安徽省合肥市一中六中八中2020_2021学年高一数学下学期期末考试试题.docx

试卷满分：150分

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的. 1.设复数z满足（l-2z）z = 4 + 2z，则石（ A. 3z

2.已知向量1 = （1,2）, A. 9

B. —3i

考试时长：120分钟

） C. 2i

D. —2z

若 _L (o-c),

B. 7

.则实数成的值为（

C. 17 ） D. 21

3. 某校高一年级15个班参加庆祝建党100周年的合唱比赛，得分如下：85 87 88 90 91 91 92 93 93 93 94 96 98,则这组数据的40%分位数、90%分位数分别为（ A. 90.5, 96

B. 91.5, 96

C. 92. 5, 95

D. 90, 96

）

4. 从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的 是（

）

B. “至少一个白球”和“至少一个红球” D. “恰有一个白球”和“都是红球”

设a, 0是两个不同的平

） ①若 a! 1/3 , alia ,A. “至少一个白球”和“都是红球” C. “恰有一个白球”和“恰有一个红球”

5.

面，a,力是两条不同的直线，下列说法正确的是（ 贝也〃”或 au /3

②若a_La, b_La ,则allb

③若 a La, a L/3 ,则 all § ④若 a -L J3 , a^\\/3-b , aua, a Lb,则 a -L )3 A.①②③

B.②③④ C.①②④ D.①②③④

6.在一次体检中，甲、乙两个班学生的身高统计如下表: 班级 甲 乙 人数 20 30 平均身高 尤甲 方差 10 15 ）玖 其中扁-五=5，则两个班学生身高的方差为（

7. 在一个掷骰子的试验中，事件/表示“向上的面小于5的偶数点出现”，事件方表示“向上的面小于4的点

A. 19 B. 18 C. 18. 6 D. 20

出现”，则在一次试验中，事件A\\JB发生的概率为（ ,1 A. — 2

2 B. — 3

八1 C. — 3

5 D.— 6

在AABC中，已知Q + COSA = Z? + ）

8.

ccosB,则AABC的形状是（

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形 9.如图，矩形ABCD中，AB = g ,正方形AQEF的边长为1,且平面ABCD ±平面AQEF,则异面直 线3£＞与\"C所成角的余弦值为（

（第9题

D.M

5

10.如图，在AABC中，AB = BC =逐,ZABC = 90°,点\"AC的中点，将AABD沿折起到APBD

的位置，使PC = PD,连接PC,得到三棱锥P-BCD.若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的 表面积是（

）

（第1（）题

A. 7兀

B. 571 C. 3兀 D. 71

11.如图，在平行四边形ABC。中, AD = 2AB = 2, ZBAD = 120°,动点〃在以点。为圆心且与B£＞相切

的圆上，则应的最大值是（

（第11题A. 3 + ^3

B. 3 + —

2

C. 5 + ^3

D. 5 + —

2

12. 已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，平面且PD = 4, E, F,技为PA , PC, AB的中点，则经过3 F, 〃的平面截四棱锥P-ABCD的截面面积为（ A. 24A/2

B. 30A/2

C. 36^2

D. 42皿

）

二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在AABC中，B = — , AC = Ji, AB-1,则BC=

3

14. 底面直径为2的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为.

15. 在某次测试中，甲、乙通过的概率分别为0.8, 0.5,若两人测试是否通过相互，则至少有一人通过的 概率为.

16. 在 /\\ABC 中，角』，B,。满足sin A = 3sin B + 3sin C-2A/3 sin Asin Bsin C，则 C =.

三、 解答题：本题共6小题，共70分.其中第17题10分，第18-22题每题12分.解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤.

17. 已知复数 z = （1 + QZ）（1 + Z）+ 2 + 4Z（0 G R）. （1） （2）

若z在复平面中所对应的点在直线x-y = O上，求a的值； 求|z-l|的取值范围.

