梅县区外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

梅县区外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 下列命题正确的是（ ）

A．很小的实数可以构成集合.

B．集合y|yx21与集合x,y|yx21是同一个集合. C．自然数集 N中最小的数是. D．空集是任何集合的子集.

log2（a－x），x＜1

2． 已知函数f（x）＝若f（－6）＋f（log

2x，x≥126）＝9，则a的值为（ ）

A．4 B．3 C．2

D．1

3． 若函数y=ax﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A．a＞1且b＜1 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0 D．0＜a＜1且b＜0

4． 已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则x=（ ）

A． 4 B． ﹣4 C． 2 D． ﹣2

5． 复数(1i)23i的值是（ ）

A．1434i B．1434i C．131355i D．55i

【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题．

6． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ A．

B．

C．

D．

7． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（ A．30° B．60° C．120° D．150°

8． 已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁RB）=（ ） A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}

C．{x|0≤x＜2或x＞4}

D．{x|0＜x≤2或x≥4}

9． 已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（0＜X＜4）=0.8，则P（X＞4）的值等于（ A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6

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） ）

）精选高中模拟试卷

10．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（ ） A．120° B．60° C．45° D．30°

11．执行右面的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有数对为（ ）

A．（11，12） B．（12，13） C．（13，14） D．（13，12）

12．函数yAsin(x)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ） A．y2sin(2x3) B．y2sin(2x2x) C．y2sin() D．y2sin(2x) 3233二、填空题

13．已知函数f（x）= 14．设函数

恰有两个零点，则a的取值范围是 ．

，若用表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为 ．

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精选高中模拟试卷

15．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是 ．

16．在ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c，且abcosCcsinB，则角B 为 . 17．计算：

1

×5﹣= ．

18．已知ab1，若logablogba10，abba，则ab= ▲ ． 3三、解答题

19．衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中 随机抽取100名后按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第 5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组 各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组 至少有一名志愿者被抽中的概率.

20．如图，过抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F的直线交C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1x2=﹣4．

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精选高中模拟试卷

（Ⅰ）p的值；

（Ⅱ）R，Q是C上的两动点，R，Q的纵坐标之和为1，RQ的垂直平分线交y轴于点T，求△MNT的面积的最小值．

21．如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=2，E是PD的中点． （1）求证：平面PDC⊥平面PAD；

（2）求二面角E﹣AC﹣D所成平面角的余弦值．

22．如图，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点． （Ⅰ）求证：BC⊥平面A1AC；

（Ⅱ）若D为AC的中点，求证：A1D∥平面O1BC．

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精选高中模拟试卷

23．（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B,C两点，弦CD//AP，AD,BC相 交于点E，F为CE上一点，且DE2EFEC． （Ⅰ）求证：EDFP；

（Ⅱ）若CE:BE3:2,DE3,EF2，求PA的长．

24．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）． （Ⅰ）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；

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（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）

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梅县区外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D 【解析】

试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以选项D是正确，故选D.

考点：集合的概念；子集的概念. 2． 【答案】

【解析】选C.由题意得log2（a＋6）＋2log26＝9. 即log2（a＋6）＝3，

∴a＋6＝23＝8，∴a＝2，故选C. 3． 【答案】B

【解析】解：∵函数y=a﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，

x

0

∴根据图象的性质可得：a＞1，a﹣b﹣1＜0，

即a＞1，b＞0， 故选：B

4． 【答案】D

【解析】： 解：∵∥， ∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2． 故选：D． 5． 【答案】C

(1i)22i2i(3i)26i13i． 【解析】

3i3i(3i)(3i)10556． 【答案】C

【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个， 所以共有4×6=24个，

3

而在8个点中选3个点的有C8=56，

所以所求概率为故选：C

=

【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．

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7． 【答案】A 【解析】解：∵sinC=2

22∵a﹣b=

sinB，∴c=2

=b，

=

bc，∴cosA=

∵A是三角形的内角 ∴A=30° 故选A．

【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．

8． 【答案】C

【解析】解：∵∴x≥0， ∴A={x|x≥0}；

又x﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，

2

≤1=，

∴2≤x≤4． ∴B={x|2≤x≤4}， ∴∁RB={x|x＜2或x＞4}， ∴A∩∁RB={x|0≤x＜2或x＞4}，

故选C．

9． 【答案】A

2

【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，o）， ∴正态曲线的对称轴是x=2 P（0＜X＜4）=0.8，

∴P（X＞4）=（1﹣0.8）=0.1， 故选A．

10．【答案】A

【解析】解：根据余弦定理可知cosA=

222∵a=b+bc+c， 222

∴bc=﹣（b+c﹣a）

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∴cosA=﹣

∴A=120° 故选A

11．【答案】 A

【解析】解：当n=1时，满足进行循环的条件，故x=7，y=8，n=2， 当n=2时，满足进行循环的条件，故x=9，y=10，n=3， 当n=3时，满足进行循环的条件，故x=11，y=12，n=4， 当n=4时，不满足进行循环的条件， 故输出的数对为（11，12）， 故选：A

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

12．【答案】B 【解析】

考点：三角函数f(x)Asin(x)的图象与性质．

二、填空题

13．【答案】 （﹣3，0） ．

【解析】解：由题意，a≥0时，

x＜0，y=2x3﹣ax2﹣1，y′=6x2﹣2ax＞0恒成立， f（x）在（0，+∞）上至多一个零点； x≥0，函数y=|x﹣3|+a无零点， ∴a≥0，不符合题意；

﹣3＜a＜0时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点， 函数y=2x﹣ax﹣1在（﹣∞，0）上无零点，符合题意；

