2013年内蒙古呼和浩特市中考真题数学

2013年内蒙古呼和浩特市中考真题数学

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（3分）﹣3的相反数是（ ） A.3 B.﹣3 C. D.﹣

解析： 根据相反数的概念答案即可. 答案：A.

2.（3分）下列运算正确的是（ ） 235A.x+x=x 824B.x÷x=x C.3x﹣2x=1

236

D.（x）=x

23

解析：A、x与x不是同类项不能合并，故选项错误；

826

B、应为x÷x=x，故选项错误； C、应为3x﹣2x=x，故选项错误；

236

D、（x）=x，正确. 答案：D.

3.（3分）观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； 第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 所以，既是轴对称图形又是中心对称图形共有3个. 答案：C.

4.（3分）下列说法正确的是（ ）

A.“打开电视剧，正在播足球赛”是必然事件

B.甲组数据的方差=0.24，乙组数据的方差=0.03，则乙组数据比甲组数据稳定

C.一组数据2，4，5，5，3，6的众数和中位数都是5

D.“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛硬币2次就有1次正面朝上 解析：A、“打开电视剧，正在播足球赛”是随机事件，故本选项错误； B、因为

=0.24，

=0.03，乙组数据比甲组数据稳定，故本选项正确；

C、一组数据2，4，5，5，3，6的众数是5，中位数是4.5，故本选项错误；

D、“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛硬币2次可能有1次正面朝上，故本选项错误； 答案：B.

5.（3分）用激光测距仪测得两地之间的距离为14 000 000米，将14 000 000用科学记数法表示为（ ）

7

A.14×10

6

B.14×10

7

C.1.4×10

8

D.0.14×10

n

将诶西：科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数. 答案：C.

6.（3分）只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（ ） A.正十边形 B.正八边形 C.正六边形 D.正五边形

解析：A、正十边形每个内角是180°﹣360°÷10=144°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；

B、正八边形每个内角是180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；

C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能整除360°，可以单独进行镶嵌，符合题意；

D、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意； 答案：C.

7.（3分）从1到9这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是（ ） A.

B. C. D.

解析： 解：1～9这九个自然数中，是偶数的数有：2、4、6、8，共4个， ∴从1～9这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是：.

答案：B.

2

8.（3分）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）

A.

B.

C.

D.

解析： 解：解法一：逐项解析

2

A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；

B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x=轴左侧，与图象不符，故B选项错误；

=

=＜0，则对称轴应在y

C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=﹣mx+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；

2

D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx+2x+2开口方向朝上，对称轴为x=

=

=＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；

2

解法二：系统解析

当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0， 一次函数图象过一、二、三象限.

当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0， 对称轴x=

＜0，

这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧， 一次函数图象过二、三、四象限. 答案：D.

22

9.（3分）已知α，β是关于x的一元二次方程x+（2m+3）x+m=0的两个不相等的实数根，且满足

+

=﹣1，则m的值是（ ）

A.3或﹣1 B.3 C.1

D.﹣3或1

解析：根据条件知：

2

α+β=﹣（2m+3），αβ=m， ∴

即m﹣2m﹣3=0， 所以，得

，

2

=﹣1，

解得m=3. 答案：B.

10.（3分）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需（ ）根火柴.

A.156

B.157 C.158 D.159

解析：根据题意可知：

第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3， 第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3， 第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3， …，

第n个图案需n（n+3）+3根火柴，

则第11个图案需：11×（11+3）+3=157（根）； 答案：B.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要答案过程）

11.（3分）如图，AB∥CD，∠1=60°，FG平分∠EFD，则∠2= 度.

解析： ∵AB∥CD ∴∠EFD=∠1=60° 又∵FG平分∠EFD. ∴∠2=∠EFD=30°.

答案：30

12.（3分）大于且小于的整数是 .

解析： 根据=2和＜＜即可得出答案. 答案： 解：∵=2，＜＜， ∴大于且小于的整数有2， 答案：2.

13.（3分）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是 . 解析： 根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数. 答案： 解：设母线长为R，底面半径为r，

∴底面周长=2πr，底面面积=πr，侧面面积=lr=πrR， ∵侧面积是底面积的2倍，

2

∴2πr=πrR，

2

∴R=2r， 设圆心角为n，有

=πR=2πr，

∴n=180°. 答案：180.

14.（3分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器.

解析： 根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同.所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间.

答案： 设：现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台. 依题意得：

=

.

解得：x=200.

检验：当x=200时，x（x﹣50）≠0. ∴x=200是原分式方程的解.

∴现在平均每天生产200台机器. 答案：200.

15.（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点.若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为 .

解析： 有一个角是直角的平行四边形是矩形.利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式答案即可.

答案： ∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点， ∴EF∥BD，且EF=BD=3.

同理求得EH∥AC∥GF，且EH=GF=AC=4，

又∵AC⊥BD，

∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG. 四边形EFGH是矩形.

