江苏省宿迁市沭阳县银河学校2015届高三上学期开学数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．（5分）函数f（x）=sin（ωx﹣
）的最小正周期为
，其中ω＞0，则ω=．
2
2．（5分）若复数z=a﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a=．
x
3．（5分）若A={x∈Z|2≤2≤16}，B=（3，4，5}，则A∩B=．
4．（5分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）中，若以其焦点为圆心，半实轴长为半径的
圆与渐近线相切，则其渐近线方程为． 5．（5分）如果数据x1，x2，x3，„，xn的方差是a，若数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，„，3xn﹣2的方差为9，则a=． 6．（5分）执行如图所示程序框图，若p=80，则输出的n的值为．
7．（5分）如果投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为x和y，则logx（y﹣1）=1的概率为． 8．（5分）若f（x）是R上的增函数，且f（﹣1）=﹣4，f（2）=2，设P={x|f（x+t）＜2}，Q={x|f（x）＜﹣4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是． 9．（5分）正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为
的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于cm．
3
- 1 -
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10．（5分）若方程+=1，a∈[1，5]，b∈[2，4]表示焦点在x轴上且离心率小于的椭
圆，则z=a+b的最小值为．
22
11．（5分）已知f（x）=|x﹣9|+x+kx，若关于x的方程f（x）=0在（0，4）上有两个实数解，则k的取值范围是．
222
12．（5分）已知圆C过点P（1，1），且与圆M：（x+2）+（y+2）=r（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．若Q为圆C上的一个动点，则
13．（5分）已知函数f（x）=x+x+（2a﹣1）x+a﹣a+1若函数f（x）在（1，3]上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为．
14．（5分）已知函数f（n）=
二、解答题：本大题共6小题，共90分.
15．（14分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（1，2），=（cos2A，cos），且
2
3
2
2
•的最小值为．
，且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+„+a2014=．
=1．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=2a=2，求证：△ABC为等边三角形． 16．（14分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E、F分别是A1C1BC的中点．
（1）证明：平面AEB⊥平面B1CF；
（2）设P为线段BE上一点，且EP=2PB，求三棱锥P﹣B1C1F的体积．
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17．（14分）设椭圆方程+=1（a＞b＞0），椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且
垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2． （1）求椭圆方程；
（2）若M，N是椭圆C上的点，且直线OM与ON的斜率之积为﹣，是否存在动点P（x1，y1），若
=
+2
，有x1+2y1为定值．
2
2
18．（16分）某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD=60°
（1）若CD=x，BC=y，将支架的总长度表示为y的函数，并写出函数的定义域．（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）
（2）如何设计AB，CD的长，可使支架总长度最短．
19．（16分）若数列{an}的前n项和为Sn，且满足等式an+2Sn=3．
（1）能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项，说明理由；
（2）能否从数列中依次抽取一个无限多项的等比数列，且使它的所有项和S满足
，如果这样的数列存在，这样的等比数列有多少个？
32x
20．（16分）已知函数f（x）=（x﹣6x+3x+t）e，t∈R． （1）若函数y=f（x）有三个极值点，求t的取值范围；
2
