2022-2023学年河南省郑州市经开外国语学校八年级(下)期末数学试卷(含解析)

数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列英文大写正体字母中，不是中心对称图形的是( )A. 𝑀

B. 𝑁

C. 𝑆

D. 𝑋

2. 下列各式从左到右是分解因式的是( )A. 𝑎(𝑥+𝑦)=𝑎𝑥+𝑎𝑦C. 8𝑚3𝑛=2𝑚3⋅4𝑛

B. 10𝑥2−5𝑥=5𝑥(2𝑥−1)

D. 𝑡2−16+3𝑡=(𝑡+4)(𝑡−4)+3𝑡

3. 牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”.用反证法证明“在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴>

∠𝐵>∠𝐶，则∠𝐴>60°”时，应先假设( )

A. ∠𝐴=60°B. ∠𝐴<60°C. ∠𝐴≠60°D. ∠𝐴≤60°

4. 下列式子从左至右变形不正确的是( )A. 𝑏=𝑏+2𝑎𝑎+2B. 𝑏=4𝑏𝑎4𝑎C. −3𝑏=−3𝑏22D. 𝑏(𝑐2+1)=𝑏𝑎(𝑐2+1)𝑎琪琪把四边形𝐴𝐵5. 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷四个顶点的坐标分别为𝐴(0,3)，𝐵(−1,0)，𝐶(1,0)，𝐷(2,1)，

𝐶𝐷平移后得到了四边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′，并写出了它的四个顶点的坐标𝐴′(1,0)，𝐵′(0,−3)，𝐶′(2,−3)，𝐷′(1,−2).琪琪所写四个顶点的坐标错误的是( )

A. (1,0)B. (0,−3)C. (2,−3)

=

D. (1,−2)

2被莹莹不小心滴上墨汁，被墨汁𝑎+𝑏116. 试卷上一个正确的式子(𝑎−𝑏−𝑎+𝑏)÷

遮住的部分的代数式是( )

A. 𝑎−𝑏𝑎B. 𝑎+𝑏𝑎C. 𝑎+𝑏𝑏D. 𝑎−𝑏𝑏且点𝐷到𝐴𝐵、𝐵𝐶距离相等，则△7. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴=36°，𝐷为线段𝐴𝐶上一点，𝐴𝐵𝐷的形状为( )

A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 锐角三角形

8. 如图，已知一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象经过点𝐴(5,0)与𝐵(0,−4)，那么

关于𝑥的不等式𝑘𝑥+𝑏<0的解集是( )

A. 𝑥<5B. 𝑥>5

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C. 𝑥<−4D. 𝑥>−4

9. 一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是边形．( )A. 四

B. 五

C. 六

D. 八

要10. 如图，4×4方格纸中小正方形的边长为1，𝐴，𝐵两点在格点上，在图中格点上找到点𝐶，使得△𝐴𝐵𝐶的面积为2，满足条件的点𝐶有( )

A. 无数个B. 7个C. 6个D. 5个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 某弹簧测力计的测量范围是0至50𝑁(含50𝑁)，佳佳未注意到弹簧测力计的测量范围，用

这个弹簧测力计测量一个物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状.设这个物体的重力为𝐺，则这个物体的重力范围用不等式表示为______ ．

12. 已知多项式4𝑦2+1与一个单项式的和是一个多项式的平方.请你写出一个满足条件的单

项式______ .(填上一个你认为正确的即可)

𝑘13. 若关于𝑥的分式方程𝑥−1=𝑥−1有增根，则𝑘的值为______ ．

𝑥用尺规作图14. △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=8，𝐵𝐶=10，𝐴𝐶>𝐴𝐵.如图，

在△𝐴𝐵𝐶内求作一点𝐷，若△𝐴𝐶𝐷的周长为18，则△𝐵𝐶𝐷的面积为______ ．

15. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，𝐷点的纵坐标为6，

𝐵𝐶=16，𝐶𝐷=10，顶点𝐴在𝑦轴上，边𝐵𝐶在𝑥轴上，设点𝑃是边𝐵𝐶上(不与点𝐵、𝐶重合)的一个动点，则当△𝐴𝐵𝑃为等腰三角形时点𝑃的坐标是______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

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16. (本小题8.0分)

𝑥−1≤124解不等式组𝑥+𝑥≥−1并写出其所有整数解．

32{17. (本小题8.0分)

“因为𝑥=𝑥，而𝑥取任意实数𝑥都有意义，所以使分式𝑥有意义的条件是𝑥为任意实数.”你认

𝑥𝑥22为这种说法对吗？如果对，请说明依据；如果不对，请说明理由，并写出使分式𝑥有意义的𝑥

𝑥2的取值范围．

18. (本小题8.0分)