∴四边形EFGH的面积=EF•EH=3×4=12，即四边形EFGH的面积是12. 答案：12.

16.（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为 .

解析：设线段BA的中点为E， ∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）.

（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=

；

以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C， ∵∠BCA为⊙P的圆周角，

∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求. 过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1， 在Rt△PFC中，PF=1，PC=

，由勾股定理得：CF=

=7，

∴OC=OF+CF=5+7=12， ∴点C坐标为（0，12）；

（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）.

综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）.

答案：（0，12）或（0，﹣12）.

三、答案题（本大题共9小题，共72分，答案应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）

17.（10分）（1）计算：

（2）化简：.

解析： （1）本题涉及到负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂四个考点的计算，根据实数的运算顺序和法则计算即可求解；

（2）首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简. 答案：（1）=3﹣|﹣2+|+1 =3﹣2++1 =2+； （2）

=•

=.

18.（6分）如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB.

解析： 根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB=∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC，继而可得出结论. 答案： ∵∠1=∠2， ∴∠1+ECA=∠2+∠ACE， 即∠ACB=∠DCE， 在△ABC和△DEC中， ∵

∴△ABC≌△DEC（SAS）. ∴DE=AB.

19.（6分）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？

解析： 根据小明得分要超过90分，就可以得到不等关系：小明的得分＞90分，设应答对x道，则根据不等关系就可以列出不等式求解.

答案：设应答对x道，则：10x﹣5（20﹣x）＞90， 解得x＞12，

∵x取整数， ∴x最小为：13，

答：他至少要答对13道题.

20.（6分）如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°.则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）

解析： 过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根据AC=10，∠A=30°，解直角三角形求出AD、CD的长度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的长度，用AC+BC﹣（AD+BD）即可求解. 答案： 过C作CD⊥AB于D， 在Rt△ACD中，

∵AC=10，∠A=30°， ∴DC=ACsin30°=5， AD=ACcos30°=5， 在Rt△BCD中， ∵∠B=45°，

∴BD=CD=5，BC=5，

则用AC+BC﹣（AD+BD）=10+5﹣（5+5）=5+5﹣5（千米）. 答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5﹣5）千米.

21.（6分）如图，平面直角坐标系中，直线

与x轴交于点A，与双曲线

在第一

象限内交于点B，BC丄x轴于点C，OC=2AO.求双曲线的解析式.

解析： 先利用一次函数与图象的交点，再利用OC=2AO求得C点的坐标，然后代入一次函数求得点B的坐标，进一步求得反比例函数的解析式即可. 答案： 由题意 OC=2AO， 由直线

与x轴交于点A的坐标为（﹣1，0），

∴OA=1.

又∵OC=2OA， ∴OC=2，

∴点B的横坐标为2， 代入直线∴B（2，）. ∵点B在双曲线上， ∴k=xy=2×=3， ∴双曲线的解析式为y=.

22.（8分）某区八年级有3000名学生参加“爱我中华知识竞赛”活动.为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了200名学生的得分进行统计. 请你根据不完整的表格，回答下列问题： 成绩x（分） 频数 频率 50≤x＜60 10 60≤x＜70 16 0.08 70≤x＜80 0.2 80≤x＜90 62 90≤x＜100 72 0.36 （1）补全频数分布直方图； （2）若将得分转化为等级，规定50≤x＜60评为“D”，60≤x＜70评为“C”，70≤x＜90评为“B”，90≤x＜100评为“A”.这次全区八年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“D”？如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩等级哪一个等级的可能性大？请说明理由.

，得y=，

解析： （1）由60≤x＜70分数段的人数除以所占的百分比，求出总人数，进而求出70≤x＜80分数段的频数，以及80≤x＜90分数段的频率，补全表格即可；

（2）找出样本中评为“D”的百分比，估计出总体中“D”的人数即可；求出等级为A、B、C、D的概率，表示大小，即可作出判断.

答案： （1）根据题意得：16÷0.08=200（人），

则70≤x＜80分数段的频数为200﹣（10+16+62+72）=40（人），50≤x＜60分数段频率为0.05，80≤x＜90分数段的频率为0.31，补全条形统计图，如图所示：

；

答案：0.05；40；0.31；

（2）由表格可知：评为“D”的频率是×3000=150（人）被评为“D”；

∵P（A）=0.36；P（B）=0.51；P（C）=0.08；P（D）=0.05， ∴P（B）＞P（A）＞P（C）＞P（D），

∴随机调查一名参数学生的成绩等级“B”的可能性较大.

23.（9分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F， （1）

的值为

；

=

，由此估计全区八年级参加竞赛的学生约有

（2）求证：AE=EP；

（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.

