2020高考人教版数学理科一轮复习课后练24【正弦定理、余弦定理】及解析

一、选择题71．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，c－a＝2，b＝3，则a＝(8A．25B.C．32D.72A)71b2＋c2－a27解析：由题意可得c＝a＋2，b＝3，cosA＝，由余弦定理，得cosA＝·，代入数据，得＝828bc9＋a＋22－a2

，解方程可得a＝2.2×3a＋22．(2019·湖北黄冈质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝＝(BA.)53B.55C.45D.5655sinB，又A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，所以cosB＝.245b，A＝2B，则cosB2解析：由正弦定理，得sinA＝3．(2019·成都诊断性检测)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，则“sinA>sinB”是“tanA>tanB”的(C)A．充分不必要条件C．充要条件解析：在锐角△ABC中，根据正弦定理B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件ab＝，知sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，而正切函数y＝tanx在(0，sinAsinBπ)上单调递增，所以A>B⇔tanA>tanB.故选C.2c4．(2019·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若0，∴cosB<0，5．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C4＝(C)A.π2B.π31C.π4D.π6a2＋b2－c2a2＋b2－c21解析：根据题意及三角形的面积公式知absinC＝，所以sinC＝＝cosC，所以在△242abπABC中，C＝.46．(2019·河南洛阳高三统考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，c且a2＝c2＋ac－bc，则＝(B)bsinBA.C.3233B.233D.32

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b2＋c2－a2bc1解析：由a，b，c成等比数列得b＝ac，则有a＝c＋b－bc，由余弦定理得cosA＝＝＝，2bc22bcsinCπ3csinC23故A＝，对于b2＝ac，由正弦定理得，sin2B＝sinAsinC＝·sinC，由正弦定理得，＝2＝＝.332bsinBsinB3sinC2故选B.二、填空题7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝33，则S△ABC＝.2解析：因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得13为0°0，1∴解得a＝2，∴S△ABC＝absinC＝3，∴△ABC的面积为3.2BB111．(2019·重庆市质量调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin－cos＝.224(1)求cosB的值；(2)若b2－a2＝31sinCac，求的值．4sinABB1115解：(1)将sin－cos＝两边同时平方得，1－sinB＝，得sinB＝，2241616故cosB＝±31BB1，又sin－cos＝>0，16224BB所以sin>cos，22Bπππ31所以∈(，)，所以B∈(，π)，故cosB＝－.242216(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋所以3131a＝c－2acosB＝c＋a，4831sinC31a，故＝.8sinA831ac，4所以c＝12．(2018·北京卷)若△ABC的面积为＋∞)．322c(a＋c－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝60°；的取值范围是(2，4a133解析：△ABC的面积S＝acsinB＝(a2＋c2－b2)＝×2accosB，所以tanB＝3，因为0°<∠B<180°，24432π－Asin3csinC3所以∠B＝60°.因为∠C为钝角，所以0°<∠A<30°，所以02，2tanA2sinAc故的取值范围为(2，＋∞)．a13．(2019·山西八校联考)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且(a＋c)2＝b2＋3ac.(1)求角B的大小；(2)若b＝2，且sinB＋sin(C－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．解：(1)由(a＋c)2＝b2＋3ac，整理得a2＋c2－b2＝ac，a2＋c2－b2ac1由余弦定理得cosB＝＝＝，2ac22acπ∵00.2c2tanA＋tanC2tanC1从而tanB＝－tan(A＋C)＝－＝＝，由基本不等式，得＋3tanC≥1tanC1－tanAtanC1＋3tan2C＋3tanCtanC133×3tanC＝23，当且仅当tanC＝时等号成立，此时角B取得最大值，且tanB＝tanC＝，tanAtanC33＝－3，即b＝c，A＝120°，又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝3，故△ABC的周长为2＋3.2b2＋c2－a2

解法2：由已知b＋2ccosA＝0，得b＋2c·＝0，整理得2b2＝a2－c2.由余弦定理，得cosB＝2bc22222

a＋c－ba＋3c23ac3＝≥＝，当且仅当a＝3c时等号成立，此时角B取得最大值，将a＝3c代入2b2

4ac22ac4ac＝a2－c2可得b＝c.又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝3，故△ABC的周长为2＋3.故选A.15．(2019·河南信阳二模)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)＝bsinC.(1)求角A的大小；(2)设a＝3，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值．解：(1)∵(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)＝bsinC，∴根据正弦定理，知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝bc，即b2＋c2－a2＝－bc.b2＋c2－a21∴由余弦定理，得cosA＝＝－.22bc2又A∈(0，π)，所以A＝π.332bca(2)根据a＝3，A＝π及正弦定理可得＝＝＝＝2，∴b＝2sinB，c＝2sinC.33sinBsinCsinA2113∴S＝bcsinA＝×2sinB×2sinC×＝3sinBsinC.222∴S＋3cosBcosC＝3sinBsinC＋3cosB·cosC＝3cos(B－C)．B＝C，故当πB＋C＝，3π即B＝C＝时，6S＋3cosB·cosC取得最大值3.5