2020-2021学年江苏省徐州市市区部分初中八年级(上)期中数学试卷 解析版

学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）

1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

2．下列说法正确的是（ ） A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等

3．在以下列数值为边长的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A．4，7，9

B．5，12，13

C．6，8，10

D．9，40，41

4．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ）

A．变小

B．不变

C．变大

D．无法判断

5．在如图所示的若干个正方形拼成的图形中，与三角形ABC全等的三角形是（ ）

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A．△AEG

B．△ADF

C．△DFG

D．△CEG

6．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的动点（点D与B，C不重合），△ABD和△ACD的面积分别表示S1和S2，下列条件不能说明AD是△ABC角平分线的是（ ） A．BD＝CD

B．AD＝BC

C．∠ADB＝∠ADC D．S1＝S2

7．如图，在△ACB的两边上分别取点A，B使得CA＝CB，将两个全等的直角三角板的直角顶点分别放在点A，B处，一条直角边分别落在∠ACB的两边上，另一条直角边交于点P，连接CP，则判定△ACP≌△BCP的依据是（ ）

A．AAS

B．ASA

C．SSS

D．HL

8．在△ABC中，AB＝AC，设△ABC的面积为S，图1中，点E、F、M、N是中线AD上的点；图2中，三边的高AD、CF、BE交于点O；图3中，D为BC的中点，∠BAC＝∠MDN＝90°，这三幅图中，阴影部分面积为S的是（ ）

A．①

B．①②

C．①③

D．①②③

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

9．（4分）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝ °．

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10．（4分）若等腰三角形的一个底角为70°，则此等腰三角形的顶角为 ． 11．（4分）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则CD＝ ．

12．（4分）将一个矩形纸片沿BC折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝27°，则∠ACD的度数为 ．

13．（4分）如图，等边△ABC中，D，E分别是AB、BC边上的一点，且AE＝BD，则∠DPC＝ °．

14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC与点G，连接CF，若AC＝3，CG＝2，则CF的长为 ．

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15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，三条角平分线相交于点P，则点P到AB的距离为 ．

16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以AD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2020的值为 ．

三、解答题（本大题共9小题，共计84分）

17．（8分）如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，求证AB＝AC．

18．（8分）已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，且MS＝PS．求证：△MNS≌△SQP．

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19．（12分）点A、B、C都在方格纸的格点上：

（1）请在图①中再画出一个格点D，使与△ACD≌△CAB；

（2）请在图②中再画出一个格点E，使△ABE为等腰三角形（画出所有正确答案）．

20．（10分）国庆节期间小红外出游玩时看了鲜花拼成的“71”字样以及“7”内部的两个花坛M、N，抽象为数学图形具体位置如图所示，请用尺规作图帮小红找一处观赏位置P，满足观赏点P到AB和BC的距离相等，并且观赏点P到点M、N的距离也相等．（保留作图痕迹，并写出结论）结论为： 即为所求作的点．

21．（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整： 证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线与点F，

则四边形DFCE为长方形，所以DF＝EC＝ ．（用含字母的代数式表示） 因为S四边形ABCD＝S△ACD+ ＝ +

；

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S四边形ABCD＝S△ADB+ ＝所以 所以 ．

；

；

22．（8分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE． （1）求证：点D在BE的垂直平分线上； （2）若∠ABE＝20°，请求出∠BEC的度数．

23．（8分）如图是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，△ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10，在旋转过程中；

（1）当A、D、M三点在同一直线上时，求AM的长；

（2）当A、D、M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM2的值．

24．（8分）如图，把正方形纸片ABCD对折后再展开，折痕为EF，然后将点A翻折到EF上的点M处，折痕为BN，最后沿MC折叠，得△BMC，请你证明△BMC是等边三角形．

6 / 25

25．（14分）如图，△ABC是等边三角形，AC＝2，点C关于AB对称的点为C′，点P是直点

线

C

′

B

上

的

一

个

动．

（1）若点P是线段C′B上任意一点（不与点C′，点B重合）

①如图1，作∠PAE＝60°交BC于点E，AP与AE相等吗？请证明你的结论； ②如图2，连接AP，作∠APD＝60°交射线BC于点D，PD与PA相等吗？请证明你的结论．