（2）若f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值，且a+c=2b，求f（x）的零点； （3）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，试求正整数m的最大值．
三、[选做题]本题包括21、22、23、24四小题，每小题10分；请选定其中两题作答（选修4-1：几何证明选讲） 21．（10分）在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．求证：AP•AD=AB•AC
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四、（选修4-2：矩阵与变换）
22．（10分）△ABC的顶点A（1，2），B（3，3），C（2，1），求在矩阵所得图形的面积． 五、（选修4-4：坐标系与参数方程） 23．已知直线l1：
（t为参数）和直线l2：x﹣y﹣2
=0的交于点P．
对应的变换下
（1）求P点的坐标；
（2）求点P与Q（1，﹣5）的距离． 六、（选修4-5：不等式选讲） 24．设a，b是正数，证明：
≥
•
．
七、【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分. 25．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上． （Ⅰ）求证：AD⊥BF：
（Ⅱ）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （Ⅲ）若二面角D﹣AP﹣C的余弦值为
，求PF的长度．
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26．（10分）数列{an}满足an+1=2an﹣1，aN=1且aN﹣1≠1，其中N∈{2，3，4，„} （1）求证：|a1|≤1； （2）求证：a1=cos
（k∈Z）．
2
江苏省宿迁市沭阳县银河学校2015届高三上学期开学数学试卷 参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．（5分）函数f（x）=sin（ωx﹣
）的最小正周期为
，其中ω＞0，则ω=6．
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由已知及周期公式有T=
=
从而可解得ϖ=6． =
⇒ϖ=6．
解答： 解：由已知及周期公式有T=
故答案为：6．
点评： 本题主要考察了正弦函数的周期公式的应用，属于基础题．
2
2．（5分）若复数z=a﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a=1．
考点： 复数的基本概念． 专题： 计算题．
分析： 根据纯虚数的定义，得到实部为0，虚部不为0列出不等式和方程，解不等式组求出a的值．
2
解答： 解：∵复数z=a﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数 ∴
解得
∴a=1
故答案为：1
点评： 本题考查纯虚数的定义，本题解题的关键是根据复数的基本概念列出不等式组，这种类似的题目还有复数是一个实数，是一个虚数等，本题是一个基础题．
x
3．（5分）若A={x∈Z|2≤2≤16}，B=（3，4，5}，则A∩B={3，4}．
考点： 指数函数单调性的应用；交集及其运算． 专题： 集合．
分析： 解指数不等式求出集合A，结合集合B=（3，4，5}和交集的定义，可得A∩B．
x
解答： 解：∵A={x∈Z|2≤2≤16}={x∈Z|1≤x≤4}={1，2，3，4}，
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B=（3，4，5}， ∴A∩B={3，4}， 故答案为：{3，4}．
点评： 本题考查的知识点是指数不等式的解法，集合的交集运算，其中求出集合A是解答的关键．
4．（5分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）中，若以其焦点为圆心，半实轴长为半径的
圆与渐近线相切，则其渐近线方程为y=±x．
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 设出双曲线的焦点F和渐近线方程，利用圆心F到渐近线的距离是d=r，求出a与b的关系，即得渐近线方程．
解答： 解：设双曲线的焦点为F（c，0），渐近线方程为y=±x， 化为直线的一般形式为bx±ay=0； ∴圆心F（c，0）到渐近线的距离是： d=
=a；
即=a，
∴a=b；
∴渐近线方程为y=±x． 故答案为：y=±x．
点评： 本题考查了双曲线的标准方程与几何性质的应用问题，也考查了点到直线的距离的应用问题，是基础题． 5．（5分）如果数据x1，x2，x3，„，xn的方差是a，若数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，„，3xn﹣2的方差为9，则a=1．
考点： 极差、方差与标准差． 专题： 计算题；概率与统计．
分析： 根据题意得；数据x1，x2，„，xn的方差为a，根据方差公式计算出数据3x1﹣2，3x2﹣2，„，3xn﹣2的方差是什么．
