第一单元 小数除法
1、除数是整数的小数除法计算法则:除数是整数的小数除法,按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添0再继续除。
2、除数是小数的小数除法计算法则:除数是小数的除法,先移动除数的小数点,使它变成整数;除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的,在被除数末尾用0补足),然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
3、连除的算式可以写成被除数除以几个数的积,但除以几个数的积时,必须给这个相乘的式子加上小括号。
4、 在小数除法中的发现:
①当除数不为0时,除数大于1时,商小于被除数。如:3.5÷5=0.7
②当除数不为0时,除数小于1时,商大于被除数。如:3.5÷0.5=7
当除数不为0时,除数等于1时,商等于被除数。如:3.5÷1=3.5
5、小数除法的验算方法:
①商×除数=被除数(通用) ②被除数÷商=除数
6、商的近似数:根据要求要保留的小数位数,决定商要除出几位小数,再根据“四舍
五入”法保留一定的小数位数,求出商的近似数。例如:要求保留一位小数的,商除到第二位小数可停下来;要求保留两位小数的,商除到第三位小数停下来……如此类推。
7、循环小数:
A、小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数。如,0.37、1.4135等
B、小数部分的位数是无限的小数,叫做无限小数。如5.3… 7.145145…等。
C、一个数的小数部分,从某位起,一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做循环小数。(如5.3… 3.12323… 5.7171…)
D、一个循环小数的小数部分,依次不断重复的数字,叫做小数的循环节。(如5.333… 的循环节是3, 4.6767…的循环节是67, 6.9258258…的循环节是258)
E、用简便方法写循环小数的方法:
①只写一个循环节,并在这个循环节的首位和末位上面记一个小圆点
②例如:只有一个数字循环节的,就在这个数字上面记一个小圆点,5.333…写作5.3 ;有两位小数循环的,就在这两位数字上面,记上小圆点,7.4343…写作7.4 3 ;有三位或以上小数循环的,在首位和末位记上小数点,10.732732…写作10.732
8、除法中的变化规律: ①商不变性质:被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数( 0除外),商不变。②除数不变,被除数扩大,商随着扩大 ③被除数不变,除数缩小,商扩大。
9、小数的四则混合运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。
第二单元 轴对称和平移
轴对称:
1.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形,那条直线就叫做对称轴。两图形重合时互相重合的点叫做对应点,也叫对称点。
2.轴对称图形的性质:对应点到对称轴的距离相等,对应点连线垂直于对称轴。
3.轴对称图形具有对称性。
4.画轴对称图形的方法:
(1)找出所给图形的关键点,如图形的顶点、相交点、端点等;
(2)数出或量出图形关键点到对称轴的距离;
(3)在对称轴的另一侧找出关键点的对称点;
(4)按照所给图形的顺序连接各点,就画出所给图形的轴对称图形。
平移:
1.平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。
2.平移的基本性质:
(1)平移不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置。
(2)经过平移,对应线段,对应角分别相等;对应点所连的线段平行且相等。
3.平移图形的画法:
(1)确定平移的方向与距离。
(2)将关键点按所需方向平移所需距离。
(3)按原来图形的连接方式依次连接各对应点。
4、平移几格并不是指原图形和平移后的新图形之间的空格数,而是指原图形的关键点平移的格数。
设计图案的基本方法:平移、对称
1.运用平移设计图案的方法:
(1)选好基本图案;(2)根据所选的基本图案确定平移的格数和方向;
(3)平移,描出对应点; (4)按顺序连接对应点
2.运用对称设计图案的方法:
(1)先选好基本图案;
(2)依据基本图案的特点定好对称轴;
(3)选好关键点,并描出关键点的对应点;
(4)按顺序连接对应点,画出基本图形的对称图形
第三单元 倍数和因数
像0,1,2,3,4,5,6,…这样的数是自然数。
像-3,-2,-1,0,1,2,3,…这样的数是整数。
我们只在自然数(零除外)范围内研究倍数和因数。
倍数与因数是相互依存的关系,要说清谁是谁的倍数,谁是谁的因数。
补充知识点:一个数的倍数的个数是无限的,因数个数是有限的。
一个数最小的因数是1,最大的因数是它本身;一个数最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