2

2

2

18. 某校高一年级为了提高教学效果，对老师命制的试卷提出要求，难度系数须控制在［0.65,0.7］（难度系数 是指学生得分的平均数与试卷总分的比值，例如：满分为100分的试卷平均分为68分，则难度系数

— = 0.68）,某次数学考试（满分100分）后，王老师根据所带班级学生的等级来估计高一年级1800 A的 100 成绩情况，已知学生的成绩分为』，B, C, D, E五个等级，统计数据如图所示，根据图中的数据，回答下列问 题： 频数

（第18题图）

（1） 试估算该校高一年级学生获得等级为云的人数.

（2） 若等级』，B, C, D, E分别对应90分，80分，70分，60分，50分，请问按王老师的估计：本次考试试 卷命制是否符合要求.

（3）王老师决定对成绩为£的16名学生（其中男生4人，女生12人）先找4人进行单独辅导，按分层抽样 抽取的4人中任取2人，求恰好抽到1名男生的概率.

19. 已知△ABC的三个内角』，B,。所对的边分别为a, b, c,且_^_=

a + c sin3 —j3sinC

（1） （2）

求』；

若△ABC的面积为2,求AABC的周长的最小值.

20. 如图，三棱柱ABC- AEG中，侧面ABBXAX是边长为2的菱形，且ZABBl = 60°，点必G分别在Cq ,

（1）

证明：直线MG〃平面A同G.

（2）

3

若点G恰好是点G在平面ABB^内的正投影，此时求三棱锥M-AEG的体积.

（注：本大题用空间坐标系解题一律不给分）

21. 合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好 记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形ABC。的区域进行改造，如 图所示，其中DC = 4a米，DA = 2a米，△ABC为正三角形.改造后△BCD将作为人们旅游观光、休闲娱 乐的区域，AABD将作为对三国历史文化的介绍区域.

（第21题图） （1） （2）

当ZADC =-时，求旅游观光、休闲娱乐的区域△BCD的面积;

3 求旅游观光、休闲娱乐的区域△BCD的面积的最大值.

22. 如图，在直三棱柱ABC-A^Q中，如上平面A3]C,其垂足力落在直线3（上.

（第22题图）

（1）求证：AC ± B.C ； （2）若夕是线段A3上一点，BD = B BC = AC = 2,三棱锥B.-PAC的体积为」3,求二面角

3

P-B.C-A的平面角的正弦值.

（注：本大题用空间坐标系解题一律不给分）

2020-2021学年合肥一中、六中、八中联盟

高一年级第二学期期末考试

数学参

一、选择题 1.C 2. B 3. A 4.D 二、 填空题

5. D 6. A 7. B 8. D 9. C 10. A 11. A 12. B

JT

13. 2 三、 解答题

17. ......................................................................................................................................................... 解析：(1)化

14.3m

15.0.9

16.—

6

简得z = (l + az)(l + z) + 2 + 4z =(3-a) + (fl+5)z, ................................... 2 分 所以z在复平面中所对应的点的坐标为(3—。,。+5), ....................................... 3分 在直线x-y = O上，所以3-。一(。+5)=0,得。=一1, ..................................... 5

分

(2) |z-1| = |(2-a) + (a + 5)z[ = J(2-a)2 + (a + 5)2 = j2/+6a + 29 , ................. 7 分 49

因为a e R ,且 2a +6a + 29> — , .............................................. 9 分

2

2所以|z —1| =姊+6“ + 292半,所以|z-l|的取值范围为]匹,+8 ........................ 10分

18. ..................................................................................................................... 解析：（1）高一年级获得成绩为3的人数为一xl800 = 252 （人） ...................................... ........ 3分

100 /c、―土 ihu匚striaFs八匚 9°x7 + 8°xl4 + 7°x41 + 6°x22 + 5°xl6 . 。八 (2) 王老师所带班级平均分为 ---------------------------------------- = 67.4, ............. 6分

100 所以估计难度系数为0. 674,符合要求.7分

(3) 按分层抽样，抽到的4人中男生1人，女生3人， .............................. 8分 4人中任取2人共有6种取法， ..................................................... 9分 2人中恰有1名男生有3种取法， ....................................................... 10分 3 1