解答： 解：根据题意，设数据x1，x2，„，xn的平均数设为， ∴方差s=[
2
++„+]=a；
∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，„，3xn﹣2的平均数为3﹣2， 方差S=[
2
++„+]
- 6 -
文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com =9•[
+
+„+
]
=9a=9； ∴a=1．
故答案为：1．
点评： 本题考查了方差公式的运用问题，解题的关键是根据题意得到平均数的变化，再利用方差公式进行计算，是基础题． 6．（5分）执行如图所示程序框图，若p=80，则输出的n的值为7．
考点： 循环结构．
专题： 算法和程序框图．
分析： 执行程序框图，写出每次循环得到的S，p的值，当S=126，n=7时不满足条件S＜p，输出n的值为7．
解答： 解：执行程序框图，有 p=80 n=1，s=0
满足条件S＜p，有S=2，n=2 满足条件S＜p，有S=6，n=3 满足条件S＜p，有S=14，n=4 满足条件S＜p，有S=30，n=5 满足条件S＜p，有S=62，n=6 满足条件S＜p，有S=126，n=7
不满足条件S＜p，输出n的值为7． 故答案为：7．
点评： 本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题． 7．（5分）如果投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为x和y，则logx（y﹣1）=1的概率为．
考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
- 7 -
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专题： 概率与统计．
分析： 本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是6×6种结果，满足条件的事件需要先整理出关于x，y之间的关系，得到y=x+1，根据条件列举出可能的情况，根据概率公式得到结果
解答： 解：因为抛掷两枚均匀的正方体骰子的基本事件数为36种，又由logx（y﹣1）=1知y=x+1（x＞1），
所以，满足条件的事件有：（2，3），（3，4），（4，5），（5，6）共4种， 则logx（y﹣1）=1的概率为P=故答案为：
点评： 本题考查等可能事件的概率，考查对数的运算，通过列举的方法得到需要的结果，本题是一个综合题，注意对于对数式的整理． 8．（5分）若f（x）是R上的增函数，且f（﹣1）=﹣4，f（2）=2，设P={x|f（x+t）＜2}，Q={x|f（x）＜﹣4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是（3，+∞）．
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；元素与集合关系的判断．
分析： 本题考查的充要条件的定义，根据题设条件及“谁大谁必要，谁小谁充分”，可得P⊊M，然后再根据集合包含运算关系，判断出参数满足的不等式，即可求出实数t的取值范围． 解答： 解：又∵f（x）是R上的增函数，且f（﹣1）=﹣4，f（2）=2， ∴Q={x|f（x）＜﹣4}={x|x＜﹣1}，
P={x|f（x+t）＜2}={x|x+t＜2}={x|x＜2﹣t}， ∵“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件 ∴P⊊M，
则2﹣t＜﹣1 则t＞3 故答案为：（3，+∞）
点评： 本题考查充要条件，解题的关键是理解充分不必要条件的含义，将其正确转化为两个集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力 9．（5分）正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为
的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于
πcm．
3
=；
考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 根据已知分别求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案． 解答： 解：由题意知，弧长为
×8=2π，
即围成圆锥形容器底面周长为2π， 所以圆锥底面半径为r=1， 可得圆锥高h=3，
- 8 -
文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 所以容积V=πr×h=π×1×3
2
=πcm；
3
故答案为：π
点评： 本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知分析出圆锥的底面半径和高是解答的关键．
10．（5分）若方程
+
=1，a∈[1，5]，b∈[2，4]表示焦点在x轴上且离心率小于
的椭
圆，则z=a+b的最小值为5．
