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一次函数与几何综合（讲义）
一、知识点睛
1. 一次函数表达式：y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）
① k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面
的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM 即为竖直高度，
BM 即为水平宽度，则 k =
AM
BM
，
②b 是截距，表示直线与 y 轴交点的纵坐标．
2. 设直线 l1：y1=k1x+b1，直线 l2：y2=k2x+b2，其中 k1，k2≠0．
①若 k1=k2，且 b1≠b2，则直线 l1___∥__l2； ②若 k1· k2= _____-1___，则直线 l1__⊥___l2．
3. 一次函数与几何综合解题思路
从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点．通
过点的坐标 和横平竖直的线段长 的互相转化将 函数特征 与几何特征 结合起 来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题．
二、精讲精练
1. 如图，直线 l1 交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，OA=m，OB=n△，将 AOB 绕点 O
逆时针旋转 90°得到△COD．CD 所在直线 l2 与直线 l1 交于点 E，则 l1____l2； 若直线 l1，l2 的斜率分别为 k1，k2，则 k1· k2=_______．
l1
y
B
E l2
y
B
C
D
D O A x
C O A x
第 1 题图 第 2 题图
4
2. 如图，直线 y x 8 交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线交
3
x 轴于点 C，交 AB 于点 D，则点 C 的坐标为____________．
3. 如图，在平面直角坐标系中，函数 y=x 的图象 l 是第一、三象限的角平分线．
探索：若点 A 的坐标为 (3 ， 1) ，则它关于直线 l 的对称点 A' 的坐标为
____________；
猜想：若坐标平面内任一点 P 的坐标为(m，n)，则它关于直线 l 的对称点 P′ 的坐标为____________；
应用：已知两点 B(-2，-5)，C(-1，-3)，试在直线 l 上确定一点 Q，使点 Q
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到 B，C 两点的距离之和最小，则此时点 Q 的坐标为____________．
y
A'
l A
O
x
4. 如图，已知直线 l： y
__________________．
3
3
AOB 沿 直 线 l 折 叠 ， 点 O 落 在 点 C 处 ， 则 直 线 CA 的 表 达 式 为
x 3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B△，将
y l
B
y
C
A (O) E
F D
x
O A x
B
C
第 5 题图 第 6 题图
5. 如图，四边形 ABCD 是一张矩形纸片，E 是 AB 上的一点，且 BE:EA=5:3，
EC=15 5 ，把△BCE 沿折痕 EC 向上翻折，点 B 恰好落在 AD 边上的点 F 处．若
以点 A 为原点，以直线 AD 为 x 轴，以直线 BA 为 y 轴建立平面直角坐标系， 则直线 FC 的表达式为__________________．
6. 如图，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中点与原点 O 重合，AB=2，AD=1，
过定点 Q(0，2)和动点 P(a，0)的直线与矩形 ABCD 的边有公共点．
（1）a 的取值范围是________________；
（2）若设直线 PQ 为 y=kx+2（k≠ 0），则此时 k 的取值范 围是________________．
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y
Q
D
C
A O
B x
P
7. 如图，已知正方形 ABCD 的顶点 A(1，1)，B(3，1)，直线 y=2x+b 交边 AB 于
点 E，交边 CD 于点 F，则直线 y=2x+b 在 y 轴上的截距 b 的变化范围是
____________．
y
4
y=2x+b
3 2
1 A E B O
D
F C
y
Q O
B P
A
x
1 2 3 4
x
b
M
第 8 题图
8. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 A(4，0)，B(0，-4)，P
为 y 轴上 B 点下方一点，PB=m（m>0），以点 P 为直角顶点，AP 为腰在第 四象限内作等腰 Rt△APM． （1）求直线 AB 的解析式；
（2）用含 m 的代数式表示点 M 的坐标；
（3）若直线 MB 与 x 轴交于点 Q，求点 Q 的坐标．
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