(一)2,5的倍数的特征
2的倍数的特征: 个位上是0,2,4,6,8的数是2的倍数。
5的倍数的特征: 个位上是0或5的数是5的倍数。
偶数和奇数的定义: 是2的倍数的数叫偶数,不是2的倍数的数叫奇数。
补充知识点:X K b1 . C om
既是2的倍数,又是5的倍数的特征:个位上是0的数既是2的倍数,又是5的倍数(既是2的倍数,又是5的倍数都是整十数,最小的两位数是10,最小的三位数是100)
(二)3的倍数的特征
一个数各个数位上的数字的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
同时是2和3的倍数的特征: 个位上的数是0,2,4,6,8,并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数,既是2的倍数,又是3的倍数。(同时是2和3的倍数,一定是6的倍数,最小的是6。)
同时是3和5的倍数的特征: 个位上的数是0或5,并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数,既是3的倍数,又是5的倍数。(同时是3和5的倍数,一定是15的倍数,最小的是15。)
同时是2,3和5的倍数的特征: 个位上的数是0,并且各个数位上的数字的和是3
的倍数的数,既是2和5的倍数,又是3的倍数(同时是2,3和5的倍数,一定是30的倍数,最小的两位数是30,最小的三位数是120,最大两位数是90,最大三位数是990)
9的倍数的特征:一个数各个数位上的数字的和是9的倍数,这个数就是9的倍数,它也一定是3的倍数。
(三)、找因数
补充知识点:
一个数的因数的个数是有限的。其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。找一个数的因数,通常用列举的方法,可一对一对的写出来,也可按从小到大的顺序来写。
找质数
一个数只有1和它本身两个因数,这个数叫作质数。质数只有两个因数。
一个数除了1和它本身以外还有别的因数,这个数叫作合数。合数至少有3个因数。
1既不是质数也不是合数。
20以内的质数共有8个:分别是2、3、5、7、11、13、17、19.合数有11个:分别是4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20.
判断一个数是质数还是合数的方法:
一般来说,首先可以用“2,5,3的倍数的特征”判断这个数是否有因数2,5,3;如果还无法判断,则可以用7,11等比较小的质数去试除,看有没有因数7,11等。只要找到一个1和它本身以外的因数,就能肯定这个数是合数。如果除了1和它本身找不到其他因数,这个数就是质数。
㈥数的奇偶性
运用“列表”“画示意图”等方法发现规律:
小船最初在南岸,从南岸驶向北岸,再从北岸驶回南岸,不断往返。通过“列表”“画示意图”的方法会发现“奇数次在北岸,偶数次在南岸”的规律。
通过计算发现奇数、偶数相加奇偶性变化的规律: (请举例子观察个位来判断)
第四单元 多边形面积
㈠比较图形的面积
借助方格纸,能直接判断图形面积的大小。
平面图形面积大小的比较有多种方法:
根据图形面积的大小,可以直接进行比较;可以借助参照物进行比较;可以运用重叠的方法进行比较;借助方格,利用数方格的的方法进行比较;直接计算面积后再进行比较等。
图形面积相同,其形状可以是不同的。
认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。
从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段,这条垂直线段就是平行四边形的高,这条对边是平行四边形的底。
三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高,这条对边是三角形的底。
从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段,这条垂直线段就是梯形的高,这条对边就是梯形的底。
高和底的关系是对应的。任何三角形都有3条高。任何平行四边形和梯形都有无数条高。
(一)平行四边形的面积
平行四边形面积=底×高 平行四边形的面积公式可以写成:S=a h
当平行四边形的底和高相同时,其面积也是相同的。
(二)三角形的面积
三角形面积=底×高÷2 三角形的面积公式可以写成:S=a h÷2
决定三角形面积的大小的因素不是图形的形状,而是三角形的底与高的长度,只要底
和高相同,不同形状的三角形的面积也是相同的。
(三)梯形的面积
梯形面积=(上底+下底)×高÷2
梯形的面积公式可以写成:S= (a+b)h÷2
补充知识点:
决定梯形面积的大小的因素不是图形的形状,而是梯形的上、下底之和与高的长度,只要上下底的和与高相同,不同形状的梯形的面积也是相同的。
等底等高的三角形的面积相等。
等底等高的平行四边形的面积相等。
三角形的面积是等底等高的平行四边形面积的一半。
第五单元 分数的意义
㈠分数的再认识
整体“1”的含义:一个物体或一些物体都可以看作一个整体,这个整体可以用自然数“1”来表示,通常叫做整体“1”。