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 计算题；不等式的解法及应用． 分析： 表示焦点在x轴上且离心率小于即可求出z=a+b的最小值． 解答： 解：方程方程
+
=1，表示焦点在x轴上且离心率小于
的椭圆时，
的椭圆时，可得
，利用线性规划知识，
有，化简得，
又a∈[1，5]，b∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示， 所在区域内可能的整数对有（2，3），（3，4），（3，5），（4，5） 当过（2，3）时，zmin=5． 故答案为：5．
点评： 本题考查椭圆的简单性质，考查线性规划知识，比较基础．
22
11．（5分）已知f（x）=|x﹣9|+x+kx，若关于x的方程f（x）=0在（0，4）上有两个实数解，则k的取值范围是（﹣
，﹣3）．
考点： 根的存在性及根的个数判断．
- 9 -
文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 专题： 函数的性质及应用．
分析： 转化为函数g（x）=|x﹣9|+x=
2
2
与h（x）=﹣kx的图象，运用
图象解决问题．
2222
解答： 解：方程f（x）=0可以转化为|x﹣9|+x=﹣kx，记g（x）=|x﹣9|+x，则f（x）=0在（0，4）上有两个实数解， 可以转化为函数g（x）=|x﹣9|+x=
2
2
与h（x）=﹣kx的图象，
结合图象和特殊点A（3，9），B（4，23） 可知k∈（﹣故答案为：（﹣
，﹣3； ，﹣3）．
点评： 本题考查了二次函数的图象，运用图象解决问题，属于中档题．
222
12．（5分）已知圆C过点P（1，1），且与圆M：（x+2）+（y+2）=r（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．若Q为圆C上的一个动点，则
考点： 向量在几何中的应用． 专题： 直线与圆．
•
的最小值为﹣4．
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分析： 设圆心C（a，b），利用圆心关于直线对称，得到a，b的方程组解之，然后得到C的方程，利用圆的参数方程建立关于α的解析式，借助于正弦函数的有界性求最小值．
解答： 解：设圆心C（a，b），则，解得，则圆C的方程为x+y=r，
222
将点P的坐标代入得r=2，故圆C的方程为x+y=2，
22
设Q（x，y），则x+y=2， 且令x=所以
•
=（x﹣1，y﹣1）（x+2，y+2）=x+y+x+y﹣4=x+y﹣2， cosα，y=•
sinα，则x+y=2sin（α+
•
）≥﹣2
2
2
222
=x+y﹣2≥﹣4，则的最小值为﹣4；
点评： 本题考查了关于直线对称的圆的方程的确定以及考查两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．
13．（5分）已知函数f（x）=x+x+（2a﹣1）x+a﹣a+1若函数f（x）在（1，3]上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为[﹣7，﹣1）．
考点： 利用导数研究函数的极值． 专题： 计算题；导数的综合应用．
分析： 求出函数的导数，由已知条件结合零点存在定理，可得f′（1）•f′（3）＜0或f′（3）=0，解出不等式求并集即可．
解答： 解：∵f（x）=x+x+（2a﹣1）x+a﹣a+1，
∴f′（x）=x+2x+2a﹣1，
∵函数f（x）在（1，3]上存在唯一的极值点， ∴f′（1）•f′（3）＜0或f′（3）=0， ∴（1+2+2a﹣1）（9+6+2a﹣1）＜0或9+6+2a﹣1=0， 即有（a+1）（a+7）＜0或a=﹣7 解得﹣7≤a＜﹣1． 故答案为：[﹣7，﹣1）．
点评： 本题考查导数的运用：求函数的极值，考查函数的零点存在定理，注意导数为0与函数的极值的关系，属于易错题，也是中档题．
14．（5分）已知函数f（n）=
，且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+„+a2014=2014．
2
3
2
2
3
2
2
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
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分析： 分类讨论得出n为奇数时 n+1为偶数；n为偶数，n+1为奇数．当n为奇数时，an=n
222
﹣（n+1）=﹣2n﹣1，当n为偶数时，an=﹣n+（n+1）=2n+1， 运用列举法求出部分项，确定规律即可求解答案．
解答： 解：n为奇数时 n+1为偶数；n为偶数，n+1为奇数．
22
当n为奇数时，an=n﹣（n+1）=﹣2n﹣1，
22
当n为偶数时，an=﹣n+（n+1）=2n+1
∴a1=﹣3，a2=5，a3=﹣7，a4=9，a5=﹣11，a6=13m，„， ∴a1+a2=2，a3+a4=2，
即a1+a2+a3+„+a2014=2×1007=2014， 故答案为：2014．
点评： 本题考查了数列的函数性质，运用整体求解，分类讨论得出函数值，属于中档题．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.
