特殊四边形中的对称性结论应用

特殊四边形中的对称性结论应用

李代辉

（四川省德阳市旌阳区德阳中学校）

摘 要：本文探究特殊四边形中对称中心和对称轴的结论应用。

关键词：平行四边形 矩形 菱形 正方形 对称中心

在人教版八年级下册第十八章《平行四边形》这一章中，针对平行四边形及其特殊图形的性质和判定有详细的介绍和应用。但对平行四边形及其特殊图形的对称性应用介绍却不多，本文打算把这个问题细化，抛砖引玉，供大家参考。

结论1：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称中心是对角线交点。

结论应用：若平行四边形上任两点的连线过对称中心，则这两点的中点是对称中心，连线评分平行四边形的周长和面积。证明如下：

已知

ABCD上有两点E、F，EF过AC、BD的交点O。求证：①OE=OF；②EF平分平行四边形周长和面积。证明：∵ABCD

∴ AD∥BC，OA=OC，AD=BC，AB=CD∴∠3=∠4∵∠1=∠2

∴△AEO≌△CFO(AAS) ∴OE=OF，AE=FC∴ED=BF

∴AE+AB+BF=FC+CD+DE∴EF平分周长

由△AEO≌△CFO的证明过程，同理可证△DEO≌△BFO，△ABO≌△CDO。

由全等三角形的面积也相等，从而有所以EF平分面积。

说明：因为矩形，菱形，正方形是特殊的平行四边形，所以该平行四边形的结论对矩形、菱形、正方形一样适用。

应用变式1：若一个平行四边形中有个小矩形，如图，现用一条直线平分平行四边形和矩形，则作法是什么？ 答：连接平行四边形和矩形的对角线交点所成直线即可。

应用变式2：若有两条直线都过正方形的对角线交点，且两直线相互垂直，垂足为对角线交点。则这两条直线将正方形面积4等分。

已知：正方形ABCD，AC，BD相交于O，过O作两条直线EF，GH，且EF⊥GH，

求证：EF，GH将正方形面积4等分。

简证：由上面的证明全等的思路，可以类比证出下列全等

△AGO≌△DFO≌△BEO≌△CHO(ASA)，△AEO≌△DGO≌△BHO≌△CFO(ASA)，

由全等则面积等，则FE，GH将正方形分成的4部分中，每

一部分都含有上面2个全等中的上面1个三角形和下面1个三角形，所以将正方形面积4等分了。

结论2：矩形的对称轴是对边中点连线，菱形的对称轴是对角线，正方形的对称轴是对边中点和对角线。

结论应用：对称轴是图形中任意一对对称点的中垂线。而中垂线的最多使用是考虑已知两定点和定直线上动点的连线和或差的最值问题。下举例说明。

例题1：矩形ABCD的对边AB，CD上有中点E，F；AB=4，BC=3，现EF上有一动点M，求AM+DM的最小值；

解：∵矩形ABCD上有对边中点E，F∴EF为矩形的对称轴；∴EF为CD的中垂线；∴DM=CM

∴AM+DM=AM+CM≥AC（当M在EF和AC交点时等号成立）

∵矩形ABCD中，AB=4，BC=3，由勾股定理得∴AC=5

∴AM+DM的最小值为5

变式1：菱形ABCD中，边长为4，∠BCD=60°，M为AC上一动点，①E为BC的中点，求BM+EM的最小值；②E为BC上任意一点，求BM+EM的最小值；

解：∵菱形ABCD。∴AC为菱形的对称轴；∴AC为BD的中垂线；∴DM=BM；

①∴BM+EM=DM+EM≥DE（当M在AC和DE交点处时等号成立）

∵菱形ABCD边长为4，E为BC中点，∠BCD=60°∴等边△BCD，DE为高，CE=2;∴由勾股定理得DE=

。∴BM+EM的最小值是

。②∴BM+EM=DM+EM≥DE≥D到BC的距离（当E为过D作BC的垂线的垂足，垂线和AC的交点为M时等号成立）

∵菱形ABCD边长为4，∠BCD=60°∴等边△BCD，CD=BC=4

过D作BC的垂线DE，则由等腰三角形三线合一与勾股定理得CE=2，DE=

；

∴BM+EM的最小值为

。点评：对称轴的使用还可放入到正方形中使用，同时将对称轴转化为中垂线不仅可涉及到等边的位置转化，还可以很容易的得到等角的位置转化，比如上题的∠AMB=∠AMD。请同学们能认真体会。由上我们可以看到对称性在平行四边形中的应用分为对称中心和对称轴的应用。对称中心更多的体现在平分上，平分线段，周长和面积；对称轴更多的体现在中垂线上，会涉及到角度和长度的位置转化，以及与求长度和差的最值相结合上。

2018.NO0747