中考数学专题训练---反比例函数的综合题分类

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B（b，1）两点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标； （3）求△PAB的面积．

【答案】（1）解：当x=﹣1时，a=x+4=3， ∴点A的坐标为（﹣1，3）． 将点A（﹣1，3）代入y= 中， 3=

，解得：k=﹣3，

∴反比例函数的表达式为y=﹣ （2）解：当y=b+4=1时，b=﹣3， ∴点B的坐标为（﹣3，1）．

作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．

∵点B的坐标为（﹣3，1）， ∴点D的坐标为（﹣3，﹣1）． 设直线AD的函数表达式为y=mx+n，

将点A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y=mx+n中，

，解得：

，

∴直线AD的函数表达式为y=2x+5． 当y=2x+5=0时，x=﹣ ， ∴点P的坐标为（﹣ ，0）

（3）解：S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =

【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP ， 即可得出结论．

2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y= （k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．

（1）填空：OA=________，k=________，点E的坐标为________；

（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣ t2+5t﹣ ）与点N（﹣t﹣3，﹣ t2+3t﹣ ）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣ x2+bx+c的顶点． ①当点P在双曲线y= 上时，求证：直线MN与双曲线y= 没有公共点； ②当抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；

③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．

【答案】（1）6；-6；（﹣ ，4） （2）解：①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1

由题意得：

解得

∵抛物线y=﹣

过点M、N

∴ 解得

∴抛物线解析式为：y=﹣ x2﹣x+5t﹣2 ∴顶点P坐标为（﹣1，5t﹣ ） ∵P在双曲线y=﹣ 上 ∴（5t﹣ ）×（﹣1）=﹣6 ∴t=

此时直线MN解析式为：

联立

∴8x2+35x+49=0

∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0 ∴直线MN与双曲线y=﹣ 没有公共点．

②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点 ∴4=5t﹣2，得t=

当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点 ∴

∴t= 或t=

③∵点P的坐标为（﹣1，5t﹣ ） ∴yP=5t﹣

当1≤t≤6时，yP随t的增大而增大 此时，点P在直线x=﹣1上向上运动 ∵点F的坐标为（0，﹣ ∴yF=﹣

）

，得t=

∴当1≤t≤4时，随者yF随t的增大而增大 此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动 ∴1≤t≤4

当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3） 当t=4﹣

时，直线MN过点A．

当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为 S= ∴OA=6

∵过点C（﹣6，1）的双曲线y= ∴k=﹣6 y=4时，x=﹣

【解析】【解答】解：（1）∵A点坐标为（﹣6，0）

∴点E的坐标为（﹣ ，4） 故答案为：6，﹣6，（﹣ ，4）

【分析】（1）根据A点的坐标即可得出OA的长，将C点的坐标代入双曲线y=，即可求出k的值，得出双曲线的解析式，根据平行于x轴的直线上的点的坐标特点得出点E的纵坐标为4，将y=4代入双曲线的解析式即可算出对应的自变量的值，从而得出E点的坐标；

（2）①用待定系数法求出直线MN解析式，将M,N两点的坐标代入抛物线y=﹣ x2+bx+c，得出关于b,c的方程组，求解得出b,c的值，根据顶点坐标公式表示出P点的坐标，再将P点的坐标代入双曲线即可求出t的值，从而得出直线MN解析式，解联立直线MN解析式与双曲线的解析式组成的方程组，根据根的判别式的值小于0，得出直线MN与双曲线没有公共点； ②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，故4=5t﹣2，求解得出t的值，当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点，故

,求解得出t的值，综上所述得出答案；③

根据P点的坐标判断出当1≤t≤6时，yP随t的增大而增大，此时，点P在直线x=﹣1上向上运动进而表示出F点的坐标，将F点的纵坐标配成顶点式，得出当1≤t≤4时，随者yF随t的增大而增大，此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动 ， 故1≤t≤4，当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3），当t=4﹣

时，直

线MN过点A．根据割补法算出当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积。

3．如图，P1、P2是反比例函数y= （k＞0）在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为（4，0）．若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶

