经过曲线上一点的切线方程

例1 求经过圆xyr上一点x1,y1的切线l方程；

222分析：

Px1,y1 O 若P不是切线与坐标轴的交点，则kOPy1， x1由OP⊥l得，klx1， y1x1xx1， y12由点斜式方程得：yy122整理，得x1xy1yx1y1r

若P（r,0）,则l：x=r即rx+0y=r; 若P（-r,0）,则l：x=-r即-rx+0y=r; 若P（0,r）,则l：y=r即0x+ry=r; 若P（0,-r）,则l：y=-r即0x-ry=r;

2综上所述，经过圆xyr上一点x1,y1的切线l方程为x1xy1yr；

2222例2 求经过圆xaybr上一点x1,y1的切线l方程；

222222

Px1,y1 C（a,b） O

分析：若切线的斜率存在且不为0时，kCPy1bxa，kl1 x1ay1b

由点斜式方程得：yy1x1axx1 y1bx1axx1y1byy10x1axax1ay1byby1b0 即： 22x1axay1bybx1ay1bx1axay1bybr2 若切线的斜率不存在或为0时，切线方程都可表示为以上形式，

2 故经过圆xaybr上一点x1,y1的切线l方程为：

22

x1axay1bybr2

22例3 求经过圆xyDxEyF0上一点x1,y1的切线l方程；

分析：若切线的斜率存在且不为0时，kCPy1bxa，kl1 x1ay1b

由点斜式方程得：yy1x1axx1 y1bD2xx 即：yy11Ey12x1EDy1yy1x1xx1022xx12x1yy12y122整理，得x1xy1yDEx1y10

22xx1yy1x1xy1yDEF022若切线的斜率不存在或为0时，上式仍成立，

故经过圆xyDxEyF0上一点x1,y1的切线l方程为

22

x1xy1yDxx1yy1EF0 22x2y2例4 求经过椭圆221上一点x1,y1的切线l方程；

ab

分析：若切线l的斜率存在且不为0时，设l：yy1kxx1

Px1,y1 b2x2a2y2a2b2解方程组

ykxy1kx1b2a2k2x22a2ky1kx1xa2y1kx1a2b20

2由△=0得，2a2ky1kx14b2a2k2a2y1kx1a2b20

22x21a2k22x1y1ky1b20

22222222又2x1y14x1ay1b4bx1ay1ab0

2222所以kx1y1x1a22

yy1x1y1x1a22xx1yy1x12a2x1y1xx1x21a2yy1a2x1y1x2于是a2b2a2y21 2ayy1x1xa2ba2y1yb2x1xa2x1xy1y21a2b若切线l的斜率不存在或为0时，切线方程也符合

x1xy1y21 a2bxxyyx2y2综上所述，过椭圆221上一点x1,y1的切线l方程为12121；

ababx2y2例5 求经过双曲线221上一点x1,y1的切线l方程；

ab分析：如图所示

若切线l的斜率存在，设l：yy1kxx1

b2x2a2y2a2b2 解方程组

ykxy1kx1

b2x2a2kxy1kx1a2b22(bak)x2aky1kx1xay1kx1ab0222222222

由△=0得：

2

x4a4k2y1kx14a2b2a2k2y1kx1b202212ak2x1y1ky1b02222

22222222 又2x1y14x1ay1b4bxayab0

22 故k2x1ax1y122x1y122x1y1x1a22

yy1x x2211a2yy1x1y1xx1a22yax1a2xx1

y1x1y1xa2y12a2b222ayay1x1y1x2bx1xy1y21a2b若切线l的斜率不存在，切线l的方程仍可表示为

x1xy1y21 a2bxxyyx2y2综上所述，经过双曲线221上一点x1,y1的切线l方程为12121；

abab例6 求经过抛物线x2py上一点x1,y1的切线l方程；

2分析：如图所示

Px1,y1

设切线l方程为：yy1kxx1

x22py解方程组

ykxy1kx1代入得 x2pkx2py1kx10

2由△=0得：

2pk28py1kx10pk2x1k2y102

又2x18py14x12py10

22故kx1 pyy1x1xx1p2于是切线l方程为：pypy1x1xx1

x1xpy1y归纳：经过曲线fx,y0上一点x1,y1的切线l方程可用如下方法做替代，直接写出切线方程：

x2x1xy2y1yxa2x1axa2 yay1aya

xx1x2yyy12