15．（14分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（1，2），=（cos2A，cos），且
2
2
=1．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=2a=2，求证：△ABC为等边三角形．
考点： 正弦定理；平面向量数量积的运算． 专题： 解三角形． 分析： （1）利用向量的坐标和向量的数量积的运算求得关于cosA的一元二次方程求得cosA的值，则A可求得．
（2）根据已知条件利用余弦定理可求得a的值，b和c的关系，代入原式可求得b和c，进而判断出a=b=c，即三角形为等边三角形． 解答： 解：（1）由得又因为
2
，， ，
，
或cosA=﹣1，
所以，2cosA+cosA=1，解得因为0＜A＜π， 所以
，
2
2
2
（2）在△ABC中，a=b+c﹣2bccosA且所以，又∴
代入①整理得
， ，
，解得
①，
，
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∴， 于是，
即△ABC为等边三角形．
点评： 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理的应用．作为解三角形重要定理，应该熟练记忆余弦定理及其变形公式． 16．（14分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E、F分别是A1C1BC的中点．
（1）证明：平面AEB⊥平面B1CF；
（2）设P为线段BE上一点，且EP=2PB，求三棱锥P﹣B1C1F的体积．
考点： 平面与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： （1）首先，证明AB⊥平面BB1C1C，然后，得到结论；
（2）可以取B1C1的中点H，连结EH，从而得EH⊥平面BB1C1C，最后，结合体积公式求解． 解答： （1）在△ABC中，∵AC=2，BC=4，∠ACB=60°，
222
∴AB=2，∴AB+BC=AC， ∴AB⊥BC．„（3分）
由已知AB⊥BB1，BB1∩BC=B， ∴AB⊥平面BB1C1C．„（5分） 又∵AB⊂平面ABE，
故平面ABE⊥平面BB1C1C，
即平面AEB⊥平面B1CF． „（7分） （2）取B1C1的中点H，连结EH， 则EH∥AB且EH=AB=
，
由（1）AB⊥平面BB1C1C，
∴EH⊥平面BB1C1C，„（10分） ∵EP=2PB， ∴VP﹣B1C1F=VE﹣B1C1F=
S△B1C1F•EH=
．„（14分）
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点评： 本题重点考查了空间中平面和平垂直的判定定理、空间几何体的体积计算等知识，属于中档题．
17．（14分）设椭圆方程
+
=1（a＞b＞0），椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且
垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2． （1）求椭圆方程；
（2）若M，N是椭圆C上的点，且直线OM与ON的斜率之积为﹣，是否存在动点P（x1，y1），若
=
+2
，有x1+2y1为定值．
2
2
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （1）由已知得2a=4，
，由此能求出椭圆方程．
（2）存在这样的点P（x1，y1）．设M（x1，y1），N（x2，y2），由kOM•kON=知条件能推导出存在这样的点P（x0，y0）． 解答： 解：（1）因为2a=4，所以，a=2，（2分）
∵过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2． ∴由椭圆的对称性知，椭圆过点（c，1），即c=4﹣b，解得b=2， 椭圆方程为
．（7分）
2
2
2
=﹣，结合已
，（4分）
（2）存在这样的点P（x1，y1）． 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则kOM•kON=
=﹣，化简为x1x2+2y1y2=0，（9分）
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∵M，N是椭圆C上的点，∴，，
由=，得
2
，（11分）
2
∵=（
=（x1+2x2）+（y1+2y2） ）+4（
）+4（x1x2+2y1y2）
=4+4×4+0
=20，
即存在这样的点P（x0，y0）．（14分）
点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用． 18．（16分）某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD=60°
（1）若CD=x，BC=y，将支架的总长度表示为y的函数，并写出函数的定义域．（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）
（2）如何设计AB，CD的长，可使支架总长度最短．
考点： 解三角形的实际应用．
专题： 应用题；不等式的解法及应用．
分析： （1）△BCD中，CD=x，BC=y，∠BCD=60°，由余弦定理可得x，y的关系式； （2）设y﹣1=t（t≥0.5），则原式l=4t+