将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解．

19. (本小题8.0分)

求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．

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20. (本小题8.0分)

如图，点𝑂为平面直角坐标系的原点，点𝐴在𝑥轴上，△𝐴𝐵𝑂是斜边长为2的等腰直角三角形．(1)以点𝑂为旋转中心，将△𝐴𝐵𝑂按顺时针方向旋转90°，得到𝑅𝑡△𝐴′𝐵′𝑂.请画出𝑅𝑡△𝐴′𝐵′𝑂，并写出点𝐴′，𝐵′的坐标；

(2)点𝐵和点𝐵′可以看作是关于𝑦轴上某个点中心对称吗？如果可以，请直接写出对称中心的坐标；如果不可以，请简要说明理由．

21. (本小题8.0分)

为丰富同学们阳光大课间活动，育才学校现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子.已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的毽子数量相同．(1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元．

(2)恰逢店庆活动，体育用品店对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售.学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请求出学校花钱最少的购买方案及最少花费．

22. (本小题8.0分)

已知△𝐴𝐵𝐶是边长为4的等边三角形，点𝐷是射线𝐵𝐶上的动点，将线段𝐴𝐷绕点𝐷顺时针方向旋转60°得到线段𝐷𝐸，连接𝐶𝐸.如图1，当点𝐷在线段𝐵𝐶上时，易证𝐶𝐸=𝐵𝐷．

(1)如图2，当点𝐷在线段𝐵𝐶的延长线上时，𝐶𝐸=𝐵𝐷还成立吗？如果成立，请写出证明过程；

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如果不成立，请说明理由．

(2)点𝐷在运动过程中，当𝐵𝐷等于多少时，∠𝐷𝐸𝐶=30°？请说明理由．

(3)点𝐷在运动过程中，△𝐷𝐶𝐸的周长是否存在最小值？若存在，直接写出△𝐷𝐶𝐸的周长；若不存在，请简要说明理由．

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答案和解析

1.【答案】𝐴

【解析】解：选项B、𝐶、𝐷的字母都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．

选项A的字母不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．故选：𝐴．

根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

2.【答案】𝐵

【解析】【分析】

本题考查了因式分解的意义，利用因式分解的意义是解题关键．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【解答】

解：𝐴、是整式的乘法，故A错误；

B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B符合题意；C、是乘法交换律，故C不符合题意；

D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；故选B．

3.【答案】𝐷

【解析】解：∠𝐴与60°的大小关系有∠𝐴>60°，∠𝐴=60°，∠𝐴<60°三种情况，∴∠𝐴>60°的反面是∠𝐴≤60°，

∴用反证法证明“∠𝐴>60°”时，应先假设∠𝐴≤60°，故选：𝐷．

反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．

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本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况．

4.【答案】𝐴

【解析】解：𝐴、𝑏≠B、𝑏=C、

𝑎4𝑎，故4𝑏𝑎𝑎+2，故𝑏+2A符合题意；

B不符合题意；

C不符合题意；

22=−，故−3𝑏3𝑏𝑎(𝑐2+1)𝑎D、𝑏(𝑐2+1)=𝑏，故D不符合题意；故选：𝐴．

根据分式的基本性质，进行计算即可解答．

本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．

5.【答案】𝐷

【解析】解：由𝐴(0,3)到𝐴′(1,0)是先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度；由𝐵(−1,0)到𝐵′(0,−3)是先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度；由𝐶(1,0)到𝐶′(2,−3)是先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度；由𝐷(2,1)到𝐷′(1,−2)是先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度；故D′(1,−2)的坐标错误．故选：𝐷．

分别通过𝐴(0,3)，𝐵(−1,0)，𝐶(1,0)，𝐷(2,1)，和它们的对应点的坐标𝐴′(1,0)，𝐵′(0,−3)，𝐶′(2,−3)，𝐷′(1,−2)得出平移规律，其中不一样的就是正确答案．

本题考查的是坐标与图形变化−平移，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．

6.【答案】𝐷

【解析】解：∵(

11−)÷𝑎−𝑏𝑎+𝑏=

2，𝑎+𝑏∴被墨汁遮住部分的代数式是：(

121−)÷，

𝑎+𝑏𝑎−𝑏𝑎+𝑏第7页，共17页

=(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏)⋅=

𝑏，𝑎−𝑏𝑎+𝑏−𝑎+𝑏𝑎+𝑏 2故选：𝐷．

根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是(算即可．

本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．

121−)÷，再根据分式的运算法则进行计

𝑎+𝑏𝑎−𝑏𝑎+𝑏7.【答案】𝐶

【解析】解：如图：

∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐴=36°，∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶=

