中考数学专题复习-反比例函数与几何

1.如图1，反比例函数y函数图象交于另一点B(1垂足为D． （1）求k的值；

（2）求tanDAC的值及直线AC的解析式；

（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线lk（x＞0）的图象经过点A(23，1)，射线AB与反比例x，a)，射线AC与y轴交于点C，BAC＝75，ADy轴，

x轴，与

AC相交于点N，连接CM，求CMN面积的最大值．

解析：（1）

∵反比例函数yk（x＞0）的图象经过点A(23，1) x∴k231，∴k＝23 （2）

∵点B(1，a)在反比例函数y23的图象上 x∴a2323，∴点B(1，23) 1过B作BEAD于E，则AE＝BE＝231

∴ABE＝BAE＝45

∵BAC＝75，∴DAC＝30

∴tanDAC＝tan30＝3 3∴ DC 3-1) AD＝2，∴OC＝2－＝11，∴C(0，3设直线AC的解析式为y＝kx＋b

323kb1k∴解得3 b1b1∴直线AC的解析式为y3x1 3233（3）设M(m，，则N(m，m1) )（0＜m＜23）m3则MN＝233233(m1)m1 m3m31233321(m1)=mm3 2m362∴SCMN＝3321＝-(m)3 624当m＝13时，CMN的面积有最大值，最大值为+3 42

2.如图，点A(m，6)，B(n，1)在反比例函数图象上，ACx轴于点C，BDx轴

于点D，CD＝5．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）连接AB，在x轴上是否存在一点E，使ABE的面积等于5，若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由．

6mnm1解析：（1）由题意，得解得

m5nn6∴A(1，6)，B(6，1)

k设反比例函数的表达式为y=

x将A(1，6)代入y=k，得k＝6 x6 x∴反比例的表达式为y=（2）

∵A(1，6)，B(6，1)，ACx轴，BDx轴

∴AC＝6，BD＝1，CD＝5

11S＝65=15S＝15=2.5，SABE＝5 ∴ABC，ABD22∵SABE＝5，∴在线段CD上和线段CD的延长线上必存在满足条件的E点；在线段

DC的延长线上不存在满足条件的E点

设E(x，0)

①当点E在线段CD上时

CEx1，DE6x

SABES梯形ABDCSACESBDE

111＝(16)5(x1)6(6x)1 222=355x5，∴x＝5 22，0)

∴E(5

②当点E在线段CD的延长线上时

CEx1，DEx6

SABESACES梯形ABDCSBDE

111(x1)6(16)5(x6)1 222535=x5，∴x＝9 22∴E(9，0)

，0)，(9，0)

综上所述，x轴上存在点E，使ABE的面积等于5，E点坐标为(5

3.如图，已知反比例函数y坐标大于点A的横坐标，AM相交于点C．

k(x0，k是常数）的图象经过点A和点B，点B的横x垂足为M，BNy轴，垂足为N，AM与BNx轴，

（1）若点A的纵坐标为6，点B的横坐标为3，AC＝2CM，求反比例函数的解析式； （2）求证：AB∥MN．

解析：（1）∵点A的纵坐标为6，AC＝2CM ∴点B的纵坐标为2 ∵点B的横坐标为3，∴B(3，2)

∵反比例函数yk的图象经过点B x∴2＝k，∴k＝6 3∴反比例函数的解析式为y6 xkk（2）设A(a，)，B(m，)，其中m＞a

am∴AC＝kkk，BC＝ma，CM＝，CN＝a ammkkCMkACamk∴， =BCmaamCNam∴

ACCMBCCN

又∵ACB＝MCN，∴ACB∽MCN ∴ABC＝MNC，∴AB∥MN

4.如图，直线y11kx与双曲线y（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝x向22x上平移3个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点B，且OA＝2BC． （1）求k的值；