+5.5，利用基本不等式求出结果．
解答： 解：（1）由CD=x，则BD=x﹣0.5，设BC=y， 则支架的总长度为AC+BC+BD+CD，
222
在△BCD中，由余弦定理x+y﹣2xycos60°=（x﹣0.5）， 化简得 y﹣xy+x﹣0.25=0，即x=
2
①„（4分）
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记l=y+y+x﹣0.5+x=2y+2x﹣0.5=﹣0.5（﹣0.5＜x＜0.5或x＞1）﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）由题中条件得2y≥3，即y≥1.5，设y﹣1=t（t≥0.5） 则原式l=4t+
+5.5 „（10分）
∵t≥0.5，∴由基本不等式4t+有且仅当4t=∴y=
+1，∴x=
，CD=，即t=
时成立，
，
时，金属支架总长度最短． „（16分）
∴当AB=
点评： 本题借助三角形的余弦定理建立函数解析式，考查函数的最值问题，是中档题． 19．（16分）若数列{an}的前n项和为Sn，且满足等式an+2Sn=3．
（1）能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项，说明理由；
（2）能否从数列中依次抽取一个无限多项的等比数列，且使它的所有项和S满足
，如果这样的数列存在，这样的等比数列有多少个？
考点： 数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定． 专题： 综合题；压轴题；等差数列与等比数列． 分析： （1）由an+2Sn=3，得
在按原来顺序成等差数列的任意三项． （2）设抽取的等比数列首项为
，公比为
，项数为k，且m，n，k∈N，则S（k）
*
，从而得到，由此利用反证法推导出不存
=＜，由此能推导出满足题意的等比数列的个数．
解答： 解：（1）∵an+2Sn=3，∴当n=1时，a1+2a1=3，解得a1=1， ∵an+2Sn=3，∴an+1+2Sn+1=3， 两式相减，得
，
∴{an}是首项为1，公比为的等比数列， ∴
，
假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap，aq，ar（p＜q＜r），
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则
r﹣q
r﹣p
r﹣q
，即
q﹣p
，
∴2•3=3+1，即3（2﹣3）=1，
*
∵P＜q＜r，∴r﹣q，r﹣p∈N， r﹣qq﹣p
∴3＞3，2﹣3＜0， r﹣qq﹣p
∴3（2﹣3）＜0，
∴假设不成立，∴不存在按原来顺序成等差数列的任意三项． （2）设抽取的等比数列首项为
，公比为
，项数为k，且m，n，k∈N，
*
则S（k）=＜，
∵，∴，
∴，
由①得由②得
，∴m≥3，n≥1． ，
当m=3，n=1时，不适合条件；
当m=3，n＞1时，均不合适；当m＞3，n≥1时，均不合适， 综上所述，满足题意的等比数列没有．
点评： 本题是对等差数列和等比数列的综合考查，对数学思维的要求较高，是道综合性很强的好题．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
32x
20．（16分）已知函数f（x）=（x﹣6x+3x+t）e，t∈R． （1）若函数y=f（x）有三个极值点，求t的取值范围；
2
（2）若f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值，且a+c=2b，求f（x）的零点； （3）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，试求正整数m的最大值．
考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值． 专题： 导数的综合应用．
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分析： （1）由已知得f′（x）=（x﹣3x﹣9x+t+3）e，令g（x）=x﹣3x﹣9x+t+3，由此能求出t的取值范围．
3232
（2）由已知得x﹣3x﹣9x+t+3=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x﹣（a+b+c）x+（ab+bc+ac）x﹣abc，由此能求出f（x）的零点．
32x
（3）不等式f（x）≤x等价于（x﹣6x+3x+t）e≤x，转化为存在实数t∈[0，2]，使对任
﹣x32﹣x2
意的x∈[1，m]，不等式t≤xe﹣x+6x﹣3x恒成立．设φ（x）=e﹣x+6x﹣3，则φ′（x）
3
2
x
3
2
=﹣e﹣x
﹣2x+6．由此能求出使命题成立的正整数m的最大值为5．
解答： 解：（1）∵f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）ex
，t∈R．
∴f′（x）=（3x2﹣12x+3）ex+（x3﹣6x2+3x+t）ex
=（x3﹣3x2﹣9x+t+3）ex
，
∵f（x）有3个极值点，∴x3﹣3x2
﹣9x+t+3=0有3个不同的根，（2分）
令g（x）=x3﹣3x2﹣9x+t+3，则g′（x）=3x2
﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）， 从而函数g（x）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上递增，在（﹣1，3）上递减． ∵g（x）有3个零点，∴
，∴﹣8＜t＜24．（4分）
（2）∵a，b，c是f（x）的三个极值点 ∴x3﹣3x2
﹣9x+t+3=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c） =x3﹣（a+b+c）x2
+（ab+bc+ac）x﹣abc，（6分）
∴，∴b=1或b=﹣（舍，∵b∈（﹣1，3））
∴，
∴f（x）的零点分别为1﹣2，1，1+2．（10分）
（3）不等式f（x）≤x，等价于（x3﹣6x2+3x+t）ex
≤x，
即t≤xe﹣x﹣x3+6x2
﹣3x．
转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，
不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2
﹣3x恒成立．
即不等式0≤xe﹣x﹣x3+6x2
﹣3x在x∈[1，m]上恒成立．
即不等式0≤e﹣x﹣x2
+6x﹣3在x∈[1，m]上恒成立．（12分）
设φ（x）=e﹣x﹣x2+6x﹣3，则φ′（x）=﹣e﹣x
﹣2x+6．
设r（x）=φ′（x）=﹣e﹣x﹣2x+6，则r′（x）=e﹣x
﹣2．
因为1≤x≤m，有r′（x）＜0．所以r（x）在区间[1，m]上是减函数．
又r（1）=4﹣e﹣1＞0，r（2）=2﹣e﹣2＞0，r（3）=﹣3﹣3
＜0， 故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ′（x0）=0．
当1≤x＜x0时，有φ′（x）＞0，当x＞x0时，有φ′（x）＜0． 从而y=φ（x）在区间[1，x0]上递增，在区间[x0，+∞）上递减．
又φ（1）=e﹣1+4＞0，φ（2）=e﹣2+5＞0，φ（3）=e﹣3
+6＞0，
φ（4）=e﹣4+5＞0，φ（5）=e﹣5+2＞0，φ（6）=e﹣6
﹣3＜0．
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所以，当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0； 当x≥6时，恒有φ（x）＜0．
故使命题成立的正整数m的最大值为5．（16分）
点评： 本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的零点的求法，考查正整数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意构造法和等价转化思想的合理运用．
三、[选做题]本题包括21、22、23、24四小题，每小题10分；请选定其中两题作答（选修4-1：几何证明选讲） 21．（10分）在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．求证：AP•AD=AB•AC
考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 立体几何．
分析： 首先利用等腰三角形和四点共圆的性质得到△APC∽△ACD的充分条件，然后根据相似三角形的性质得到结论．
解答： 证明：在△ABC中，AB=AC，所以∠ABC=∠ACB， 因为：∠ABC+∠APC=180° ∠ACB+∠ACD=180° 所以：∠ACD=∠APC ∠CAP为公共角
所以△APC∽△ACD， 所以
2
所以AC=AP•AD 由AB=AC，
所以AP•AD=AB•AC．
点评： 本题考查的知识点：四点共圆的性质，三角形相似的判定和性质．属于基础题型． 四、（选修4-2：矩阵与变换） 22．（10分）△ABC的顶点A（1，2），B（3，3），C（2，1），求在矩阵所得图形的面积．
考点： 旋转变换． 专题： 矩阵和变换．
对应的变换下
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分析： 本题可以先通过矩阵变换求出点A、B、C，经过变换后的点坐标A′、B′、C′，从而求出在矩阵对应的变换下所得图形的面积． 解答： 解：∵△ABC的顶点A（1，2），B（3，3），C（2，1）， ∴由
=
， ，
∴点A、B、C，经过变换后的点坐标A′（2，﹣4）、B′（6，﹣6）、C′（4，﹣2）． 从而可得，， ∴三角形A′B′C′底边A′C′上的高为：
=3
，
=6．
，
∴三角形A′B′C′的面积为：S=
∴三角形A′B′C′的面积为6．
点评： 本题考查了矩阵变换，本题难度不大，属于基础题． 五、（选修4-4：坐标系与参数方程） 23．已知直线l1：
（t为参数）和直线l2：x﹣y﹣2
=0的交于点P．
（1）求P点的坐标；
（2）求点P与Q（1，﹣5）的距离．
考点： 直线的参数方程；两条直线的交点坐标． 专题： 直线与圆；坐标系和参数方程．
分析： 本题（1）可以利用直线l1的参数方程和直线l2的普通方程，求出参数的值，再求出交点的坐，也可以将直线l1的参数方程化成普通方程，再求出交点的坐标；（2）利用两点间距离公式，求出|PQ|，得到本题结论． 解答： 解：（1）将t=，
∴P（1+2，1）． （2）由Q（1，﹣5），得： |PQ|=
．
代入x﹣y﹣2
=0得：
点评： 本题考查了参数方程的知识和两点间距离公式，本题难度不大，属于基础题． 六、（选修4-5：不等式选讲） 24．设a，b是正数，证明：
