC为边构成的三角形中，内角不可能取到的角度是（ ） A．650 B．600 C．450 D．700 5.如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转

，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是 ．

6．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时

能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm．

7．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E在BC的延长线上，G是AC上一点，且CG=CD，F是GD上一点，且DF=DE，则∠E= 度．

8.如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB、CD于点E、F，则EF的长度为 ．

9.已知∠AO

B=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是 三角形．

7

10.探究：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE， 结论：

（1）∠AEB的度数为 ；

（2）线段AD、BE之间的数量关系是 ．

应用：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

等边三角形测之篇

（时间：25分，满分60分）

班级 姓名 得分

1.（5分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE. AC，BE相交于点F，则∠BFC为【 】

A．45° B．55° C．60° D．75°

2．（5分）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（ ）

8

A．45° B．55° C．60° D．75°

3．（5分）如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，则AE与CD的大小关系为（ ）

A．AE=CD B．AE＞CD C．AE＜CD D．无法确定

4．（5分）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（ ）

A．d＞h B．d＜h C．d=h D．无法确定

5．（5分）如图，等边三角形ABC的边长为1cm，DE分别是AB、AC上的点，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在点A/处，且点A/在△ABC外部，则阴影部分的周长为（ ）

AEDBA/C

A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm 6. （5分）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD= °．

9

7．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△AA1C1是边长为1的等边三角形，点C1在y轴的正半轴上，以AA2=2为边长

画等边△AA2C2；以AA3=4为边长画等边△AA3C3，…，按此规律继续画等边三角形，则点An的坐标为 ．

8．（5分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= ．

9. （10分）已知：如图，在等边三

角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD．求证：BD=DE．

10

10．（10分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．

（1）求证：AD=CE； （2）求∠DFC的度数．

1 1