点．

（1）求反比例函数的解析式．

（2）①求P2的坐标． ②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．

【答案】（1）解：过点P1作P1B⊥x轴，垂足为B ∵点A1的坐标为（4，0），△P1OA1为等腰直角三角形 ∴OB=2，P1B=

OA1=2

∴P1的坐标为（2，2） 将P1的坐标代入反比例函数y= ∴反比例函数的解析式为

（k＞0），得k=2×2=4

（2）①过点P2作P2C⊥x轴，垂足为C ∵△P2A1A2为等腰直角三角形

∴P2C=A1C

设P2C=A1C=a，则P2的坐标为（4+a，a） 将P2的坐标代入反比例函数的解析式为 a=

，解得a1=

，

，a2=

）

时，一次函数的函数值大于反比例函数的值．

，得 （舍去）

∴P2的坐标为（

②在第一象限内，当2＜x＜2+

【解析】【分析】（1）先根据点A1的坐标为（4，0），△P1OA1为等腰直角三角形，求得P1的坐标，再代入反比例函数求解；（2）先根据△P2A1A2为等腰直角三角形，将P2的坐标设为（4+a，a），并代入反比例函数求得a的值，得到P2的坐标；再根据P1的横坐标和P2的横坐标，判断x的取值范围．

4．【阅读理解】

我们知道，当a＞0且b＞0时，（ （当a=b时取等号），

【获得结论】设函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 即x= y有最小值为2

（1）【直接应用】

若y1=x（x＞0）与y2= （x＞0），则当x=________时，y1+y2取得最小值为________． （2）【变形应用】

若y1=x+1（x＞﹣1）与y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），则 的最小值是________ （3）【探索应用】

在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，﹣2），点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设点P的横坐标为x，四边形ABCD的面积为S

①求S与x之间的函数关系式；

②求S的最小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的形状，并说明理由．

时，函数

﹣

）2≥0，所以a﹣2

+≥0，从而a+b≥2

【答案】（1）1；2 （2）4

（3）解：①设P（x， ），则C（x，0），D（0， ）， ∴AC=x+3，BD= +2，

∴S= AC•BD= （x+3）（ +2）=6+x+ ； ②∵x＞0， ∴x+ ≥2

=6，

∴当x= 时，即x=3时，x+ 有最小值6， ∴此时S=6+x+ 有最小值12， ∵x=3，

∴P（3，2），C（3，0），D（0，2），

∴A、C关于x轴对称，D、B关于y轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分， ∴四边形ABCD为菱形．

【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，∴y1+y2=x+ ≥2

=2，∴当x= 时，即x=1时，

=

y1+y2有最小值2，故答案为：1；2；（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴ = （x+1）+

≥2

=4，∴当x+1=

时，即x=1时， 有最小值

4，故答案为：4；

【分析】（1）直接由结论可求得其取得最小值，及其对应的x的值；（2）可把x+1看成一个整体，再利用结论可求得答案；（3）①可设P（x， ），则可表示出C、D的坐标，从而可表示出AC和BD，再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积，从而可得到S

与x的函数关系式；②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值，则可得到P、C、D的坐标，可判断A、C关于x轴对称，B、D关于y轴对称，可判断四边形ABCD为菱形．

5．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，OC=2 过点C以及边AB的中点D．

，sin∠AOC=

，反比例函数y= 的图象经

（1）求这个反比例函数的解析式； （2）四边形OABC的面积．

【答案】（1）解：过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，

∵OC=2 ∴MC=4，

由勾股定理得：OM= ∴C的坐标为（2，4），

得：k=8，

=2，

，sin∠AOC=

=

，

代入y=

所以这个反比例函数的解析式是y=

（2）解：

过B作BE⊥x轴于E，则BE=CM=4，AE=OM=2，过D作DN⊥x轴于N， ∵D为AB的中点， ∴DN=

=2，AN=

得：x=4，

=1，

把y=2代入y= 即ON=4， ∴OA=4﹣1=3，

∴四边形OABC的面积为OA×CM=3×4=12

【解析】【分析】（1）过C作CM⊥x轴于M，则∠CMO=90°，解直角三角形求出CM，根据勾股定理求出OM，求出C的坐标，即可求出答案；（2）根据D为中点求出DN的值，代入反比例函数解析式求出ON，求出OA，根据平行四边形的面积公式求出即可．