解析： （1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可答案；

（2）在BA边上截取BK=BE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出； （3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出. 答案： （1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠D， ∵∠AEP=90°， ∴∠BAE=∠FEC， 在Rt△ABE中，AE=∵sin∠BAE=∴

=

，

=sin∠FEC=

=，

，

解法二：由上得∠BAE=∠FEC， ∵∠BAE=∠FEC， ∠B=∠DCB，

∴△ABE∽△ECF， ∴

=

，

（2）证明：在BA边上截取BK=BE，连接KE， ∵∠B=90°，BK=BE， ∴∠BKE=45°， ∴∠AKE=135°， ∵CP平分外角， ∴∠DCP=45°， ∴∠ECP=135°， ∴∠AKE=∠ECP， ∵AB=CB，BK=BE， ∴AB﹣BK=BC﹣BE， 即：AK=EC，

由第一问得∠KAE=∠CEP， ∵在△AKE和△ECP中，

，

∴△AKE≌△ECP（ASA）， ∴AE=EP；

（3）答：存在.

证明：作DM⊥AE交AB于点M， 则有：DM∥EP，连接ME、DP， ∵在△ADM与△BAE中，

，

∴△ADM≌△BAE（ASA）， ∴MD=AE， ∵AE=EP， ∴MD=EP， ∴MD

EP，

∴四边形DMEP为平行四边形.

24.（9分）如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3. （1）求证：点F是AD的中点； （2）求cos∠AED的值；

（3）如果BD=10，求半径CD的长.

解析： （1）由AD是△ABC的角平分线，∠B=∠CAE，易证得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点；

（2）首先连接DM，设EF=4k，DF=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案；

（3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）=k•（10+5k），解此方程即可求得答案.

2

答案： （1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1=∠2，

∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3， ∴∠ADE=∠DAE， ∴ED=EA，

∵ED为⊙C直径， ∴∠DFE=90°， ∴EF⊥AD，

∴点F是AD的中点；

（2）解：连接DM， 设EF=4k，DF=3k， 则ED=

=5k，

∵AD•EF=AE•DM， ∴DM==

=

k，

∴ME==k， ∴cos∠AED=

=；

（3）解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角， ∴△AEC∽△BEA， ∴AE：BE=CE：AE，

∴AE2

=CE•BE，

∴（5k）2

=k•（10+5k）， ∵k＞0， ∴k=2， ∴CD=k=5.

25.（12分）如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（﹣2，0）和点C（0，﹣（1）求该二次函数的解析式；

8）.

（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为 ；

（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S.

①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值.

解析： （1）根据已知的与x轴的两个交点坐标和经过的一点利用交点式求二次函数的解析式即可；

（2）首先根据上题求得的函数的解析式确定顶点坐标，然后求得点C关于x轴的对称点的坐标C′，从而求得直线C′M的解析式，求得与x轴的交点坐标即可；

（3）①如果DE∥OC，此时点D，E应分别在线段OA，CA上，先求出这个区间t的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围.如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这样的t.

②本题要分三种情况进行讨论：

当Q在OC上，P在OA上，即当0≤t≤1时，此时S=OP•OQ，由此可得出关于S，t的函数关系式；

当Q在CA上，P在OA上，即当1＜t≤2时，此时S=OP×Q点的纵坐标.由此可得出关于S，t的函数关系式；

当Q，P都在CA上时，即当2＜t＜

相遇时用的时间，此时S=S△AOQ﹣S△AOP，由此可得出S，

t的函数关系式；

综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式. ③根据②的函数即可得出S的最大值. 答案： 解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+2）（x﹣6）（a≠0）， ∵图象过点（0，﹣8） ∴a=

∴二次函数的解析式为y=x﹣x﹣8；

2

（2）∵y=x﹣x﹣8=（x﹣4x+4﹣4）﹣8=（x﹣2）﹣∴点M的坐标为（2，﹣

）

2

2

2

∵点C的坐标为（0，﹣8），

∴点C关于x轴对称的点C′的坐标为（0，8） ∴直线C′M的解析式为：y=﹣令y=0 得﹣

x+8=0

x+8

解得：x=

∴点K的坐标为（，0）；

（3）①不存在PQ∥OC，

若PQ∥OC，则点P，Q分别在线段OA，CA上， 此时，1＜t＜2 ∵PQ∥OC， ∴△APQ∽△AOC ∴

∵AP=6﹣3t AQ=18﹣8t， ∴

∴t=

∵t=＞2不满足1＜t＜2； ∴不存在PQ∥OC； ②分情况讨论如下， 情况1：0≤t≤1

S=OP•OQ=×3t×8t=12t； 情况2：1＜t≤2

作QE⊥OA，垂足为E， S=OP•EQ=×3t×情况3：2＜t＜

=﹣

+

；

=﹣

+

2

作OF⊥AC，垂足为F，则OF=S=QP•OF=×（24﹣11t）×

2

③当0≤t≤1时，S=12t，函数的最大值是12； 当1＜t≤2时，S=﹣当2＜t＜∴S0的值为

+

，函数的最大值是+

；

；

，S=QP•OF=﹣.

，函数的最大值为