第4讲 将军饮马

第4讲 将军饮马

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 模型1 定直线与两定点 模型 Al

B当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA+PB最小。

B

Al

当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使PA+PB最小。

A

B

l当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使PAPB最大。 A l

B当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使PAPB最大。

作法

Al

P B

连接AB交直线l于点P，点P即为所

求作的点。 BA Pl

B'作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。

AB

并Pl连接AB

延长交直线l于点P，点P即为所求作的点。 A

B'Pl

B作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。

结论

PA+ PB的最小。 PA+PB的最小值为AB′。 PAPB的最大

值为AB。

PAPB的最大

值为AB′。

ABl ABl 当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使PAPB最小。 PAPB的最小值为0。 P 连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点。 模型实例

例1．如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC

上有一点P，则PD+PE的最小值为 。

A D PE

CB

例2．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P为CD上的动点，则PAPB的最大值是多少？

A C

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1．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是BC边的中点，E是AB边 上一动点，则EC+ED的最小值是 。

A

C

DPBEDB

2．如图，点C的坐标为（3，y），当△ABC的周长最短时，求y的值。

y

A（3，0）

OB（2，0）

3．如图，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一点，且DM-3，N是AC上的一 动点，求DNMN的最小值与最大值。

xANDMBC

模型2 角到定点 模型 A P OB 点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。 作法 P'CPODP''BA分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P\"，连接 P′P\"，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。 结论 △PCD周长最小为P′P\"。 A P OB 点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。 C P OBD P' 作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点C，点C、D即为所求。 A PC+CD的最小值为P′C。 P QO B 点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。 A A P' CP Q O DB Q' 分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。 PC+CD+DQ的最小值为PQ′，所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。

模型实例

例1．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，在OA上有一点Q，OB上有一点R。若△PQR周长最小，则最小周长是多少？

A

P

O

B

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1．如图，∠MON=40°，P为∠MON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，当△PAB的周长取最小值时：

（1）找到A、B点，保留作图痕迹；

（2）求此时∠APB等于多少度。如果∠MON=，∠APB又等于多少度？ M

P

NO

2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠AMN+∠ANM的度数。 A D B

M N

C

3．如图，在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使AD+CD+BC最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标。 y

A（1，3）

B（3，1）

xO

4．如图∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON上两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是多少？

MAOBN

模型3 两定点一定长 模型 d A B作法 dAA'BMN 如图，在直线l上找M、N两 点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=d。 A'' 将点A向右平移d个单位到A′，作A′关于直线l的对称点A\"，连接A\"B交直线l于点N，将点N向左平移d个单位到M，点M、N即为所求。 结论 AM+MN+NB最小为A\"B 。 A1AM12 A'N2 如图，l1∥Bl2，l1，l2之间距离为d，在l1，l2分别找M、N两点，使得MN⊥l1，且AM+MN+NB最小。 B将点A向下平移d个单位到A′，连接A′B交直线l2于点N，将点N向上平移d个单位到M，点M、N即为所求。 AM+MN+NB的最小值为A′B+d。 模型实例

例1．在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上， 且OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=2。当四边形BDEF 的周长最小时，求点E的坐标。 y

BC

D xEOFA

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1．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在， x轴、y轴的正半

轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点。 （1）若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。 y

BC

D xOA

2．村庄A和村庄B位于一条小何的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如

何选择，才使A与B 之间的距离最短？ A12B