3

2

a=﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，

32

函数y=2x﹣ax﹣1在（﹣∞，0）上有零点﹣1，不符合题意；

a＜﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，

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函数y=2x﹣ax﹣1在（﹣∞，0）上有两个零点，不符合题意；

3

2

综上所述，a的取值范围是（﹣3，0）． 故答案为（﹣3，0）．

14．【答案】 {0，1} ． 【解析】解：=[=[﹣∵0＜

﹣]+[

]+[＜1，

+] +]， ＜，＜＜时， ＜，＜

=时， =0，

+=1，

＜1时，

＜0，1＜

+＜， +＜1，

+＜，

的值域为{0，1}．

∴﹣＜﹣①当0＜0＜﹣故y=0； ②当﹣故y=1； ③＜﹣＜﹣

故y=﹣1+1=0； 故函数

故答案为：{0，1}．

【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．

15．【答案】 [

] ．

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13222

【解析】解：由题设知C4p（1﹣p）≤C4p（1﹣p）， 解得p∵0≤p≤1， ∴

，

]．

，

故答案为：[

16．【答案】【

 4解

析

】

考

点：正弦定理．

【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是180，消去多余的变量，从而解出B角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.

17．【答案】 9 ．

【解析】解：

1×5﹣=

×=×=（﹣5）×（﹣9）×=9，

∴

故答案为：9．

18．【答案】43 【解析】

1

×5﹣=9，

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试题分析：因为ab1，所以logba1，又logablogba3101101logbalogba3或（舍），3logba33因此ab3，因为abba，所以b3bbb3bb3,b1b3,a33，ab43 考点：指对数式运算

三、解答题

19．【答案】（1）3,2,1；（2）【解析】111]

试题分析：（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从名志愿者中抽取名志愿者有10种情况，其中第组的名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有种，进而根据古典概型概率公式可得结果. 1

7 . 10（2）记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3，第4组的2名志愿者为B1,B2，则从5名志愿者中抽取2名志愿者有(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,A3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，

(A2,B2)，(A1,B2)，(A2,B1)，共10种，其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有(A1,B1)，

(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，共7种，所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为

考点：1、分层抽样的应用；2、古典概型概率公式. 20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由题意设MN：y=kx+， 由

22

，消去y得，x﹣2pkx﹣p=0（*）

7. 10由题设，x1，x2是方程（*）的两实根，∴

（Ⅱ）设R（x3，y3），Q（x4，y4），T（0，t）， ∵T在RQ的垂直平分线上，∴|TR|=|TQ|． 得∴

而y3≠y4，∴﹣4=y3+y4﹣2t．

，又

，故p=2；

，

，即4（y3﹣y4）=（y3+y4﹣2t）（y4﹣y3）．

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又∵y3+y4=1，∴因此，

，故T（0，）．

．

由（Ⅰ）得，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，

=

因此，当k=0时，S△MNT有最小值3．

【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，着重考查“舍而不求”的解题思想方法，考查了计算能力，是中档题．

21．【答案】

【解析】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD ∵AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内的相交直线，∴CD⊥平面PAD ∵CD⊆平面PDC， ∴平面PDC⊥平面PAD； （2）取AD中点O，连接EO， ∵△PAD中，EO是中位线，∴EO∥PA ∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD， ∵AC⊆平面ABCD，∴EO⊥AC 过O作OF⊥AC于F，连接EF，则 ∵EO、OF是平面OEF内的相交直线， ∴AC⊥平面OEF，所以EF⊥AC ∴∠EFO就是二面角E﹣AC﹣D的平面角 由PA=2，得EO=1，

在Rt△ADC中，设AC边上的高为h，则AD×DC=AC×h，得h=∵O是AD的中点，∴OF=×∵EO=1，∴Rt△EOF中，EF=∴cos∠EFO=

=

=

=

．

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【点评】本题给出特殊的四棱锥，叫我们证明面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了平面与平面所成角的求法和线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．

22．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）因为AB为圆O的直径，点C为圆O上的任意一点 ∴BC⊥AC …

又圆柱OO1中，AA1⊥底面圆O， ∴AA1⊥BC，即BC⊥AA1 … 而AA1∩AC=A

∴BC⊥平面A1AC … （Ⅱ）取BC中点E，连结DE、O1E， ∵D为AC的中点

∴△ABC中，DE∥AB，且DE=AB … 又圆柱OO1中，A1O1∥AB，且∴DE∥A1O1，DE=A1O1

∴A1DEO1为平行四边形 … ∴A1D∥EO1 …

而A1D⊄平面O1BC，EO1⊂平面O1BC ∴A1D∥平面O1BC …

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【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力．

23．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．

24．【答案】

【解析】解：（I）a=﹣2时，f（x）=xlnx﹣2x，则f′（x）=lnx﹣1． 令f′（x）=0得x=e，

当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，

∴f（x）的单调递减区间是（0，e），单调递增区间为（e，+∞）． （II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，

则xlnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+ax﹣ax+x恒成立， 又x﹣1＞0，则k＜设h（x）=

对任意x∈（1，+∞）恒成立，

．

，则h′（x）=

设m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣，

∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）在（1，+∞）上是增函数．

∵m（1）=﹣1＜0，m（2）=﹣ln2＜0，m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0， ∴存在x0∈（3，4），使得m（x0）=0， 当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，

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当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，

∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， ∴h（x）的最小值hmin（x）=h（x0）=

．

=x0．

∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0=x0﹣2．∴h（x0）=∴k＜hmin（x）=x0． ∵3＜x0＜4， ∴k≤3．

∴k的值为1，2，3．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数恒成立问题，构造函数求出h（x）的最小值是解题关键，属于难题．

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