所以恰好抽到1名男生的概率为己=土. .................................................. 12分

6 2 19. 解析：(1)由已知，得Z?(sin_B —J^sinC)= (a + c)(sinA-sinC), 由正弦定理，得b(b-y[3c^ = (a + c)(a-c),

^b- +c2-cr =^3bc ...... ............................................................. 2 分

再由余弦定理得cos A = \"+C =旦 ...................................................... 4分

2bc 2 jr

又0 6 1 jr

(2)由(1)及已知得，AABC的面积为S△仙—阮sin—= 2,所以bc = 8. .................... 6分

2 6

又b + cN2成=4也, ............................................................... 7分

于是 t? =Z? +C —2阮COS A =(8 + C)- -2bc-\\(3bc = {b+c)\" -16-8^3 , ............... 9 分 所以三角形周长a + ) + c = J(b + c)2 -16-8右 +b + c> J16-8右 + 4^2 = 2^-2+ 4^2 , •••1]分 所以周长最小值为273+4^2-2,

it匕<7 = 2A/3 — 2 , b = c = 2^2 ..................................................... 12 分

2

2

20. 解析：(1)过G作交于其 连接C}E, 因为为等边三角形, 所以 GE = GBi，又GB] = MCX, 所以GE = MC} , ..................................................... 1分

又 MCJIAA、，

所以GE//MG， ......................................................... 2分 所以四边形MGEG为平行四边形， ........................................ 4分

所以 MG//EC],

又MGU平面, EC]U平面A4C1，所以直线MG〃平面.

《第19题图）

(2)因为 BC =———,所以 _B]C]=———,

又GB{ =|,所以，在直角三角形GG3]中，C[G = B .................................... 7分

= —x-|x2xsin60° =

又〃平面AXB}C}

1 □ R a

所以 ABC — K? ABC ABG — — X) ............................................. 9 分

------------ X 也=— .............................. 12 分

21. 解析：(1) AC = AD + DC - 2 AD • DC • cos -, Z. AC = 2^3a ,

3

AC AD 1 jr 又一 = ------------- ,A sin ZACD = -, :. ZBCD = — , ..............

■ sin ZA CD 2 2 sin —

3

222SABCD = jx 4。x 2^/3a = 4的/ (n?), ................................

(2)不妨设ZADC^e, ZACD = a, 于是 AC? =(20—16cos。)/①,

AC 2a . 2a sin 0

= --- n sin a = ---- ②, sin 9 sin。 -- AC

22 2 .八2 i 匕 2 o 4 万 AC + 12t/ 4。= AC +16。- SaAC - cos a cos a = ---------------- SaAC

A71 j = AC- 2口气出。 代Ab+12疽 S如BCD = ：x4ax AC• sin| ar + —

AC a2

4sin“ 一号]+ 4 后

SAC

11分

当且仅当0 —：=号* =普时取等号，.I SABCD最大值为（4 + 4句/何2）.

22.解析：（1） ..•三棱柱ABC-A^Q是直三棱柱，...AC 133], 又 BD1.平面 ABjC, :.AC±BD, BD^BB^ = B , :. ACBB^C^C ,

B]Cu 平面 BB[C£ , .I AC ± B}C.

（2）由（1）知 AC±平面BBCC ,

/. AC±BC, BC = AC = 2, ：.AB = 2&

设 AP = X ,则 S,PAC = \\ x XX yfl = X ,

•: BD ± BXC , RtABjBC^RtABDC , BC = 2, BD = B :. BB、=2g ,

••徐—.PACv _ 1 V2 =3X5 xx 2/3 =O

A/3

—,

Bt-PAC

AP I PB~3

1 J3

连接AD,

过尸作PO//8Z）交AD于。点，易知PO = -BD = —

4

4

过夕作PE _L B£,万为垂足，连接OE,

B£」PE, B{C ± PO , PEC\\PO = P^B}C1.平面 POE, OEu 平面 POE,所以 B{C LOE ,则ZPEO为二面角P-B.C-A的平面角,

在△PH/中，易求PC =罗,P3]=籍，B]C = 4 ,由等面积法可知PE = ^-

£

所以sing。嘿=焉=普

12分

10分

分

12（第22逝图）