180°−∠𝐴=72°，2∵点𝐷到𝐴𝐵、𝐵𝐶距离相等，∴𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，

∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐷=36°，∴∠𝐴=∠𝐴𝐵𝐷=36°，∴𝐷𝐴=𝐷𝐵，

∴△𝐴𝐵𝐷是等腰三角形，故选：𝐶．

根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶=72°，再根据角平分线性质定理的逆定理可得𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，然后利用角平分线的定义可得∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶=36°，从而可得∠𝐴=

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∠𝐴𝐵𝐷=36°，进而可得𝐷𝐴=𝐷𝐵，即可解答．

本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．

8.【答案】𝐴

【解析】【分析】

首先利用图象可找到图象在𝑥轴下方时𝑥<5，进而得到关于𝑥的不等式𝑘𝑥+𝑏<0的解集是𝑥<5．此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．【详解】

解：由题意可得：一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏中，𝑦<0时，图象在𝑥轴下方，𝑥<5，则关于𝑥的不等式𝑘𝑥+𝑏<0的解集是𝑥<5，故选A．

9.【答案】𝐴

【解析】解：∵多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，每个外角与它相邻的内角互补，∴每个外角是90°，∴这个多边形的边数是故选：𝐴．

由多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，求出每个外角是90°，由多边形的外角和是360°，即可得到这个多边形的边数是

360°=4．90∘360°=4．90∘本题考查多边形的内角和外角，关键是求出多边形的每个外角是90°，由多边形的外角和是360°，即可求解．

10.【答案】𝐶

【解析】解：如图，满足条件的点𝐶有6个．

故选：𝐶．

利用三角形面积公式画出△𝐴𝐵𝐶使∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，然后过𝐶点作𝐴𝐵的平行线可确定满

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足条件的𝐶点个数．

本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即𝑆△=×底×高．

1211.【答案】𝐺>50

【解析】解：根据题意得：𝐺>50．故答案为：𝐺>50．

根据测量完成后弹簧没有恢复原状，即可得出关于𝐺的一元一次不等式，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

12.【答案】4𝑦或−4𝑦号4𝑦4

【解析】解：代数式4𝑦2+1与一个单项式的和是一个整式的完全平方，这个单项式可以是4𝑦或−4𝑦或4𝑦4．

故答案为：4𝑦或−4𝑦或4𝑦4．

利用完全平方公式的结构特征判断即可．

此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

13.【答案】1

【解析】解：去分母得：𝑥=𝑘，∵分式方程有增根，∴𝑥−1=0，解得：𝑥=1，

把𝑥=1代入整式方程得：𝑘=1．故答案为：1．

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出𝑥的值，代入整式方程计算即可求出𝑘的值．

此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

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14.【答案】15

【解析】解：过𝐷点作𝐷𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻点，连接𝐴𝐷、𝐵𝐷，如图，由作图痕迹得𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐵，𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐶，∴𝐷𝐻=𝐷𝐸，𝐷𝐶=𝐷𝐴，𝐴𝐸=𝐶𝐸=𝐴𝐶=4，∵△𝐴𝐶𝐷的周长为18，即𝐴𝐶+𝐷𝐶+𝐴𝐷=18，∴8+𝐷𝐶+𝐷𝐶=18，解得𝐶𝐷=5，

在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，𝐷𝐸= 𝐶𝐷2−𝐶𝐸2= 52−42=3，∴𝐷𝐻=3，

∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=×10×3=15．故答案为：15．

过𝐷点作𝐷𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻点，连接𝐴𝐷、𝐵𝐷，如图，利用基本作图可判断𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐵，𝑀𝑁垂直平分𝐴𝐶，则根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得到𝐷𝐻=𝐷𝐸，𝐷𝐶=𝐷𝐴，𝐴𝐸=𝐶𝐸=𝐴𝐶=4，再利用△𝐴𝐶𝐷的周长为18可计算出𝐶𝐷=5，接着根据勾股定理可计算出𝐷𝐸=3，从而得到𝐷𝐻=3，然后根据三角形面积公式计算△𝐵𝐶𝐷的面积．

本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

12121215.【答案】(−4,0)或(8,0)或(2,0)