6．已知一次函数y=− x−12的图象分别交x轴，y轴于A，C两点。

（1）求出A，C两点的坐标；

（2）在x轴上找出点B,使△ACB∽△AOC，若抛物线过A，B，C三点，求出此抛物线的解析式；

（3）在(2)的条件下，设动点P、Q分别从A，B两点同时出发，以相同速度沿AC、BA向C，A运动，连接PQ，设AP=m，是否存在m值，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出所有m值；若不存在，请说明理由。 【答案】 （1）解：

在一次函数y=− x−12中，当x=0时，y=−12；

当y=0时,x=−16,即A(−16,0),C(0,−12)

（2）解：过C作CB⊥AC，交x轴于点B，显然，点B为所求。 则OC2=OA⋅OB,此时OB=9,可求得B(9,0)； 此时经过A. B. C三点的抛物线的解析式为y= x2+

x−12

（3）解：当PQ∥BC时,如图(1),△APQ∽△ACB；则有： = ,即 = 解得m=

.

，

当PQ⊥AB时,△APQ∽△ACB；有： = ,即 解得m=

.

= ，

【解析】【分析】（1）令直线的解析式y=0，可得A的坐标，令x=0，可得C的坐标（2）要使△ACB∽△AOC，则B点必为过C点且垂直于AC的直线与x轴的交点.那么根据射影定理不难得出B点的坐标，然后用待定系数法即可求得抛物线的解析式.（3）本题可分两种情况进行求解：①当PQ∥BC时，△APQ∽△ACB；②当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB.可根据各自得出的不同的对应成比例线段求出m的值.

7．如图，在平面直角坐标系中，点A（－5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限

内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CD＝BC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF.

（1）当∠BAC＝30º时，求△ABC的面积； （2）当DE＝8时，求线段EF的长；

（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=30°， ∴BC= AB=5， ∴AC=

∴S△ABC= AC⋅BC=

，

（2）解：连接AD，

∵∠ACB=90°，CD=BC， ∴AD=AB=10， ∵DE⊥AB， ∴AE=

∴BE=AB−AE=4， ∴DE=2BE，

=6，

∵∠AFE+∠FAE=90°， ∠DBE+∠FAE=90°，

∴∠AFE=∠DBE， ∵∠AEF=∠DEB=90°， ∴△AEF∽△DEB， ∴

=2，

∴EF= AE= ×6=3

（3）解：连接EC，设E(x，0)，

当 的度数为60°时，点E恰好与原点O重合；

①0°< 的度数<60°时，点E在O、B之间，∠EOF>∠BAC=∠D， 又∵∠OEF=∠ACB=90°，由相似知∠EOF=∠EBD，此时有△EOF∽△EBD， ∴

，

∵EC是Rt△BDE斜边的中线， ∴CE=CB， ∴∠CEB=∠CBE， ∴∠EOF=∠CEB， ∴OF∥CE， ∴△AOF∽△AEC

∴ ∴ 解得x= ∴x=

，即

，

，

，因为x>0， ；

②60°< 的度数<90°时，点E在O点的左侧， 若∠EOF=∠B，则OF∥BD， ∴OF= BC= BD， ∴

即

解得x=

，

若∠EOF=∠BAC，则x=− ，

综上点E的坐标为( ，0) ；（

，0）；（− ，0）.

【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ACB=90°，根据30°的直角三角形的性质求得BC，进而根据勾股定理求得AC，然后根据三角形面积公式即可求得；（2）连接AD，由垂直平分线的性质得AD=AB=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求AE，依题意证明△AEF∽△DEB，利用相似比求EF；（3）当以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似时，分为两种情况：①当交点E在O，B之间时；②当点E在O点的左侧时；分别求E点坐标.

8．如图，抛物线

与 轴交于

两点( 在 的左侧)，与 轴交于点

， 点 与点 关于抛物线的对称轴对称.

（1）求抛物线的解析式及点 的坐标: （2）点 是抛物线对称轴上的一动点，当 （3）点 在 轴上，且

【答案】 （1）解：根据题意得， 解得

的周长最小时，求出点 的坐标;

，请直接写出点 的坐标.

抛物线的解析式为 抛物线的对称轴为直线 点 的坐标为

点 与点 关于抛物线的对称轴对称

（2）解：连接

点 与点 关于抛物线的对称轴对称.

