2007年清华大学多元微积分期末考题

清华大学本科生考试试题专用纸 考试课程 2006 级多元微积分期末考题（A）2007.6.28 系名 班级 姓名 学号 一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！） x1． 设 F(x)0ln(1xy)dy，则F(x) 。 y22． 设函数f(x,y)在上连续，交换累次积分的顺序 2y21dyf(x,y)dx 。 y223． 设函数f(x,y)在上连续，将直角坐标系下的累次积分化为极坐标系下的累次积分： R23xRR2x2dxf(x,y)dydxf(x,y)dy 。 00R204． 锥面z 5． x2y2被柱面(x2007)2(y2008)24所截的面积等于 。 L2y2xdyydxx＝ ， 其中L:221， 逆时针为正。 abx2y26． 已知S为球面xyza，则 22222xdS 。 S7． 设L为曲线x2y22x(y0)，则222L2xdl 。 8． 设S为球面xyz4外侧的一部分，不与坐标面相交，则S上的点(x,y,z)的外 侧单位法向量是 ； 如果S的面积等于A，则Sdydzdzdxdxdy 。 xyzx2x2229． 如果平面向量场xy i2xy2j为半平面y0的保守场，那么 。yy 10． 设A(x,y,z)xyiejsin(zx)k，则divA(x,y,z) 。 11． 设常微分方程y(cosx)y(sinx)ysin2x有三个线性无关解y1(x)，y2(x)和 y3(x)，则常微分方程y(cosx)y(sinx)y0的通解是 。 yzdxdtx2y12． 一阶常微分方程组的通解为 。 dyx4ydt13． 全微分方程 (x2y)dx(2xy)dy0的通解为 。 14． 设是由锥面z x2y2与平面zh所围的闭区域，这里h0，则三重积分 zdxdydz 。  二．计算题（每题10分，共40分） 1． 计算二重积分 |xy2|dxdy， 其中Dx,y0x1,0y1。 D 2． 已知0lnxdx0，求1x20lnx2a2dx的值 (0a1)。 1x2（不必讨论广义含参积分的一致收敛性） 3． 计算第二类曲面积分 (2yz)dzdxzdxdyS，其中为有向曲面 Szx2y2,(0z1)，法向量与z轴正向夹角为锐角。 意简单光滑闭曲线L恒有2yf(x)dxx2f(x)dy0，求f(x)。 4． 设二阶连续可微函数f(x)满足f(1)2，f(1)1，若对于右半平面(x,y)x0内任L 三．证明题 d2xdx87xf(t), 其中f(t)C(,)且满足1． （8分）考虑二阶线性方程2dtdtlimf(t)0。 t(i) 求该方程的通解（可用常数变易法）；（ii）证明该方程的每个解x(t)满足limx(t)0。 t 2． （7分）设函数f(x,y)C()，且满足 22(x,y)fyy(x,y)e(x fxx证明：(i)2y2)， (x,y)。 2f222r2，其中为圆周：，逆时针为正向，n为r的xyrdl(1e)rnr外法向量，r0； (ii)x2y21[xfx(x,y)yfy(x,y)]dxdy2e。 第 1 页/共 1 页