【解析】解：∵𝐷点的纵坐标为6，𝐶𝐷=10，∴𝑂𝐵= 𝐴𝐵2−𝑂𝐴2=8，

如图，当𝐴𝑃=𝐵𝑃时，𝐵𝑃=𝐴𝑃=𝑂𝐵−𝑂𝑃=8−𝑂𝑃，由勾股定理得，𝑂𝑃2+𝑂𝐴2=𝐴𝑃2，即(8−𝑂𝑃)2=62+𝑂𝑃2，

解得，𝑂𝑃=，则点𝑃的坐标为(−,0)，

当𝐴𝐵=𝐴𝑃=10时，此时𝐵𝑂=𝑃𝑂，

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此时𝑃点的坐标为(8,0)；

当𝐴𝐵=𝐵𝑃=10时，此时点𝑃的坐标为(2,0)、(−18,0)(此时点𝑃不在𝐵𝐶上，舍去)，当△𝐴𝐵𝑃为等腰三角形时点𝑃的坐标为(−,0)或(8,0)或(2,0)．故答案为：(−,0)或(8,0)或(2,0)．

当𝐴𝐵=𝐵𝑃时根据等腰三角形的性质、勾股定理解答．

本题考查的是平行四边形的性质、勾股定理的应用，掌握平行四边形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

7474𝑥−1≤1①

2416.【答案】解：𝑥+𝑥≥−1②，

32{由①得：𝑥≤，由②得：𝑥≥−，

∴不等式组的解集为−≤𝑥≤，则所有整数解为−1，0．

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，并求出所有整数解即可．

此题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．

6534653417.【答案】解：不对，理由如下：

∵𝑥有意义，

𝑥2∴𝑥≠0．

【解析】根据分式有意义的条件即可求得答案．

本题考查分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

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18.【答案】解：拼接如图：

长方形的面积为：𝑥2+3𝑥+2，还可以表示面积为：(𝑥+2)(𝑥+1)，∴我们得到了可以进行因式分解的公式：𝑥2+3𝑥+2=(𝑥+2)(𝑥+1)．故答案是：𝑥2+3𝑥+2=(𝑥+2)(𝑥+1)．

【解析】一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，长方形的面积为：𝑥2+3𝑥+2，拼成长方形的长为(𝑥+2)，宽为(𝑥+1)，由此画图解决问题．

此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法和数形结合是解本题的关键．

19.【答案】证明：如图，连接𝐷𝐸、𝐷𝐹，

∵点𝐷、𝐸分别是𝐵𝐶、𝐴𝐵的中点，∴𝐷𝐸//𝐴𝐶，同理得𝐷𝐹//𝐴𝐵，

∴四边形𝐴𝐸𝐷𝐹是平行四边形，∴𝐴𝐷与𝐸𝐹互相平分．

【解析】连接𝐷𝐸、𝐷𝐹，由于𝐷、𝐸分别是𝐵𝐶、𝐴𝐵的中点，那么𝐷𝐸就是△𝐴𝐵𝐶的中位线，于是𝐷𝐸//𝐴𝐶，同理𝐷𝐹//𝐴𝐵，根据平行四边形的定义可知四边形𝐴𝐸𝐷𝐹是平行四边形，于是𝐴𝐷与𝐸𝐹互相平分．

本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是连接𝐷𝐸、𝐷𝐹，构造平行四边形．

20.【答案】解：(1)如图，𝑅𝑡△𝐴′𝐵′𝑂即为所

求，点𝐴′(0,2)，𝐵′(1,1)；

(2)点𝐵和点𝐵′可以看作是关于𝑦轴上点(0,1)中心对称，对称中心的坐标为(0,1)． 【解析】(1)根据旋转的性质即可以点𝑂为旋转中心，将△𝐴𝐵𝑂按顺时针方向旋转90°，得到

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𝑅𝑡△𝐴′𝐵′𝑂.进而可以写出点𝐴′，𝐵′的坐标；

(2)根据中心对称的性质可得点𝐵和点𝐵′可以看作是关于𝑦轴上点(0,1)中心对称．本题考查了作图−旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．

21.【答案】解：(1)设毽子的单价是𝑥元，则跳绳的单价是(𝑥+3)元，

根据题意得：

800500=，𝑥+3𝑥解得：𝑥=5，

经检验，𝑥=5是所列方程的解，且符合题意，∴𝑥+3=5+3=8．

答：跳绳的单价是8元，毽子的单价是5元；(2)设购买𝑚根跳绳，则购买(600−𝑚)个毽子，根据题意得：𝑚≥3(600−𝑚)，解得：𝑚≥450．

设学校购买跳绳及毽子共花费𝑤元，则𝑤=8×0.8𝑚+5×0.7(600−𝑚)，即𝑤=2.9𝑚+2100，∵2.9>0，

∴𝑤随𝑚的增大而增大，又∵𝑚≥450，且𝑚为正整数，

∴当𝑚=450时，𝑤取得最小值，最小时=2.9×450+2100=3405，此时600−𝑚=600−450=150．

答：学校花钱最少的购买方案为：购买450根跳绳，150个毽子，最少花费为3405元． 【解析】(1)设毽子的单价是𝑥元，则跳绳的单价是(𝑥+3)元，利用数量=总价÷单价，结合用800元购买的跳绳数量和用500元购买的毽子数量相同，可列出关于𝑥的分式方程，解之经检验，可得出毽子的单价，再将其代入(𝑥+3)中，即可求出跳绳的单价；