为定值， 当的 即 由

在 的左侧， 由 当

当

时，

值最小 三点在同一直线上时

解得，

的周长最小时，点 的坐标为

或

的周长最小

两点坐标可求得直线 的解析式为

（3）解： 点坐标为

【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出n，利用对称性C、D关于对称轴对称即可求出点D坐标.（2）A，P，D三点在同一直线上时△PAC的周长最小，求出直线AD的解析式即可解决问题.（3）分两种情形①作DQ∥AC交x轴于点Q，此时∠DQA=∠DAC，满足条件.②设线段AD的垂直平分线交AC于E，直线DE与x的交点为Q′，此时∠Q′DA=′CAD，满足条件，分别求解即可.

9．请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE

（1）求证:直线CG为⊙O的切线；

（2）若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH； ①求证:△CBH∽△OBC； ②求OH+HC的最大值.

【答案】 （1）证明：由题意可知：∠CAB=∠GAF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90° ∵OA=OC， ∴∠CAB=∠OCA， ∴∠OCA+∠OCB=90°，

∵∠GAF=∠GCE，

∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴直线CG是⊙O的切线；

（2）证明：①∵CB=CH， ∴∠CBH=∠CHB， ∵OB=OC， ∴∠CBH=∠OCB， ∴△CBH∽△OBC

解：②由△CBH∽△OBC可知：

∵AB=8，

∴BC2=HB•OC=4HB， ∴HB=

，

∴OH=OB-HB= ∵CB=CH， ∴OH+HC= 当∠BOC=90°， 此时BC= ∴0＜BC＜ 令BC=x ∴OH+HC= 当x=2时，

∵∠BOC＜90°，

= =

∴OH+HC可取得最大值，最大值为5

【解析】【分析】（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∠GAF=∠GCE，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB， 从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：

，所以HB=

，

由于BC=HC，所以OH+HC=

利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．

10．已知如图，二次函数

的图象经过A（3，3），与x轴正半轴交于B

点，与y轴交于C点，△ABC的外接圆恰好经过原点O.

（1）求B点的坐标及二次函数的解析式；

（2）抛物线上一点Q（m，m+3），（m为整数），点M为△ABC的外接圆上一动点，求线段QM长度的范围；

（3）将△AOC绕平面内一点P旋转180°至△A'O'C'（点O'与O为对应点），使得该三角形的对应点中的两个点落在

的图象上，求出旋转中心P的坐标.

【答案】 （1）解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，

∴∠ADC=∠AEB=90° ∵二次函数

点C坐标为（0，2） ∵点A坐标（3，3） ∴DA=AE=3 ∵∠DAC+∠CAE=90° ∠EAB+∠CAE=90° ∴∠DAC=∠EAB ∴△ACD≌△ABE ∴EB=CD=3-2=1

与y轴交于点C，

OB=3+1=4

∴点B的坐标为（4，0）

将A（3，3）B（4，0）代入二次函数 得：

中

解得：

二次函数的解析式为：

（2）解：将点Q（m，m+3）代入二次函数解析式得： m1=1；m2= （舍） ∴m=1

∴点Q坐标为(1,4) 由勾股定理得：BC=2

设圆的圆心为N

∵圆经过点O，且∠COB=90° ∴BC是圆N的直径， ∴圆N的半径为

，N的坐标为（2,1）

≤QM≤

由勾股定理得，QN= 半径r=

，则

（3）解：当点A的对称点

，点O的对称点 在抛物线上时，如图

设点 的横坐标为m，则点

得： 解得：

）

的横坐标为m-3

∴ 的坐标为（ ∴旋转中心P的坐标为

当点A的对称点 ，点C的对称点 在抛物线上时，如图

设点 的横坐标为m，则点

得： 解得：

）

∴ 的坐标为（

的横坐标为m-3

∴旋转中心P的坐标为

综上所述，旋转中心P的坐标为 或

【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，求证△ACD≌△ABE，进而求得点B坐标，再将A、B两点坐标代入二次函数解析式，即可解答；（2）将点Q（m，m+3）代入二次函数解析式，求得m的值，进而且得点Q坐标，根据圆的性质得到BC是圆N的直径，利用勾股定理即可求得BC，进而求得N的坐标，再利用勾股定理求得QN的长，确定取值范围即可；（3）分两种情况：当点A的对称点 ，点O的对称点 在抛物线上时，利用旋转180°可知， 标为m-3，利用

∥ ，设点 的横坐标为m，则点

的横坐

列出式子，即可求得m的值，利用旋转中心和线段中点的

特点，即可求得旋转中心P的坐标；当点A的对称点 ，点C的对称点 在抛物线上时，设点 的横坐标为m，则点 的横坐标为m-3，同理可求得m的值以及旋转中心P的坐标.

