(完整word版)椭圆的参数方程(含答案)

椭圆的参数方程

教学目标：

1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题； 2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分 析问题和解决问题的能力。

3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：椭圆的参数方程。

教学难点：椭圆参数方程中参数的理解. 教学方式：讲练结合，引导探究。 教学过程： 一、复习

x2y2焦点在x轴上的椭圆的标准方程：221(ab0)

aby2x2焦点在y轴上的椭圆的标准方程：221(ab0)

ab二、椭圆参数方程的推导

1. 焦点在x轴上的椭圆的参数方程

22因为()()1，又cossin1

xayb22xacosxy设cos,sin，即，这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。 abybsin2.参数的几何意义

问题、如下图，以原点O为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆。设A为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B。过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 解：设以Ox为始边，OA为终边的角为，点M的坐标是(x, y)。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点A,B均在角的终边上，由三角函数的定义有

x|OA|cosacos， y|OB|sinbcos。

当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是

xacos ybsin(为参数)这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。

1

在椭圆的参数方程中，通常规定参数的范围为[0,2)。 思考：椭圆的参数方程中参数的意义与圆的参数方程xrcos

yrsin(为参数)中参数的意义类似吗？

由图可以看出，参数是点M所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角（称为点M的离心角），不是OM的旋转角。参数是半径OM的旋转角。 3. 焦点在y轴上的椭圆的参数方程

x2y21, b2a2xbcosyasin三、例题分析

例1.把下列普通方程化为参数方程.

x2y2(1)149y2(2)x1162

变式：

把下列参数方程化为普通方程

(3)x29y2521(4)x2y21001x2cos(1) y3sin

(2)xcosy4sinx8cos(3)y10sinx3cos(4)y5sinx2y2例2. 已知椭圆221(ab0),求椭圆内接矩形面积的最大值.

ab解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为

(acos,bsin)

QS矩形4acosbsin2absin22ab

当k (kZ)时，S矩形2ab最大。24所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab

2

例3、在椭圆x29y241上求一点M，使点M到直线x2y100 的距离最小，并求出最小距离解：因为椭圆的参数方程为x3cos（为参数）

y2sin所以可设点M的坐标为(3cos,2sin)。 由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为

变式2、设P(x,y)是椭圆2x23y212上的一个动点，求x2y的取值范围。

x2y2解：椭圆的方程可化为641,它的一个参数方程为{x6cosy2sin(为参数，02)

Qx2y6cos4sin22cos()Qcos()[1,1]x2y[22,22]

四、课堂练习

3

1、P是椭圆{x4cosy23sin(为参数)上一点，且在第一象限，OP(O为原点)的倾斜角为，则点P的坐标为344(23,3),D、(4,3) A、(2,3),B、(5,15) C、55答案：B



y23sin解：QOP的倾斜角为kOPtan3又kOP333x4cossin2cos525又sincos1,且点P在第一象限cos,sin515从而有x4cos,y23sin5522

2.已知圆的方程为x2y24xcos2ysin3cos20,(为参数)，那么圆心的轨迹的普通方程为____________________?

解：方程x2y24xcos2ysin3cos20，可以化为(x2cos)2(ysin)21x2所以圆心的参数方程为{(为参数)，化为普通方程是y21ysin4五、课堂小结：

本课要求大家了解了椭圆的参数方程及参数的意义，通过推导椭圆的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握，并能选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题，

x2cos

x2y21的内接矩形的最大面积是__________________. 1. 椭圆

169x2y21与坐标轴正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P，使四边形2. 已知A、B是椭圆94OAPB的面积最大

.

x2y21，求z＝x＋2y的最大值与最小值 3、 已知实数x、y满足

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