经济数学基础形考答案

电大【经济数学基础】形成性考核册参考答案

《经济数学基础》形成性考核册（一）

一、填空题 1.limx0xsinx___________________.答案：1 xx21,x02.设f(x)，在x0处连续，则k________.答案1 k,x03.曲线yx+1在(1,1)的切线方程是 . 答案:y=1/2X+3/2

24.设函数f(x1)x2x5，则f(x)____________.答案2x

5.设f(x)xsinx，则f()__________.答案: 

二、单项选择题

1. 当x时，下列变量为无穷小量的是（ D ）

π2 22x2sinxA．ln(1x) B． C．ex D．

x1x12. 下列极限计算正确的是（ B ） A.limxxx01 B.limx0xx1 C.limxsinx01sinx1 D.lim1

xxx3. 设ylg2x，则dy（ B ）． A．

11ln101dx B．dx C．dx D．dx 2xxln10xx4. 若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误的．

A．函数f (x)在点x0处有定义 B．limf(x)A，但Af(x0)

xx0 C．函数f (x)在点x0处连续 D．函数f (x)在点x0处可微 5.若f()x，则f(x)（ B ）. A．

1x1111 B． C． D． xxx2x2

三、解答题 1．计算极限

本类题考核的知识点是求简单极限的常用方法。它包括： ⑴利用极限的四则运算法则； ⑵利用两个重要极限；

⑶利用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量)

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⑷利用连续函数的定义。

x23x2（1）lim 2x1x1分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。

具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则限进行计算 解：原式=lim(x1)(x2)x2121=lim=

x1(x1)(x1)x1x1112x25x6（2）lim2

x2x6x8分析：这道题考核的知识点主要是利用函数的连续性求极限。

具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用函数的连续性进行计算 解：原式=lim(x2)(x3)x3231=lim

x2(x2)(x4)x2x42421x1 x（3）limx0分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。

具体方法是：对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则进行计算 解：原式=lim(1x1)(1x1)x(1x1)x0=lim1x1x(1x1)x0=limx011x1=1 22x23x5（4）lim

x3x22x4分析：这道题考核的知识点主要是函数的连线性。

3522xx2002 解：原式=limx24323003xxsin3x（5）lim

x0sin5x分析：这道题考核的知识点主要是重要极限的掌握。

具体方法是：对分子分母同时除以x，并乘相应系数使其前后相等，然后四则运算法则和重要极限进行计算

sin3xsin3xlim33x03x313 解：原式=lim3xx0sin5xsin5x51555limx05x5xx24（6）lim

x2sin(x2)分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则和重要极限的掌握。

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具体方法是：对分子进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则和重要极限进行计算 解：原式=lim(x2)(x2)x2lim(x2)lim414

x2x2x2sin(x2)sin(x2)1xsinb,x0x2．设函数f(x)a,x0，

sinxx0x问：（1）当a,b为何值时，f(x)在x0处极限存在？ （2）当a,b为何值时，f(x)在x0处连续.

分析：本题考核的知识点有两点，一是函数极限、左右极限的概念。即函数在某点极限存在的充分必要条件是该

点左右极限均存在且相等。二是函数在某点连续的概念。 解：（1）因为f(x)在x0处有极限存在，则有

x0limf(x)limf(x)

x0x0又 limf(x)lim(xsinx01b)b x limf(x)limx0x0即 b1

sinx1 x所以当a为实数、b1时，f(x)在x0处极限存在. （2）因为f(x)在x0处连续，则有 limf(x)limf(x)f(0)

x0x0又 f(0)a，结合（1）可知ab1 所以当ab1时，f(x)在x0处连续.

3．计算下列函数的导数或微分：

本题考核的知识点主要是求导数或（全）微分的方法，具体有以下三种： ⑴利用导数(或微分)的基本公式 ⑵利用导数(或微分)的四则运算法则 ⑶利用复合函数微分法

（1）yx2log2x2，求y

2x2分析：直接利用导数的基本公式计算即可。

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解：y2x2ln2（2）yx1 xln2axb，求y

cxd(axb)(cxd)(axb)(cxd)a(cxd)(axb)cadbc= =

(cxd)2(cxd)2(cxd)2分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。 解：y（3）y13x5，求y

分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。

1132(3x5)(3x5)2 解：y[(3x5)](3x5)221213（4）yxxex，求y

分析：利用导数的基本公式计算即可。

1xx解：y(x)(xe)x2exe

2x121分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。 （5）yeaxsinbx，求dy

axaxax解：y(e)sinbxe(sinbx)e(ax)sinbxeaxcosbx(bx)=aeaxsinbxbeaxcosbx

dyydx(aeaxsinbxbeaxcosbx)dx

（6）yexx，求dy

分析：利用微分的基本公式和微分的运算法则计算即可。

1x1x13解：y(e)(x)e()xx2e3 dyydx(2x2)dx

2x（7）ycosxex，求dy

21x321x312e32x2

2x11x1分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算 解：y(cosx)(ex)sin（8）ysinxsinnx，求y

n--精品

2x(x)ex(x2)2sinx2x2xex

2精品---

分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算 解：y[(sinx)](sinnx)n(sinx)nn1(sinx)cosnx(nx)n(sinx)n1cosxncosnx

