数值分析模拟试卷(九)

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一、填空题（每空3分，共30分）

1． 设f(x)4x83x42x21，则差商f[20,21,,28] __________ ；

2．在用松弛法(SOR)解线性方程组Axb时，若松弛因子满足|1|1，则迭代法______ ； 3．f(x*)0,f(x*)0,要使求x的Newton迭代法至少三阶收敛，f(x)需要满足______ ； 4. 设f(x)(x2)(x33x23x1),用Newton迭代法求x12具有二阶收敛的迭代格式为_______________ ；求x21具有二阶收敛的迭代格式为__________________； 5．已知A*72 ，则(A)________,Cond(A)_____； 316. 若x1，改变计算式lgxlgx21=__________________，使计算结果更为精确； 7．过节点xi,xi3(i0,1,2,3)的插值多项式为____________ ； 8. 利用抛物(Simpson)公式求

21x2dx= ．

221A111二、（14分）已知方阵，

321(1) 证明： A不能被分解成一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积；

(2) 给出A的选主元的Doolittle分解，并求出排列阵； (3) 用上述分解求解方程组Axb，其中b(3.5,2,4)T．

三、（12分）设函数f(x)在区间[0,1]上具有四阶连续导数,确定一个次数不超过3的多项式H(x)，

满足H(0)f(0)1,并写出插值余项．

四、（10分）证明对任意的初值x0，迭代格式xn1cosxn均收敛于方程xcosx的根，且具有

线性收敛速度．

五、（12分）试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式

H(1)f(1)0,H(1)f(1)10,H(1)f(1)40 ，

22f(x)dxAf(a)Bf(0)Cf(a)

有尽可能高的代数精度．所得的数值积分公式代数精度是多少？是否为Gauss型的？

1

六、（12分）(1)试导出切比雪夫(Chebyshev)正交多项式

Tn(x)cos(narccosx)(n0,1,2,,x[1,1])的三项递推关系式：

T0(x)1,T1(x)x, Tn1(x)2xTn(x)Tn1(x)(n1,2,)（2）用高斯—切比雪夫求积公式计算积分I积分的精确值？

1x31x(1x)0dx，问当节点数n取何值时，能得到

yf(x,y)七、（10分）、推导常微分方程的初值问题的数值解公式：

y(x)y00yn1yn1

h14ynyn1)． (yn3 2