（2）若点P在线段C′B的延长线上．

①连接AP，作∠APD＝60°交射线BC于点D，依题意补全图3； ②直接写出线段BD、AB、BP之间的数量关系．

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2020-2021学年江苏省徐州市市区部分初中八年级（上）期中数

学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）

1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、是轴对称图形． 故选：D．

2．下列说法正确的是（ ） A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等

【分析】根据全等三角形的判定方法，此题应采用排除法，对选项逐个进行分析从而确定正确答案．

【解答】解：A、全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选

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项错误；

B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； C、正确，符合全等三角形的定义；

D、边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误． 故选：C．

3．在以下列数值为边长的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A．4，7，9

B．5，12，13

C．6，8，10

D．9，40，41

【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案． 【解答】解：A、因为42+72≠92，所以不是直角三角形； B、因为52+122＝132，所以是直角三角形； C、因为62+82＝102，所以是直角三角形； D、因为92+402＝412，所以是直角三角形； 故选：A．

4．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ）

A．变小

B．不变

C．变大

D．无法判断

【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP＝AB＝a，即可得出答案． 【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化， 理由是：连接OP，

∵∠AOB＝90°，P为AB中点，AB＝2a， ∴OP＝AB＝a，

即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a； 故选：B．

9 / 25

5．在如图所示的若干个正方形拼成的图形中，与三角形ABC全等的三角形是（ ）

A．△AEG

B．△ADF

C．△DFG

D．△CEG

【分析】根据勾股定理进行计算，可得DG＝BC，FG＝AC，进而得到△ABC和△DFG三边分别对应相等，从而得出这两个三角形全等． 【解答】解：如图所示，BC＝DG＝＝3，

在△ABC和△FDG中，

，

∴△ABC≌△FDG（SSS）， 故选：C．

＝

，AC＝FG＝

＝

，AB＝FD

6．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的动点（点D与B，C不重合），△ABD和△ACD的面积分别表示S1和S2，下列条件不能说明AD是△ABC角平分线的是（ ） A．BD＝CD

B．AD＝BC

C．∠ADB＝∠ADC D．S1＝S2

【分析】由全等三角形的判定和等腰三角形的性质，依次进行推理判断即可求解． 【解答】解：若BD＝CD，AB＝AC，AD＝AD，

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∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴AD是△ABC角平分线； 故A选项不符合题意；

若∠ADB＝∠ADC，且∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，且AB＝AC， ∴AD是△ABC角平分线； 故C选项不符合题意； 若S1＝S2，

∴BD＝CD，且AB＝AC， ∴AD是△ABC角平分线； 故D选项不符合题意；

若AD＝BC，无法证明AD是△ABC角平分线； 故选：B．

7．如图，在△ACB的两边上分别取点A，B使得CA＝CB，将两个全等的直角三角板的直角顶点分别放在点A，B处，一条直角边分别落在∠ACB的两边上，另一条直角边交于点P，连接CP，则判定△ACP≌△BCP的依据是（ ）

A．AAS

B．ASA

C．SSS

D．HL

【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：∵∠CAP＝∠CBP＝90°， ∴在Rt△ACP与Rt△BCP中，∴Rt△ACP≌Rt△BCP（HL）． 故选：D．

8．在△ABC中，AB＝AC，设△ABC的面积为S，图1中，点E、F、M、N是中线AD上

，

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的点；图2中，三边的高AD、CF、BE交于点O；图3中，D为BC的中点，∠BAC＝∠MDN＝90°，这三幅图中，阴影部分面积为S的是（ ）

A．①

B．①②

C．①③

D．①②③

【分析】由等腰三角形的性质可判断①，由等边三角形的性质可判断②，由ASA可证△ADF≌△DBE，可得S△ADF＝S△DBE，即可判断③． 【解答】解：如图1，∵AB＝AC，点D是BC中点， ∴BD＝CD，AD垂直平分BC，