（2）连接AB，求四边形OABC的面积．

kx

解析：（1）

作BEx轴于E，交OA于D，AFx轴于F

则BD∥CO

∵BC∥OD，∴四边形ODBC是平行四边形 ∴BC＝OD，BD＝CO＝3 ∵OA＝2BC，∴OA＝2OD ∴OF＝2OE，AF＝2DE

∵点A在直线y11x上，∴设A(a，a) 221111则OE＝a，BEa3，∴B(a，a3)

2424∵A、B两点在双曲线yk（k＞0，x＞0）上 x∴a111aa(a3) 224解得a＝0（舍去）或a＝4 ∴A(4，2)，B(2，4)

∴k＝42＝8

（2）S四边形OABC＝S平行四边形ODBC＋SABD

1=OCOEBDEF

2132329

2

5.如图，点A在双曲线y=1（x＞0）上，直线OA交双曲线y（x＞0）于点B，

xx点P的坐标为(8，0)，直线PA交双曲线y4（x＞0）于点C，直线PB交双曲线x1（）于点，直线交双曲线于点E，连接AE、PE． x＞0ODDyy（x＞0）xx（1）求证：AE∥BD；

（2）SAPE与SAOE是否相等，请说明理由 （3）若SAOP＝3SAOE，求点A的坐标．

解析：（1）

设直线OA的解析式为y＝kx

可得A(24，2k)，B(，4k) kk∴A是OB的中点 同理可证E是OD的中点 ∴AE是OBD的中位线 ∴AE∥BD （2）

当点A在点E下方时，点B在点D下方，连接AD ∵AE∥BD，∴SAPE＝SADE ∵E是OD的中点，∴SADE＝SAOE

∴SAPE＝SAOE

当点A在点E上方时，点B在点D上方，连接BE ∵AE∥BD，∴SAPE＝SABE ∵A是OB的中点，∴SABE＝SAOE ∴SAPE＝SAOE

（3）①当点A在点E下方时，点B在点D下方 ∵SAPE＝SAOE，SAOP＝3SAOE

∴SAOP＝3SPOE 53倍 5∴点A的纵坐标是点E纵坐标的

3∴点B的纵坐标是点D纵坐标的倍

5作BGOP于G，DHOP于H

则BG∥DH，∴PBG∽PDH

∴

PGBG3 PHDH51616，3a)，则D(，5a) 3a5a，0)，∴PG8设B(∵P(81616，PH8 3a5a163a3，解得a=16 ∴

1651585a8∴B(51658，)，∴A(，) 525②当点A在点E上方时，点B在点D上方 ∵SAPE＝SAOE，SAOP＝3SAOE

∴SPOE＝1SAOP 31倍 3∴点E的纵坐标是点A纵坐标的

1∴点D的纵坐标是点B纵坐标的倍

3作DGOP于G，BHOP于H

则DG∥BH，∴PDG∽PBH

∴

PGDG1 PHBH31616，m)，则B(，3m) m3m，0)，∴PG8设D(∵P(81616，PH8 m3m16m1，解得m8 ∴

163383m8∴B(24) ，8)，∴A(1，综上所述，点A的坐标为(584) ，)或(1，25

6.如图①，直角三角形AOB中，AOB＝90，AB平行于x轴，OA＝2OB，AB＝5，

k反比例函数y（x＞0）的图象经过点A．

x（1）直接写出反比例函数的解析式； （2）如图②，P(x，y)在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过

n)，且OP＝2OQ，连接PQ．设点Q坐标为(m，其中m＜0，n＞0，O作OQOP，

求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围； （3）在（2）的条件下，若Q坐标为(m，1)，求POQ的面积．