11．【问题】

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系.

（1）【探究发现】如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB，请写出证明过程； （2）【数学思考】如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP=DB，请完成证明过程； （3）【拓展引申】如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM=BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4，请你直接写出BQ的最大值.

【答案】 （1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC ∴∠CAB=∠CBA=45° ∵CD∥AB

∴∠CBA=∠DCB=45°，且BD⊥CD ∴∠DCB=∠DBC=45° ∴DB=DC 即DB=DP

（2）解：∵DG⊥CD，∠DCB=45° ∴∠DCG=∠DGC=45°

∴DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°， ∵∠BDP=∠CDG=90°

∴∠CDP=∠BDG，且DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°， ∴△CDP≌△GDB（ASA） ∴DB=DP

（3）解：如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，

∵MH⊥MN， ∴∠AMH+∠NMB=90° ∵CD∥AB，∠CDB=90° ∴∠DBM=90° ∴∠NMB+∠MNB=90°

∴∠HMA=∠MNB，且AM=BN，∠CAB=∠CBN=45° ∴△AMH≌△BNQ（ASA） ∴AH=BQ

∵∠ACB=90°，AC=BC=4， ∴AB=4 ∴CH=CQ

∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB ∴HQ∥AB ∴∠HQM=∠QMB ∵∠ACB=∠HMQ=90°

∴点H，点M，点Q，点C四点共圆， ∴∠HCM=∠HQM

∴∠HCM=∠QMB，且∠A=∠CBA=45° ∴△ACM∽△BMQ

，AC-AH=BC-BQ

∴ ∴ ∴BQ= ∴AM=2

+2

时，BQ有最大值为2.

【解析】【分析】（1） DB=DP， 理由如下： 根据等腰直角三角形的性质得出∠CAB=∠CBA=45° ，根据二直线平行，内错角相等得出 ∠CBA=∠DCB=45° ，根据三角形的内角和得出 ∠DCB=∠DBC=45° ，最后根据等角对等边得出 DB=DC ，即DB=DP； （2）利用ASA判断出 △CDP≌△GDB ，再根据全等三角形的对应边相等得出DB=DP； （3） 如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ， 利用ASA判断出 △AMH≌△BNQ 根据全等三角形的对应边相等得出AH=BQ，进而判断出 点H，点M，点Q，点C四点共圆， 根据圆周角定理得出 ∠HCM=∠HQM ，然后判断出 △ACM∽△BMQ ，根据相似三角形的对应边成比例得出出答案.

,根据比例式及偶数次幂的非负性即可得出求

12．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts，

（1）当t=2时，求△PBQ的面积；

（2）当t= 时，试说明△DPQ是直角三角形；

（3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由. 【答案】 （1）解：当t=2时，AP=t=2，BQ=2t=4， ∴BP=AB-AP=4，

∴△PBQ的面积= ×4×4=8；

（2）解：当t= 时，AP=1.5，PB=4.5，BQ=3，CQ=9，

∴DP2=AD2+AP2=2.25+144=146.25，PQ2=PB2+BQ2=29.25，DQ2=CD2+CQ2=117， ∵PQ2+DQ2=DP2 ， ∴∠DQP=90°， ∴△DPQ是直角三角形.

（3）解：设存在点Q在BC上，延长DQ与AB延长线交于点O.

设QB的长度为x，则QC的长度为（12-x）， ∵DC∥BO，

∴∠C=∠QBO，∠CDQ=∠O，

∴△CDQ∽△BOQ，又CD=6，QB=x，QC=12-x， ∴

，即

，

，

解得：BO=

∴AO=AB+BO=6+ ∵∠ADP=∠ODP， ∴12：DO=AP：PO， 代入解得x=0.75， ∴DP能平分∠ADQ， ∵点Q的速度为2cm/s，

∴P停止后Q往B走的路程为（6-0.75）=5.25cm.