∴S△BDN＝S△DCN，S△BMN＝S△MNC，S△BFM＝S△CFM，S△EFB＝S△EFC，S△AEB＝S△AEC， ∴阴影部分面积为S；

如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，且AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB， ∴AD垂直平分BC，BE垂直平分AC，CF垂直平分AB， ∴S△BDO＝S△CDO，S△AEO＝S△CEO，S△AFO＝S△BFO， ∴阴影部分面积为S； 如图3，连接AD，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC中点， ∴AD＝BD，∠B＝∠DAC＝45°，AD⊥BC，

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∴∠ADM+∠BDM＝90°，且∠MDA+∠ADN＝90°， ∴∠BDM＝∠ADN，且AD＝BD，∠B＝∠DAC＝45°， ∴△ADF≌△DBE（ASA） ∴S△ADF＝S△DBE， ∴阴影部分面积为S； 故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

9．（4分）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝ 130 °．

【分析】根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质得出∠D＝∠B，代入求出即可．

【解答】解：在△ADC和△ABC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠D＝∠B， ∵∠B＝130°， ∴∠D＝130°， 故答案为：130．

10．（4分）若等腰三角形的一个底角为70°，则此等腰三角形的顶角为 40° ． 【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其顶角的度数． 【解答】解：∵等腰三角形的一个底角为70°， ∴顶角＝180°﹣（70°×2）＝40°， 故答案为40°

11．（4分）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则CD＝ 2.4 ．

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【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由三角形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝∴CD＝

＝5， ＝2.4．

故答案为：2.4．

12．（4分）将一个矩形纸片沿BC折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝27°，则∠ACD的度数为 126° ．

【分析】根据平行线的性质可得∠ABC＝∠1＝27°，根据折叠可得∠2＝27°，然后再算∠ACD

的度数即可．

【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠1＝27°， 由折叠得：∠1＝∠2＝27°，

∴∠ACD＝180°﹣27°﹣27°＝126°， 故答案为：126°．

13．（4分）如图，等边△ABC中，D，E分别是AB、BC边上的一点，且AE＝BD，则∠DPC＝ 60 °．

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【分析】由等边三角形的性质可得出∠CAE＝∠ABD＝60°，AC＝BA，进而可得出△ACE≌△BAD（SAS），根据全等三角形的性质即可得出∠ACE＝∠BAD，再根据三角形外角的性质结合角的计算即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠CAE＝∠ABD＝60°，AC＝BA． 在△ACE和△BAD中，

，

∴△ACE≌△BAD（SAS）， ∴∠ACE＝∠BAD．

∵∠DPC＝∠CAP+ACP，∠BAD+∠CAP＝∠ACP+∠CAP＝60°， ∴∠DPC＝60°． 故答案为：60．

14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC与点G，连接CF，若AC＝3，CG＝2，则CF的长为

．

【分析】利用三角形中位线定理求出FG，再利用勾股定理求出CF即可． 【解答】解：由作图可知，DE垂直平分线段BC，

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∴CG＝GB＝2，FG⊥CB， ∴∠FGB＝∠ACB＝90°， ∴FG∥AC， ∵CG＝GB， ∴AF＝FB， ∴FG＝AC＝， ∵∠FGC＝90°， ∴CF＝故答案为．

15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，三条角平分线相交于点P，则点P到AB的距离为 2 ．

＝

＝，

【分析】利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到三边的距离相等，设为h，然后根据△ABC的面积列出方程求解即可．

【解答】解：∵AB2+BC2＝52+122＝169＝AC2， ∴△ABC是直角三角形， ∵三条角平分线交于点P， ∴点P到三边的距离相等，设为h， 则S△ABC＝×（5+12+13）h＝×5×12， 解得h＝2，

即点P到AB的距离为2． 故答案为：2．

16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以AD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按