（9）yln(x1x2)，求y 分析：利用复合函数的求导法则计算 解：y1x1x12(x1x)121x1x2(1((1x)))

212111x1x2122 = (1(1x)2x)22222x1xx1x1x1x（10）y2cot1x13x22xx1216，求y

分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算 解：y(2sin1x)(x)(x)(2)232sin1x1131ln2(sin)x2x60

x26sin1x355 21sinx111ln2()()xcosxx21x6562ln212162xx xcosx264.下列各方程中y是x的隐函数，试求y或dy 本题考核的知识点是隐函数求导法则。 （1）xyxy3x1，求dy

22解：方程两边同时对x求导得： (x)(y)(xy)(3x)(1)

22 2x2yyyxy30 yy2x3

2yx2yxxy dyydxy2x3dx （2）sin(xy)e4x，求y

解：方程两边同时对x求导得： cos(xy)(xy)exyxy(xy)4 cos(xy)(1y)exy(yxy)4

xy y(cos(xy)xe)4cos(xy)ye

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4cos(xy)yexy yxycos(xy)xe5．求下列函数的二阶导数：

本题考核的知识点是高阶导数的概念和函数的二阶导数 （1）yln(1x)，求y

2解：y12x2 (1x)221x1x2x2(1x2)2x(02x)22x2 y( )21x(1x2)2(1x2)2（2）y1xx，求y及y(1)

11311x11解：y()(x2)(x2)x2x2

22x11131131 y(x2x2)(x2)()x2x2x2=1

22222244

315353《经济数学基础》形成性考核册（二）

（一）填空题 1.若2.

f(x)dx2x2xc，则f(x)2xln22.

(sinx)dxsinxc. f(x)dxF(x)c，则xf(1x2)dxde2ln(1x)dx0 1dx1F(1x2)c 23. 若

4.设函数

5. 若P(x)0x11t2dt，则P(x)11x2.

（二）单项选择题 1. 下列函数中，（ D ）是xsinx2的原函数． A．

11cosx2 B．2cosx2 C．-2cosx2 D．-cosx2 221x11dxdx d(2x) D．

ln2x 2. 下列等式成立的是（ C ）．

A．sinxdxd(cosx) B．lnxdxd() C．2dxx--精品

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3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ）． A．cos(2x1)dx， B．x1xdx C．xsin2xdx D．4. 下列定积分中积分值为0的是（ D ）． A．

2x1x2dx

112xdx2 B．

161dx15 C．

cosxdx0 D．

sinxdx0

5. 下列无穷积分中收敛的是（ B ）．

A．

11x C． D．dx B．dxedxsinxdx 21x1x0

(三)解答题

1.计算下列不定积分

）3x（1exdx 解：原式 (3e)xdx1ln31(3e)xc （3）x24x2dx 解：原式(x2)(x2)x2dx122x2xc

（5）x2x2dx 解：原式122x2d(2x2) 3 13(2x2)2c （7）xsinx2dx 解：原式2xdcosx2 1）(1x)2（2xdx 解：原式12xx2xdx 13-122x2x2)dx

(x1

2x243253x25x2c（4）112xdx 解：原式11212xd(1-2x) 12ln12xc

（6）sinxxdx

解：原式 2sinxdx 2cosxc

（8）ln(x1)dx

解：原式xln(x1)xx1dx --精品

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xxx12xcos4cosd()xln(x1)(1222x1)dx

xxxln(x1)xln(x1)c2cos4sinc22

2.计算下列定积分 （1）

211xdx （2）1

122

edx 2x

21x1x

解：原式1ed() 解：原式(1x)dx(x1)dx111x11(1x)22

15222（3）

12(x1)1221

e1x1221

eee31x1lnx1dx （4）2xcos2xdx

0解：原式2e311d(lnx1) 解：原式2xdsin2x

2021lnx1e1321lnx

422（5）

11xsin2x022sin2xd(2x)240

11cos2x02424e1xlnxdx （6）(1xex)dx

0441e2解：原式lnxdx 解：原式dxxdex

0021121ee4xlnx1xdx44xex0exd(x)22101212144 ee 44ee1

244455e1(e21)4

《经济数学基础》形成性考核册（三）

（一）填空题

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10451.设矩阵A3232，则A的元素a23__________________.答案：3 21612.设A,B均为3阶矩阵，且AB3，则2ABT=________. 答案：72