解析：

（1）y＝8 x

提示：设AB交

y轴于点C，易证OBC∽AOC

由OA＝2OB，AB＝5，得AC＝2OC，OC＝2BC ∴AC＝4BC＝4，BC＝1，OC＝2

∴A(4，2)，∴y＝8 x（2）作PDx轴于D，QEx轴于E

则PDO＝QEO＝90，POD＋OPD＝90

∵

OQOP，∴POD＋QOE＝90

∴OPD＝QOE，∴POD∽OQE

PDODOP2 ∴

OEQEOQ∴

11yx2，∴my，nx

22mn1111∴mn＝yx＝-xy＝8=2

224412∴n＝-（－4＜m＜-）

2m（3）

∵Q坐标为(m，1)，∴n＝-21，∴m-2 mOE2QE25 ∴OE＝1，QE＝2，∴OQ＝∴OP＝2OQ＝25 ∴SPOQ11QPOQ2555 22

1117.如图，双曲线y＝-与两直线yx、y＝-kx（k＞0，且k）分别相交于

44xA、B、C、D四点．

（1）证明：以A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形； （2）当k为何值时，平行四边形ADBC是矩形，请说明理由．

解析： （1）

11∵反比例函数y的图象关于原点对称，过原点的直线yx也关于原点对称

4x∴OA＝OB 同理，OC＝OD

∴四边形ADBC是平行四边形

（2）当k＝4时，平行四边形ADBC是矩形 理由如下：

当OA＝OC时，AB＝2OA＝2OC＝CD ∴平行四边形ADBC是矩形

易得：A(211，)，C(，k)

2k2由OA＝OC得：22211+()2k

2k解得：k1＝4，k2＝1 4∵k1，∴k＝4 4∴当k＝4时，平行四边形ADBC是矩形

8.如图，一次函数y＝kx＋5（k为常数，且k象交于A(20）的图象与反比例函数y8的图x，b)，B两点．

（1）求一次函数的表达式；

（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．

解析：（1）∵点A在反比例函数y（－2，b）8的图象上 k8=4，即点A的坐标为(2，4) ∴b2将点A的坐标代入y＝kx＋5，得2k54，解得k＝1 2∴一次函数的表达式是y1x＋5 21（2）直线AB向下平移m个单位长度后的表达式为y＝x5m

28yx2联立消去y，整理得x2(5m)x+16＝0

y1x5m2∵平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个公共点 ∴＝4(5m)2＝0

解得m＝1或m＝9

9.如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是(4，2)，反比例函数yk（x＞0）x的图象经过矩形的对称中心E，且与边BC交于点D． （1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；

（2）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3:5的两部分，求此直线的解析式．

解析： （1）

∵矩形OABC的顶点B的坐标是(4，2)，E是矩形ABCD的对称中心

∴点E的坐标为(2，1)

∵反比例函数yk（x＞0）的图象经过点E x∴1=k，∴k＝2 22∴反比例函数的解析式为y=

x∵点D在边BC上，∴点D的纵坐标为2

∵反比例函数y2（x＞0）的图象经过点E x∴2=2，∴x＝1 x，2)

∴点D的坐标为(1（2）

设直线y=mx+n与x轴交于点F 矩形OABC的面积＝42＝8

∵直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3:5的两部分

35∴S梯形OFDC＝S矩形OABC＝3或S梯形OFDC=S矩形OABC＝5

88设OF＝x，则

11(1x)23或(1x)25 22解得x＝2或x＝4 ∴点F的坐标为(2，0)或(4，0)

mn2m2∴解得 2mn0n42mmn23或解得 4mn0n83∴直线的解析式为y282x+4或yx

33

10.如图，一次函数y=kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E、F，与双曲线y（x＜0）交于点P(14x，n)，且F是PE的中点．

（1）求直线l的解析式； （2）若直线x＝a与l交于点

，问a为何值时，A，与双曲线交于点B（不同于A）

PA＝PB？

解析： （1）

由P(1，n)在y44) 上，得n＝4，∴P(1，x1n2，∴F(0，2) 2∵F为PE中点，∴OF＝又∵点P、F在y=kx+b上

kb4k2∴解得 b2b2∴直线l的解析式为y＝-2x+2 （2）过P作PDAB，垂足为点D

∵PA＝PB，∴点D为AB中点

由题意知，A点纵坐标为2a2，

B点纵坐标为4， aD点纵

∴坐标为4，

42a242，解得a1＝-2，a2＝-1（舍去） a∴当a＝-2时，PA＝PB