16 / 25

照此规律继续下去，则S2020的值为 2

﹣2017

．

【分析】根据题意可知第2个正方形的边长是

2

×2，则第3个正方形的边长是（

﹣

）

×2，…，进而可找出规律，第n个正方形的边长是（

）n1×2，那么易求S2020的

值．

【解答】解：根据题意：第一个正方形的边长为2； 第二个正方形的边长为：第三个正方形的边长为：（ …

第n个正方形的边长是（ 所以S2020的值是（ 故答案为2

﹣2017

×2； ）2×2，

）n1×2，

﹣﹣2017

）2017即2

．

．

三、解答题（本大题共9小题，共计84分）

17．（8分）如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，求证AB＝AC．

【分析】根据AD平分∠EAC，可以得到∠1＝∠2，再根据AD∥BC，可以得到∠1＝∠B，∠2＝∠C，从而可以得到∠B＝∠C，然后即可得到结论成立． 【解答】证明：∵AD平分∠EAC， ∴∠1＝∠2， ∵AD∥BC，

∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，

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∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC．

18．（8分）已知：如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，且MS＝PS．求证：△MNS≌△SQP．

【分析】首先求出∠M＝∠PSQ，进而利用AAS证明△MNS≌△SQP． 【解答】解：∵MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN， ∴∠M+∠MSN＝∠MSN+∠PSQ， ∴∠M＝∠PSQ； 在△MNS与△SQP中，

，

∴△MNS≌△SQP（AAS）．

19．（12分）点A、B、C都在方格纸的格点上：

（1）请在图①中再画出一个格点D，使与△ACD≌△CAB；

（2）请在图②中再画出一个格点E，使△ABE为等腰三角形（画出所有正确答案）．

18 / 25

【分析】（1）根据全等三角形的性质画出图形即可． （2）根据等腰三角形的判定画出图形即可． 【解答】解：（1）如图，△ACD即为所求． （2）如图，△ABE，△ABE′即为所求．

20．（10分）国庆节期间小红外出游玩时看了鲜花拼成的“71”字样以及“7”内部的两个花坛M、N，抽象为数学图形具体位置如图所示，请用尺规作图帮小红找一处观赏位置P，满足观赏点P到AB和BC的距离相等，并且观赏点P到点M、N的距离也相等．（保留作图痕迹，并写出结论）结论为： 点P 即为所求作的点．

【分析】作线段MN的垂直平分线EF，作∠ABC的角平分线BM，射线BM交直线EF于点P，点P即为所求．

【解答】解：如图，点P即为所求．

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故答案为：点P．

21．（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整： 证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线与点F，

则四边形DFCE为长方形，所以DF＝EC＝ b﹣a ．（用含字母的代数式表示） 因为S四边形ABCD＝S△ACD+ S△ABC ＝ S四边形ABCD＝S△ADB+ S△DCB ＝所以

； +

； ；

所以 a2+b2＝c2 ．

【分析】根据面积公式和勾股定理的证明解答即可．

【解答】证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线与点F， 则四边形DFCE为长方形，所以DF＝EC＝b﹣a．（用含字母的代数式表示） 因为S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝S四边形ABCD＝S△ADB+S△DCB＝所以

； 20 / 25 +

； ；

所以a2+b2＝c2． 故答案为：b﹣a；S△ABC；

；S△DCB；

；

；

；a2+b2＝c2．

22．（8分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE． （1）求证：点D在BE的垂直平分线上； （2）若∠ABE＝20°，请求出∠BEC的度数．

【分析】（1）连接DE，根据垂直的定义得到∠ADC＝∠BDC＝90°，根据直角三角形的性质得到DE＝CE，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接DE， ∵CD是AB边上的高， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵BE是AC边上的中线， ∴AE＝CE， ∴DE＝CE， ∵BD＝CE， ∴BD＝DE，

∴点D在BE的垂直平分线上； （2）解：∵DE＝AE， ∴∠A＝∠ADE，

∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB， ∵BD＝DE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE， ∵∠BEC＝∠A+∠ABE， ∴∠BEC＝3∠ABE，

21 / 25

∵∠ABE＝20°， ∴∠BEC＝60°．

23．（8分）如图是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，△ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10，在旋转过程中；