分数的意义:把整体“1”平均分成若干份,其中的一份或几份,可以用分数表示。分母是几,整体就被分成了几份,分子是几,就表示其中的几份。
分数对应的“整体”不同,分数所表示的部分的大小或具体数量也不一样,即分数具有相对性。同一个分数对应的整体大,表示的具体数量就大;对应的整体小,表示的具体数量就小。同一个分数表示的具体数量大,对应的整体就大;表示的具体数量小,对应的整体就小。
㈡(真分数与假分数)
理解真分数、假分数、带分数的意义。
真分数特点:分子都比分母小;分数值小于1。
假分数特点:分子比分母大,或者分子与分母相等;分数值大于或等于1
带分数特点:由整数和真分数两部分组成的;分数值大于1。带分数属于假分数的另外一种形式。
带分数的读法: 读作:二又四分之一。
★补充知识点:
分子是分母倍数的假分数可以化成整数; 分子不是分母倍数的假分数可以化成带分数。
㈢分数与除法
理解分数与除法的关系:被除数相当于分数的分子,除数相当于分数的分母。
被除数÷除数=被除数/除数(除数不为0)。a÷b= a/b(b不为 0)
㈣分数基本性质
分数的分子和分母都乘上或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
求一个数是另一个数的几分之几:用一个数÷另一个数= ?,得到的商表示两个数的关系,没有单位名称。
找最大公因数
几个数公有的因数是这几个数的公因数,其中最大的一个是它们的最大公因数。
如果两个数是不同的质数,那么这两个数的公因数只有1。
如果两个数是连续的自然数(0除外),那么这两个数的公因数只有1
如果两个数具有倍数关系,那么较小的数就是这两个数的最大公因数。
约分
把一个分数的分子、分母同时除以公因数,分数的值不变,这个过程叫做约分。
理解最简分数的含义:
像 这样分子、分母公因数只有1了,不能再约分了,这样的分数是最简分数。 分子与分母是相邻的自然数的分数一定是最简分数;分子分母是两个不同质数的分数一定是最简分数;分子是“1”的分数一定是最简分数。
掌握约分的方法:
约分的方法一般有两种,一种是用两个数的公因数一个一个去除,另一种是直接用两个数的最大公因数去除。
补充知识点:
比较分数大小时,分母相同的、分子相同的可以直接比较,有些时候分子分母都不相同可以采用约分后进行比较的方法。例如: ○
㈦找最小公倍数
两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数,其中最小的一个,叫做最小公倍数。
两个数公倍数的个数是无限的,因此只有最小公倍数没有最大的公倍数。
其他找公倍数和最小公倍数的方法:
如果两个数是不同的质数,那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。
如果两个数是连续的自然数(0除外),那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。
如果两个数具有倍数关系,那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。
6、短除法求最小公倍数
㈧分数的大小
把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数,这个过程叫作通分。
★通分的两个要点:和原来分数相等;分母相同。
■分数大小比较:
同分母分数相比较,分子越大分数越大。 同分子分数相比较,分母越小分数越大。
分子分母都不相同的分数相比较的方法:
用通分的方法把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数,再比较大小。(把两个分数化成分子相同的分数,再比较大小)
通分一般以最小公倍数作分母。
第六单元 组合图形的面积
组合图形面积
知识点:了解组合图形:有几个简单的图形拼出来的图形,我们把它们叫做组合图形。计算组合图形的面积的方法是多种多样的。一般运用的方法是“分割法”和“添补法”。
分割法,即将这个图形分割成几个基本的图形。分割图形越简洁,其解题的方法也将越简单,同时又要考虑分割的图形与所给条件的关系。
添补法,即通过补上一个简单的图形,使整个图形变成一个大的规则图形。
鸡兔同笼 知识点:运用列表的方法(逐一列表法、跳跃列表法、折中列表法)解决类似于“鸡兔同笼”的问题,也可用“画图方法”来解决。
点阵中的规律 知识点:能在观察活动中,发现点阵中隐含的规律,体会到图形与数的联系。在“点阵中的规律”的活动中,通过观察前后图形中点的变化规律,推理出后续图形中点的数量
第七单元 可能性
1、判断游戏是否公平,要看事件发生的可能性是否相等。
2、摸球游戏(用分数表示可能性的大小)
(1)通过游戏所列的条件,推测某种情况出现的概率;
(2)能判断事件发生可能性的大小,写出所有可能发生的情况,推测可能发生的结果。
知识点:用分数表示可能性的大小。
客观事件中,“不可能”出现的现象用数据表示为“可能性是0”,客观事件中,“一定能”出现的现象用数据表示为“可能性是“1”,当可能性是相等的时候,用数据表述是“ 二分之一”。逐步体会到数据表示的简洁性与客观性。
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