3. 设A,B均为n阶矩阵，则等式(AB)A2ABB成立的充分必要条件是 .答案：ABBA

2224. 设A,B均为n阶矩阵，(IB)可逆，则矩阵ABXX的解X______________.答案：(IB)1A

10015. 设矩阵A020，则A0031__________.答案：00012000 13（二）单项选择题

1. 以下结论或等式正确的是（ C ）．

A．若A,B均为零矩阵，则有AB

B．若ABAC，且AO，则BC

C．对角矩阵是对称矩阵

D．若AO,BO，则ABO

2. 设A为34矩阵，B为52矩阵，且乘积矩阵ACB有意义，则C为（ A ）矩阵．

TT A．24 B．42 C．35 D．53

3. 设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ C ）． ` A．(AB)1A1B1， B．(AB)1A1B1 C．ABBA D．ABBA

4. 下列矩阵可逆的是（ A ）．

1231011111 A．023 B．101 C． D． 0022003123

2225. 矩阵A333的秩是（ B ）． 444A．0 B．1 C．2 D．3

三、解答题 1．计算

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（1）210112= 531035021100（2）0000

0330（3）1254=0

122312424512．计算122143610 13223132723124245719724551521610=111

00解 1221436107121322313270473273214231123，B112，求AB。

13．设矩阵A11011011解 因为ABAB

2A131111023122(1)23(1)11011230110102131222 12B1120-1-10

所以ABAB200

（注意：因为符号输入方面的原因，在题4—题7的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成①；（2）写成②；（3）写成③；…）

1244．设矩阵A21，确定的值，使r(A)最小。 110--精品

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1242,3解：21

110

当241242111732110312401421047210190444

09时，r(A)2达到最小值。 42532158543的秩。 5．求矩阵A174204112325325854解： A17424112131,303174258542532411202153123414 1301 004202331702715634332,3→095210271563∴r(A)2。 6．求下列矩阵的逆矩阵：

2174095200000000132

1（1）A301111321002133111010解：AI3011001110032413201121112043101100132097232 310043101001321321011112231

134900100113010237 001349 ∴

13058180102123374900131363（2）A =421． 112A1113

237349--精品

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0130136310010123解：AI421010421010→ 1100111001220130102,302141301261012143121101301001→

12610214130100130100130322011261231010200101271

0010120∴A-1 =13271 0127．设矩阵A121235,B23，求解矩阵方程XAB．

1210122解：AI21312102350101311105013 ∴

A152

31

∴

XBA1122352 31= 10 11四、证明题

1．试证：若B1,B2都与A可交换，则B1B2，B1B2也与A可交换。 证：∵B1AAB1， B2AAB2

∴B1B2AB1AB2AAB1AB2AB1B2 即 B1B2也与A可交换。

B1B2AB1B2AB1AB2B1AB2AB1B2 即 B1B2也与A可交换.

2．试证：对于任意方阵A，AAT，AAT,ATA是对称矩阵。

证：∵AATTATATTATAAAT

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21

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∴AAT是对称矩阵。 ∵(AA)=ATTTTATAAT

∴AAT是对称矩阵。 ∵ATATATATTATA

∴ATA是对称矩阵.

3．设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：ABBA。 证： 必要性：

∵ATA ， BTB 若AB是对称矩阵，即ABAB

T而ABBABA 因此ABBA

TT充分性：

TT若ABBA，则ABBABAAB

T∴AB是对称矩阵.

4．设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B 证：∵AA BT11BT，证明B1AB是对称矩阵。

BT

1TB

1AB1ABBTTBTATBTTB1AB

∴BAB是对称矩阵. 证毕.

《经济数学基础》形成性考核册（四）

（一）填空题 1.函数f(x)4x21_________。答案：(1,2)2,4. 的定义域为__________ln(x1)2. 函数y3(x1)的驻点是________，极值点是 ，它是极 值点。答案：x=1；（1，0）；小。 3.设某商品的需求函数为q(p)10ep2，则需求弹性Ep .答案：Ep=p 2--精品

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4.行列式

1D111111____________1A001.答案：4.

116，则t__________时，方程组有唯一解. 答案：t1320t1015. 设线性方程组AXb，且1.