∴时间为2.625s，加上刚开始的3s，Q点的运动时间为5.625s.

，

【解析】【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间得出 AP=t=2，BQ=2t=4， 所以BP=4,进而根据三角形的面积计算方法即可算出答案；

（2）当t= 时，根据路程等于速度乘以时间得出AP=1.5，BQ=3，故PB=4.5，CQ=9， 根据勾股定理表示出DP2,PQ2,DQ2,从而根据勾股定理的逆定理判断出∠DQP=90°， △DPQ是直角三角形；

（3） 设存在点Q在BC上，延长DQ与AB延长线交于点O ， 设QB的长度为x，则QC的长度为（12-x）， 判断出 △CDQ∽△BOQ， 根据全等三角形的对应边成比例得出

，根据比例式可以用含x的式子表示出BO的长，根据角平分线的性质定理得出

12：DO=AP：PO， 根据比例式求出x的值，从而即可解决问题.

13．已知抛物线 的顶点坐标为

，经过点

.

（1）求抛物线 的解析式； （2）如图1，直线 值；

（3）如图2，将抛物线 向下平移 为 ，交 轴的负半轴于点 ，点 ①求点 的坐标（用含 的式子表示）； ②若

，求 ， 的值.

，

，

【答案】 （1）解：已知抛物线 的顶点坐标为 ∴设抛物线 的解析式为 把 解得：

代入得：6=16a-2， ，

交 轴点 ，则点 的坐标

，

个单位长度得到抛物线 ，抛物线 的顶点

在抛物线 上.

交抛物线 于 ， 两点，若

，求 的

∴抛物线 的解析式为

（2）解：设直线

∴ ∵ ∴ ∴

. .

， .

由 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴

， ，

.

得 ，

，

，

，

（3）解：①依题意得抛物线 的解析式为 点 ∴

，

， .

（舍去）， .

在抛物线 上，

.

∴顶点 的坐标为 令 ∴ ②作

，即

， 轴于点 ，

∴点 的坐标为

∵E（2-a，0），F（a，2a-2）， ∴ ∴ 又 ∴

∵FH//y轴，

∴∠FPO=∠PFH=22.5°， ∴∠FPO=∠EFP， ∴PD=FD，

设 交 轴于点 ，过D作DG⊥FH于G，则DG=OH， ∵∠EFH=45°， ∴

∵∠FEH=45°，a>2, ∴OD=OE=a-2， ∴PD=a-2- ∵HO=a， ∴ ∴ ∴

.

， ，

（舍去）， =

，

， ，

， ，

，

【解析】【分析】（1）观察函数图像可知抛物线关于y轴对称，可得到点A时抛物线的顶点坐标，因此设函数解析式为y=ax2-2，再将点B的坐标代入求出a的值，即可得到抛物线C的解析式。

（2）由点A，B的坐标，可求出AB的长，利用三角形的面积公式，可得到点N和点M的横坐标之差为1，再将两函数联立方程组，可转化为x2-2kx+4=0，利用一元二次方程根与系数的关系，求出方程的两个根之和和两根之积，由此可建立关于k的方程，解方程求出符合题意的k的值。

（3）①利用函数平移规律，可得到C1的函数解析式，由点F在抛物线C1上，可建立m

与a的二次函数，再求出顶点P的坐标，将点P代入抛物线C，建立方程，求出方程的解，可得到符合题意的点E的坐标；②作FH⊥x轴于点H，用含a的代数式表示出点E，F的坐标，即可求出FH、EH的长，再去证明∠EFP=∠PFH=22.5°，从而可以推出PD=FD；设EF 交y轴于点 D，过D作DG⊥FH于G，则DG=OH，利用解直角三角形求出PD，DF，OD的长，再建立关于a的方程，解方程求出a的值，可得到m的值。

14．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A ， C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝ AC ．

（1）在x轴上找一点D ， 连接DB ， 使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；

（2）在（1）的条件下，如P ， Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ ， 设AP＝DQ＝m ， 问是否存在这样的m ， 使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．