(2)设购买𝑚根跳绳，则购买(600−𝑚)个毽子，根据购买跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，可列出关于𝑚的一元一次不等式，解之可得出𝑚的取值范围，设学校购买跳绳及毽子共花费𝑤元，利用总价=单价×数量，可得出𝑤关于𝑚的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找

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准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出𝑤关于𝑚的函数关系式．

22.【答案】解：(1)𝐶𝐸=𝐵𝐷成立，理由如下：

如图2，连接𝐴𝐸，

由旋转得：𝐴𝐷=𝐷𝐸，∠𝐷𝐴𝐸=60°，∴△𝐴𝐷𝐸是等边三角形，

∴𝐴𝐷=𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐷=60°，∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，

∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶=60°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐷𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐶𝐴𝐷，∴∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐷，在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸中，

{𝐴𝐵=𝐴𝐶

∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，𝐴𝐷=𝐴𝐸

∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐵𝐷=𝐶𝐸；

(2)𝐵𝐷为2或8时，∠𝐷𝐸𝐶=30°，理由如下：当点𝐷在线段𝐵𝐶上，𝐵𝐷=2时，如图，

由旋转得：𝐴𝐷=𝐷𝐸，∠𝐷𝐴𝐸=60°，∴△𝐴𝐷𝐸是等边三角形，

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∴𝐴𝐷=𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐷=60°，∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，

∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶=60°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐷，∴∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐷，在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸中，

{𝐴𝐵=𝐴𝐶

∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，𝐴𝐷=𝐴𝐸

∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)，

∴𝐵𝐷=𝐸𝐶=2，∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐸=60°，∵𝐵𝐶=4，∴𝐶𝐷=𝐸𝐶=2，∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐶𝐸=60°，∴∠𝐷𝐶𝐸=120°，∴∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐶𝐷𝐸=30°；

当点𝐷在线段𝐵𝐶的延长线上，𝐵𝐷=8时，如图，

∵𝐵𝐶=4，

∴𝐶𝐷=𝐵𝐷−𝐵𝐶=4，∵𝐶𝐴=𝐶𝐵=𝐶𝐷，∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐷𝐴，

∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐶𝐷𝐴=60°，∴∠𝐴𝐷𝐶=30°，∵∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐸𝐶𝐷=60°，∴∠𝐶𝐷𝐸=90°，

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∴∠𝐷𝐸𝐶=30°，

∴𝐵𝐷为2或8时，∠𝐷𝐸𝐶=30°；综上，𝐵𝐷等于2或8时，∠𝐷𝐸𝐶=30°；

(3)点𝐷在运动过程中，△𝐷𝐸𝐶的周长存在最小值，最小值为4+2 3，理由如下：∵△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，∴𝐶𝐸=𝐵𝐷，

则△𝐷𝐸𝐶的周长=𝐷𝐸+𝐶𝐸+𝐷𝐶=𝐵𝐷+𝐶𝐷+𝐷𝐸，当点𝐷在线段𝐵𝐶上时，△𝐷𝐸𝐶的周长=𝐵𝐶+𝐷𝐸，

当点𝐷在线段𝐵𝐶的延长线上时，△𝐷𝐸𝐶的周长=𝐵𝐷+𝐶𝐷+𝐷𝐸>𝐵𝐶+𝐷𝐸，∴△𝐷𝐸𝐶的周长≥𝐵𝐶+𝐷𝐸，∵△𝐴𝐷𝐸为等边三角形，∴𝐷𝐸=𝐴𝐷，

∴𝐴𝐷的最小时，△𝐷𝐸𝐶的周长最小，此时𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∴𝐵𝐷=𝐴𝐵=2，𝐴𝐷= 3𝐵𝐷=2 3=𝐷𝐸，∴△𝐷𝐸𝐶的周长的最小值为4+2 3．

【解析】(1)证明△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，根据全等三角形的性质得到𝐵𝐷=𝐶𝐸；

(2)①分点𝐷在线段𝐵𝐶上和点𝐷在线段𝐵𝐶的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；②根据△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸得到𝐶𝐸=𝐵𝐷，根据垂线段最短解答．

本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

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