线性代数模拟题1

线性代数模拟题1 一．单选题. 1. 如果

a11Da21a31a12a22a32a13a333a313a113a323a223a123a333a23 3a13a23m，D13a21那么D1（ ）．

（A）3m； (B)3m； (C)9m； (D)27m．

z0kx2. 当（ ）时，方程组2xkyz0仅有零解．

kx2yz0 （A）k0； （B）k2； （C）k3； （D）k2．

3. 设A为n阶方阵，且A的行列式Aa0，而A*是A的伴随矩阵，则A*等于（ ）．

（A）a； （B）

1a； （C）an1 ； （D）a．

n4. 设A是mn矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵BAC的秩为r1，则（ ）．

（A）rr1； （B）rr1 ；（C）rr1； （D）r与r1的关系依C而定． 5. 设A是n阶方阵，其秩为r，则在A的n个行向量中（ ）

(A) 必有r个行向量线性无关 (B) 任意r个行向量线性无关

(C) 任意r个行向量都构成极大无关向量组

(D) 任意一个行向量都可以由其余n1个行向量线性表示 6. 若向量组,,线性无关；,,线性相关，则（ ）

(A)必可由,,线性表示 ; (B)必不可由,,线性表示 ; (C )必可由,,线性表示; (D)必不可由,,线性表示. 7. 已知三阶矩阵A的特征值为1，2，3，则行列式|A2|=( )

(a)0 (b)1 (c)6 (d)36 8. 下列说法正确的有( )

(a) 非零特征向量的特征值也是非零的。 (b) 属于一个特征值的特征向量只能有一个。 (c) 一个特征向量只能属于一个特征值。 (d) n阶可逆矩阵有n个不同的特征值

9. 设A为n阶方阵，且A0，则（ ）

(A) A中必有两行(列)的对应元素成比例;

(B) A中任意一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合; (C) A中必有一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合; (D) A中至少有一行(列)向量为零向量. 10. 下列矩阵（ B ）不是初等矩阵．

0010000（A）0101； （B）000； （C）10201（D）； 01000100010二．计算题或证明题

1. 设矩阵A与B相似，其中

200100 A2x2B020 31100y(1)求x和y的值。 (2)求可逆矩阵P，使得P－

1AP=B。

解：ABx2y200EA2x222xx2311100EB02012y

00y有相同的特征值y2,x0

0012． 01

001＝－1解方程AEX0得基础解系X12单位化P125112方程A2E0得基础解系X20011单位化P212111112方程A2E0得基础解系X30单位化P3021102可逆矩阵P=515-1

0121212012T

1 222. 设A为可逆矩阵，且A的一个特征向量为（-1，1）,求x。其中Ax解：A11A.AA12.4xx1112111A.1134xx24x3 x24xx1

3. 当a、b取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．

3x12x2x3x43x5ax1x2x3x4x51 x2x2x6x323455x4x3x3xxb23451

31解：05100021141100112312001－3a1111302633－1b51126300a00b2112141123111113a0026331b01111122226a326326b5111当a0或b2时，无解x1x3x45x52a0且b2时有无穷解，其一般解x3,x4,x5是自由未知数x2x2x6x＋33452

4. 判断向量能否被1,2,3线性表出，若能写出它的一种表示法．

31200000,1,2,3

2101411230解：＝k1241011200100122100120000kk23101112210002100100314002000010212002103110010021000210311031011240001010003110010011r,,r,,,可由,,线性表示12312312310＝1＋2＋3

k5. 若A0，证明：IA1IAAA22k1．

2k1证明：IkAIAA2Ak1＝I2AA...AAA...A2k1－AkIAIIA1IAAAk1

116. 求矩阵111111111111的逆矩阵 11

111110001111102011111202110100001001001010101121212001000010001－11022120210201121210112001010010010000101011414141400111414000114141414解01000010100000012121414110001020120011010100110100001000011414142121411414

141414141414141414141411411141411411111111A1141411 11

xa1a1xa2a2a2a2a2xa3a3an1an1an1xan111117. 计算下列行列式

a1a1a1

xa1a1解：a1a1a1xa2a2a2a2a2xa3a3an1an1an1xan11111第n行－1＋第n-1行xa1a10a1a1xa20a2a2a2x0a3an1an1an1xanan11101xa1a2a1xa2xaa2xna1a1a2a3a1a2a3xa1xanxan1a1a1a1 1．D ２．Ｂ ３．Ｃ

an11xa1a2an11an11a1xa2an11an11xaa1a2xan11nx1000xan10an11a1a2a3an11a1a2an11xa2an11a2xan11....xanxan1...xa2xa1a2a3x1a2a3an21４．Ｃ ５．Ａ ６．Ａ ７．Ｄ ８．Ｄ ９．Ｄ