（1）当A、D、M三点在同一直线上时，求AM的长；

（2）当A、D、M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM2的值．

【分析】（1）分两种情形分别求解即可．

（2）显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2＝AD2﹣DM2，计算即可，当∠ADM＝90°时，根据AM2＝AD2+DM2，计算即可． 【解答】解：（1）AM＝AD+DM＝40，或AM＝AD﹣DM＝20． （2）显然∠MAD不能为直角．

当∠AMD为直角时，AM2＝AD2﹣DM2＝302﹣102＝800， ∴AM＝20

或﹣20

（舍弃）．

当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2+DM2＝302+102＝1000， ∴AM＝10

或﹣10

（舍弃）．

或10

．

综上所述，满足条件的AM的值为20

24．（8分）如图，把正方形纸片ABCD对折后再展开，折痕为EF，然后将点A翻折到EF上的点M处，折痕为BN，最后沿MC折叠，得△BMC，请你证明△BMC是等边三角形．

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【分析】由正方形的性质得出AB＝BC，由折叠的性质得出EF垂直平分BC，CM＝BM，BM＝BA，则可得出△CBM是等边三角形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，

∵正方形纸片ABCD对折后再展开，折痕为EF， ∴EF垂直平分BC， ∴CM＝BM，

∵将点A翻折到EF上的点M处，折痕为BN， ∴AB＝MB， ∴BM＝BC， ∴BM＝BC＝CM， ∴△BMC是等边三角形．

25．（14分）如图，△ABC是等边三角形，AC＝2，点C关于AB对称的点为C′，点P是直点

线

C

′

B

上

的

一

个

动．

（1）若点P是线段C′B上任意一点（不与点C′，点B重合）

①如图1，作∠PAE＝60°交BC于点E，AP与AE相等吗？请证明你的结论； ②如图2，连接AP，作∠APD＝60°交射线BC于点D，PD与PA相等吗？请证明你的

23 / 25

结论．

（2）若点P在线段C′B的延长线上．

①连接AP，作∠APD＝60°交射线BC于点D，依题意补全图3； ②直接写出线段BD、AB、BP之间的数量关系．

【分析】（1）①由“ASA”可证△PAB≌△EAC，可得AP＝AE； ②由“ASA”可证△PBD≌△PEA，可得PD＝PA； （2）①根据要求画出图形即可解决问题；

②结论：BD＝BP+AB．如图3中，在BD上取一点E，使得BE＝PB．由“SAS”可证△BPA≌△EPD，可得AB＝DE，可得结论． 【解答】解：（1）①AP＝AE， 理由如下：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°＝∠BAC，AB＝AC， ∵点C'与点C关于AB对称， ∴∠C'BA＝∠CBA＝60°， ∵∠PAE＝∠BAC＝60°， ∴∠PAB＝∠EAC， ∴△PAB≌△EAC（ASA）， ∴AP＝AE； ②PD＝PA，

理由如下：如图2中，作∠BPE＝60°交AB于点E，

∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，

∵点C'与点C关于AB对称， ∴∠C'BA＝∠CBA＝60°＝∠BPE，

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∴∠PEB＝60°． ∴△PBE是等边三角形，

∴PB＝PE，AEP＝120°＝∠PBD．

∵∠BPD+∠DPE＝60°，∠APE+∠DPE＝60°， ∴∠BPD＝∠APE， 在△PBD和△PEA中，

，

∴△PBD≌△PEA（ASA）． ∴PD＝PA；

（2）①解：补全图形，如图3所示：

②解：结论：BD＝BP+AB，

理由：如图3中，在BD上取一点E，使得BE＝PB． ∵∠EBP＝60°，BE＝BP， ∴△EBP是等边三角形， ∴∠BPE＝∠APD＝60°， ∴∠APB＝∠EPD， ∵PB＝PE，PA＝PD， ∴△BPA≌△EPD（SAS）， ∴AB＝DE，

∴BD＝BE+ED＝BP+AB．

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