（二）单项选择题

1. 下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（ B

A．sinx B．e x C．x 2 2. 设f(x)）．

D．3 – x

1，则f(f(x))（ C ）． x112A． B．2 C．x D．x

xxxx1ee11exexdx0 B．dx0 C．xsinxdx0 D．(x2x3)dx0 A．11-1-12213. 下列积分计算正确的是（ A ）．

4. 设线性方程组AmnXb有无穷多解的充分必要条件是（ D ）．

A．r(A)r(A)m B．r(A)n C．mn D．r(A)r(A)n

x1x2a15. 设线性方程组x2x3a2，则方程组有解的充分必要条件是（ C ）．

x2xxa2331A．a1a2a30 B．a1a2a30 C．a1a2a30 D．a1a2a30

三、解答题

1．求解下列可分离变量的微分方程： (1) ye解:

xy

dyexey , eydyexdx eydyexdx , eyexc dxdyxex（2）2

dx3y解: 3ydyxedx

2x3y2dyxdex y3xexexdx y3xexexc

2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）y2y(x1)3 x1--精品

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解:ye2dxx123x1dxx1ee2lnx1dxcx1e32lnx1dxcx12x1dxc

x121x12c 2（2）y解:yey2xsin2x x1dx2xsin2xexdxcelnx1dxx2xsin2xelnxdxc

1x2xsin2xdxcxsin2xd2xc xcos2xc

x3.求解下列微分方程的初值问题： (1)ye2xy,y(0)0

dye2xy 解：

dxe

y2xedyedx y e12xec 2 用x0,y0代入上式得：

101ec， 解得c 2212x1y ∴特解为：ee

22 e0 (2)xyye0,y(1)0

x解：y11yex xx11xdxexdxxdxc yexe

 elnx1xlnxeedxc xxx 1xedxc1exc

 用x1,y0代入上式得：

0ec 解得：ce

--精品

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∴特解为：y1xec x（注意：因为符号输入方面的原因，在题4—题7的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成①；（2）写成②；（3）写成③；…）

4.求解下列线性方程组的一般解：

2x3x40x1（1）x1x23x32x40

2xx5x3x0234121211010211312321解：A=1132011121530111所以一般解为

10210111 0000x12x3x4 其中x3,x4是自由未知量。 xxx342

2x1x2x3x41（2）x12x2x34x42

x7x4x11x52341211111,2解：A1214217411521214221212142111131105373

317411505372121412321505373000001213010005475023501105312201500065750453 50416xx15535x4因为秩A秩A=2，所以方程组有解，一般解为

337x2x3x4555其中x3,x4是自由未知量。

5.当为何值时，线性方程组

--精品

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x1x25x34x422x1x23x3x413x12x22x 33x437x15x29x310x4有解，并求一般解。

1154221254221131311解：A31139332233413011393 7591001022618141154211085132422011393121011393000000000800000 00008

可见当8时，方程组有解，其一般解为

x118x35x4xx 其中x3,x4是自由未知量。

2313x394

6．a,b为何值时，方程组

x1x2x31x1x22x32 x13x2ax3b有唯一解、无穷多解或无解。

11112111111解： A2311111212113220213ab004a1b100根据方程组解的判定定理可知：

当a3，且b3时，秩A<秩A，方程组无解；

当a3，且b3时，秩A=秩A=2<3，方程组有无穷多解； 当a3时，秩A=秩A=3，方程组有唯一解。

7．求解下列经济应用问题：

（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C(q)1000.25q26q（万元）,

求：①当q10时的总成本、平均成本和边际成本；

--精品

1111a3b3

精品---

②当产量q为多少时，平均成本最小？ 解:

① cq1000.25q6 q 当q10时

2 cq0.5q6

总成本：c101000.2510610185（万元） 平均成本：c101000.2510618.5（万元） 10边际成本：c100.510611（万元） ②cq1000.25 q2 令 cq0得 q120

q220（舍去）

由实际问题可知，当q=20时平均成本最小。

（2）.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)204q0.01q（元），单位销售价格为p140.01q2（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少． 解: Rqpq14q0.01q

2 LqRqCq

14q0.01q204q0.01q 10q0.02q20

222

Lq100.04q

令Lq0， 解得：q250（件）

L250102500.02250201230（元）

2因为只有一个驻点，由实际问题可知，这也是最大值点。所以当产量为250件时利润达到最大值1230元。

--精品

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（3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C(x)2x40(万元/百台)．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低． 解: c22x40dxx40x466100 （万元） 4 cxcxdx22x40dxx40xc ∵固定成本为36万元 ∴cxx40x36

2cxx40cx136 x36 2x令cx0 解得：x16,x26（舍去）

因为只有一个驻点，由实际问题可知cx有最小值，故知当产量为6百台时平均成本最低。

（4）已知某产品的边际成本C(q)=2（元/件），固定成本为0，边际收入

R(q)120.02q，求：

①产量为多少时利润最大？

②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

解: LxRxCx120.02x2100.02x

令Lx0 解得：x500（件）

L100.02xdx10x0.01x25005502550 5002 105500.01550105000.01500

=2470-2500=-25（元）

当产量为500件时利润最大，在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会减少25元。

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