【答案】 （1）解：如图1，过点B作BD⊥AB ， 交x轴于点D ，

∵∠A＝∠A ， ∠ACB＝∠ABD＝90°， ∴△ABC∽△ADB ，

∴∠ABC＝∠ADB ， 且∠ACB＝∠BCD＝90°， ∴△ABC∽△BDC ， ∴

∵A（﹣3，0），C（1，0）， ∴AC＝4，

∵BC＝ AC ． ∴BC＝3， ∴AB＝ ∵ ∴

， ，

＝

＝5，

∴CD＝ ，

∴AD＝AC+CD＝4+ ＝ ， ∴OD＝AD﹣AO＝ ， ∴点D的坐标为：（ ，0）；

（2）解：如图2，当∠APC＝∠ABD＝90°时，

∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ ， ∴△APQ∽△ABD ， ∴

，

∴

∴m＝ ，

如图3，当∠AQP＝∠ABD＝90°时，

∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD ， ∴△APQ∽△ADB ， ∴

，

∴ ∴m＝

；

综上所述：当m＝ 或

时，△APQ与△ADB相似．

【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥AB ， 交x轴于点D ， 可证△ABC∽△ADB ， 可得∠ABC＝∠ADB ， 可证△ABC∽△BDC ， 可得 的长，即可求点D坐标；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．

，可求CD

15．如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y＝kx+3.

（1）设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式.

（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；

（3）是否存在使△AMN的面积等于 的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由.

【答案】 （1）解：∵y轴和直线l都是⊙C的切线，∴OA⊥AD，BD⊥AD；又∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，∴四边形OADB是矩形；∵⊙C的半径为2，∴AD＝OB＝4；

∵点P在直线l上，∴点P的坐标为（4，p）；又∵点P也在直线AP上，∴p＝4k+3

（2）解：连接DN.∵AD是⊙C的直径，∴∠AND＝90°，

∵∠ADN＝90°﹣∠DAN，∠ABD＝90°﹣∠DAN，∴∠ADN＝∠ABD，又∵∠ADN＝∠AMN， ∴∠ABD＝∠AMN，∵∠MAN＝∠BAP，∴△AMN∽△ABP

（3）解：存在.理由：把x＝0代入y＝kx+3得：y＝3，即OA＝BD＝3，AB＝

，

∵S△ABD＝ AB•DN＝ AD•DB∴DN＝

，

∵△AMN∽△ABP，∴ （k2+1），

或AP2＝AD2+PD2＝AD2+（BD﹣PB）2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1）， S△ABP＝ PB•AD＝ （4k+3）×4＝2（4k+3）， ∴

整理得：k2﹣4k﹣2＝0，解得k1＝2+ 当点P在B点下方时，

，k2＝2﹣

，

，即

＝

，∴AN2＝AD2﹣DN2＝

当点P在B点上方时，∵AP2＝AD2+PD2＝AD2+（PB﹣BD）2＝42+（4k+3﹣3）2＝16

∵AP2＝AD2+PD2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP＝ PB•AD＝ [﹣（4k+3）]×4＝﹣2（4k+3）

∴

化简得：k2+1＝﹣（4k+3），解得：k＝﹣2， 综合以上所得，当k＝2±

或k＝﹣2时，△AMN的面积等于

【解析】【分析】（1）由切线的性质知∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，所以可以判定四边形OADB是矩形；根据⊙O的半径是2求得直径AD＝4，从而求得点P的坐标，将其代入直线方程y＝kx＋3即可知p变化的函数关系式；（2）连接DN.∵直径所对的圆周角是直角，∴∠AND＝90°，根据图示易证∠AND＝∠ABD；然后根据同弧所对的圆周角相等推知∠ADN＝∠AMN，再由等量代换可知∠ABD＝∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理AA证明△AMN∽△ABP；（3）存在.把x＝0代入y＝kx＋3得y＝3，即OA＝BD＝3，然后由勾股定理求得AB＝5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比.分两种情况进行讨论：①当点P在B点上方时，由相似三角形的面积比得到k2−4k−2＝0，解关于k的一元二次方程；②当点P在B点下方时，由相似三角形的面积比得到k2＋1＝−（4k＋3），解关于k的一元二次方程.