≥
•
．
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考点： 不等式的证明．
专题： 证明题；不等式的解法及应用． 分析： 利用分析法证明即可． 解答： 证明：要证明
3
3
2
2
≥•，
只要证明2（a+b）≥（a+b）（a+b），
3322
只要证明a+b≥ab+ab，
2
只要证明（a+b）（a﹣b）≥0．当且仅当a=b时等号成立． ∴
≥
•
．
点评： 本题考查不等式的证明，考查分析法的运用，正确运用分析法是关键． 七、【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分. 25．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上． （Ⅰ）求证：AD⊥BF：
（Ⅱ）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （Ⅲ）若二面角D﹣AP﹣C的余弦值为
，求PF的长度．
考点： 与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角． 专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角．
分析： （Ⅰ）利用面面垂直的性质，可得AD⊥平面ABEF，即可证明AD⊥BF； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，求得
=（﹣，0，1），
=（﹣1，﹣1，），利用向量的夹
角公式，即可求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（Ⅱ）设P点坐标为（0，2﹣2t，t），求得平面APF的法向量为=（1，0，0），平面APC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
解答： （Ⅰ）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AD⊥AB， 所以AD⊥平面ABEF， 因为BF⊂平面ABEF， 所以AD⊥BF；
（Ⅱ）解：因为∠BAF=90°，所以AF⊥AB，
因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD， 因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，
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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz．
所以B（1，0，0），E（，0，1），P（0，1，），C（1，2，0）． 所以
=（﹣，0，1），
，
＞=
=（﹣1，﹣1，）， ，
．
所以cos＜
即异面直线BE与CP所成角的余弦值为
（Ⅲ）解：因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为=（1，0，0）． 设P点坐标为（0，2﹣2t，t），在平面APC中，所以平面APC的法向量为=（﹣2，1，所以cos＜，＞=
=
）， ，
=（0，2﹣2t，t），
=（1，2，0），
解得t=，或t=2（舍）． 此时|PF|=
．
点评： 本题考查线面垂直，考查线线角、面面角，考查利用空间向量解决空间角问题，正确求向量是关键．
2
26．（10分）数列{an}满足an+1=2an﹣1，aN=1且aN﹣1≠1，其中N∈{2，3，4，„} （1）求证：|a1|≤1； （2）求证：a1=cos
考点： 专题： 分析： 解答： 明：
（k∈Z）．
数学归纳法；数列递推式．
证明题；点列、递归数列与数学归纳法． 利用数学归纳法的证明步骤，即可证明结论．
*
证明：（1）猜想：|aN﹣k|≤1，1≤k＜N﹣1，k∈N，接下来用数学归纳法对k进行证
2
当k=1时，由an+1=2an﹣1，aN=1得=1，但aN﹣1≠1，
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∴aN﹣1=﹣1，
∴|aN﹣1|≤1成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
假设k=m（1≤m＜N﹣1，m∈N+）时，|aN﹣m|≤1，则
=
∈[0，1]
所以|aN﹣m﹣1|≤1，所以k=m+1时结论也成立．
综上，有|aN﹣k|≤1，1≤k＜N﹣1，k∈N+，故有|a1|≤1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）当N=2时，由a2=1且a1≠1得a1=﹣1=cosπ成立， 假设N=m（m≥2）时，存在k∈Z，使得a1=﹣（7分）
则当N=m+1时，由归纳假设，存在k，使得a2=
，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
则===cos
2
，
所以a1==或a1=﹣=cos
﹣﹣（10分）
，
所以无论N取任何大于1的正整数，都存在k使得cos
点评： 本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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