高考试题数学文科-(全国卷)

普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学（文史类）

一．选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 共60分， 在每小题给出的四个选

项中， 只有一项是符合要求的

1．直线y2x关于x对称的直线方程为 （ ） A．y1x

2B．y1x

2C．y2x

D．y2x

42．已知x ,0， cosx， 则tg2x （ ）52 A．7

242B．7

24C．24

7D．24 73．抛物线yax的准线方程是y2,则a的值为 （ ）

1 C．8 D．8 814．等差数列an中， 已知a1,a2a54,an33,则n为（ ）

3 A．

B． A．48

B．49

C．50

D．51

5．双曲线虚轴的一个端点为M， 两个焦点为F1,F2,F1MF2120， 则双曲线的离心率为（ ） A．3

B．1 86 2C．6 3D．3 32x1x06．设函数f(x)1 ， 若f(x0)1， 则x0的取值范围是 （ ） 2x0x A．（1， 1） C．（， 2）（0， ）

B．（1， ） D．（， 1）

（1， ）

7．已知f(x)lgx,则f(2)（ ） A．lg2

B．lg32

C．lg51 32D．lg2

15 1

8．函数ysin(x)(0)是R上的偶函数，则（ ） A．0

B．

 4C．

 2D．

9．已知点(a,2)(a0)到直线l:x-y30的距离为1，则a（ ） A．2

B．22

C．21

D．21

10．已知圆锥的底面半径为R， 高为3R， 它的内接圆柱的底面半径为柱的全面积为（ ）

3R， 该圆458B．9R2 C．R2 D．R2

234

11．已知长方形的四个顶点A（0， 0）， B（2， 0）， C（2， 1）和D（0， 1），

A．2R

2一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后， 依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合， 则tg= （ ）

A．1

3B．

2 5C．

1 2D．1

12．一个四面体的所有棱长都为2， 四个顶点在同一球面上， 则此球的表面积为（ ） A．3

B．4

C．33

D．6

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数 学（文史类）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二．填空题：本大题共4小题， 每小题4分， 共16分把答案填在题中横线上 13．不等式4xx2x的解集是____________________．

914．(x21)9的展开式中x系数是 ________ ．

2x15．在平面几何里， 有勾股定理：“设VABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2AC2BC2” 2

拓展到空间， 类比平面几何的勾股定理， 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系， 可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直， 则______________________________________________．” 16．如图， 一个地区分为5个行政区域， 现给地图着色， 要求相邻区域不得使用同一颜色， 2 5 现有4种颜色可供选择， 则不同的着色方法共1 3 有 种_______________________（以4 数字作答）

三、解答题：本大题共6小题， 共74分， 解答应写出文字说明， 证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）

已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，AB1，AA12，点E为CC1中点，点F为BD1点中点 （Ⅰ）证明EF为BD1与CC1的公垂线 （Ⅱ）求点D1到面BDE的距离 DA

BC

18．（本小题满分12分）

E

F D M A B

C

已知复数z的辐角为60， 且|z1|是|z|和|z2|的等比中项， 求|z|．

3

19．（本小题满分12分）

已知数列an满足a11,an3n1an1(n2). （Ⅰ）求a2,a3；

3n1（Ⅱ）证明an 2 20．（本小题满分12分）

4

y 2O 2x

已知函数f(x)2sinx(sinxcosx) （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）在给出的直角坐标系中， 画出函数yf(x)在区间,上的图象 22 21．（本小题满分12分）

在某海滨城市附近海面有一台风， 据监测， 当前台风中心位于城市O（如图）的

东偏南(cos2)方向300km的海面P

10y 北 处， 并以20km/h的速度向西偏北45方向移动， 台风侵袭的范围为圆形区域， 东

O 当前半径为60km， 并以10km/h的速度O x 海 不断增大， 问几小时后该城市开始受到

岸 O 台风的侵袭？

线

P r(t) 45 P 22．（本小题满分14分） 已知常数a0， 在矩形ABCD中， AB4， BC4a， O为AB的中点，

5

点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动， 且BECFDC， P为GE与OF的交

BCCDDA点（如图）， 问是否存在两个定点， 使P到这两点的距离的和为定值？若存在， 求出这两点的坐标及此定值；若不存在， 请说明理由

y

C D F

E P G x O A B

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数学试题（文）参考解答及评分标准

说明：

一． 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力， 并给出了一种或几种解法供参考， 如果考生物解法与本解答不同， 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二． 对计算题， 当考生的解答在某一步出现错误时， 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定部分的给分， 但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分．

三． 解答右端所注分数， 表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算． 每小题5分， 满分60分．

1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分,满分16分．

6

13．(2,4] 14．212222 15．SABCSACDSADBSBCD 16．72 2三、解答题：本大题共6小题， 共74分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． 17．（I）证明：取BD中点M， 连结MC， FM，

∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM=又EC=

1D1D 21CC1， 且EC⊥MC， 2∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1 又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1 ∵BD1面DBD1，

∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线 （II）解：连结ED1， 有V

由（I）知EF⊥面DBD1， 设点D1到面BDE的距离为d，

则S△DBC·d=S△DCD1·EF． ∵AA1=2·AB=1．

BDBEED2,EF2 2SDBD11133 222,SDBC(2)2222223． 3故点D1到平面BDE的距离为

18．解：设z=r(cos60isin60),则复数z的实邻为

r2zzr,zzr2 由题设|z1|2|z||z2|

22即(z1)(z1)|z|(z2)(z2) rr1rr2r4

2 r2r10解得r21r21（舍去） 即|z|=21

219．（I）解∵a11,a2314,a33413

n1（II）证明：由已知anan13,故

7

an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 =3

n13n23n131.

23n1 所以an

2220．解（I）f(x)2sinx2sinxcosx1cos2xsin2x 12(sin2xcos

cos2xsin)12sin(2x) 444所以函数f(x)的最小正周期为π， 最大值为12．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

x 3 81  8 81 3 812 5 81 y 12 故函数yf(x)在区 间[

22．解：根据题设条件， 首先求出点P坐标满足的方程， 据此再判断是否存在两定点， 使得点P到定点距离的和为定值．

按题意有A（－2， 0）， B（2， 0）， C（2， 4a）， D（－2， 4a）

设

,]上的图象是

22BECFDCk(0k1)， BCCDDA由此有E（2， 4ak）， F（2－4k， 4a）， G（－2， 4a－4ak）． 直线OF的方程为：2ax(2k1)y0， ① 直线GE的方程为：a(2k1)xy2a0． ②

8

从①， ②消去参数k， 得点P（x， y）坐标满足方程2axy2ay0，

22x(ya)整理得1． 21a22221时， 点P的轨迹为圆弧， 所以不存在符合题意的两点． 212当a时， 点P轨迹为椭圆的一部分， 点P到该椭圆焦点的距离的和为定长．

2当a2当a2111时， 点P到椭圆两个焦点(a2,a),(a2,a)的距离之和为定值

2222．

当a2111时， 点P到椭圆两个焦点(0,aa2），（0，aa2)的距离之

222和为定值2a．

21．解：如图建立坐标系：以O为原点， 正东方向为x轴正向． 在时刻：t（h）台风中心P(x,y)的坐标为

22x30020t,102 y30072202t.102222 此时台风侵袭的区域是(xx)(yy)[r(t)]， 其中r(t)10t+60，

若在t时， 该城市O受到台风的侵袭， 则有

(0x)2(0y)2(10t60)2,

即(300222722220t)(30020t)(10t60)2, 102102 9

即t36t2880， 解得12t24． 答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭

2 10