河南省郑州市二七区第四初级中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(含答案解析)

B．27.523107

）B．a2a4a8D．(ab)3ab3

））D．2.7523108

C．2.7523109

3．下列各式的变形中，正确的是（A．aa2a2

C．(xy)(xy)x2y24．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A．B．C．5．下列调查中，适合用普查方式的是（A．检测100只抗原的质量情况）D．B．了解某班学生对“二七区防心冠知识”的知晓率C．了解全郑州市学生观看“开学第一课”的情况D．了解在二七区外来务工人员月收入情况6．为加快环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设现在平均每天植树x棵，则列出的方程为(A．400300xx30)C．400300x30xB．400300

x30xD．400300xx307．已知x1是关于x的方程x2(m4)x4m0的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰ABC的两条边长，则ABC的周长为（A．9B．10）D．8或10C．6或10试卷第1页，共6页8．《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒二瓶醉五客，薄酒三瓶醉二人，共同饮了一十六，三十四客醉颜生，试问高明能算士，几多酵酒几多醇？”这首诗是说，好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果34位客人醉倒了，他们总共饮下16瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶．依题意，可列方程组为（）xy16

B．2

2.5xy343xy16D．3

2.5xy342

xy16

A．22

xy3435xy16C．1

3xy343

9．如图，在矩形ABCD中，点F是CD上一点，连接BF，然后沿着BF将矩形对折，使点C恰好落在AD边上的E处．若AE:ED4:1，则tanEBF的值为（）A．4B．3C．1

3D．310．抛物线yax2bxc(a0)大致如图，顶点坐标为2,9a．下列结论，①2abc0；②9abc0；③方程ax2bxc0两根的和为4，④当a

2方程axbxc1的所有实数根的和为8，其中正确的有（1

时，9）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题试卷第2页，共6页11．代数式x2有意义，则x的取值范围是________________．x212．把9(2m3)2因式分解为________________．当m________时，一元二次方程x24xm0（m为常数）有两个相等的实数根．13．14．如图，在ABC中，BF平分ABC，AFBF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB8，BC10，则线段EF的长为_____________．15．如图，在矩形ABCD中，AB12，BC18，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的D¢处，当△APD是等腰三角形时，AP________．三、解答题1

16．计算：3tan302713．3

2

1x21

17．先化简：1，再从不等式2x16的负整数中选一个适当的2x2x4x4数代入求值．18．垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染，美化家园，甚至能够变废为宝，节约能源，为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某集团校组织全体学生参加了“垃圾分类知识竞赛”．该校数学兴趣小组为了解全集团学生竞赛分数情况，现从该集团校七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛分数（90分及以上为“优秀”，60分以上为“及格”，学生竞赛分数记为x分）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．七年级20名学生的竞赛成绩：70，83，99，88，81，83，78，94，90，99，97，，86，86，99，59，81，90，84，85．八年级20名学生的竞赛成绩条形统计图如图：A：x60；B：60x70；C：70x80；D：80x90；E：90x100．D组的数据为：81，82，83，84，86，88，88，88．试卷第3页，共6页七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：年级七年级八年级平均数8686中位数86a众数b88优秀率35%c(1)直接写出上述表中的a，b，c的值；(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)该集团校七、八年级共6000名学生参加了此次测试活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？19．如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B．已知AB∥MN，在A点测得MAB60，在B点测得MBA45，AB800米．(1)求点M到AB的距离；（结果保留根号）(2)在B点又测得NBA53，求MN的长．（结果精确到1米）（参考数据：31.732，sin534/5，cos533/5，tan534/3．）20．某商店试销一款进价为60元/件的新童装，并与供货商约定，试销期间利润不高于25%，同一周内售价不变．从试销记录看到，单价定为62元，这周销售了76件；单价定为70元，这周销售了60件．每周销量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关试卷第4页，共6页系．(1)求每周销量y（件）与销售单价x（元）之间的关系式．(2)商店将童装售价定为多少时，这周内销售童装获得毛利最大，最大毛利W是多少元？21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y13x的图象与反比例函数y2

k

的图象交于A(1,n)，B两点．x(1)求出反比例函数的解析式及点B的坐标；(2)观察图象，请直接写出满足y1y2的x的取值范围；若POB的面积为2，求点P的横坐标．(3)点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，22．如图1，已知抛物线yax2bx6与轴交于点A(2,0)和点B，与y轴交于点C，ABC=45．(1)求抛物线的解析式．(2)如图2，点E为第二象限抛物线上一动点，EFx轴与BC交于F，求EF的最大值，并说明此时BCE的面积是否最大．(3)已知点D(3,10)，E(2,10)，连接DE．若抛物线yax2bx6向上平移k（k0）个单位长度时，与线段DE只有一个公共点，请求出k的取值范围．23．阅读材料如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．试卷第5页，共6页(1)类比迁移如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．①请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；②若AB＝4，CF

1

CD请直接写出CF的长．2试卷第6页，共6页参：1．A【分析】根据实数的性质进行化简即可比较大小．【详解】解：2=2，(2)22，(2)2，201，根据实数比较大小的方法，可得2122，故最小的数是2．故选：A．【点睛】此题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟知实数的性质．2．D【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1a10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数．【详解】解：2亿7523万2.7523108，故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1a10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．C【分析】根据同底数幂乘法法则，合并同类项法则，平方差公式，积的乘方计算法则依次计算并判断即可．【详解】解：aa2a3，故选项A错误，不符合题意；a2与a4不是同类项，不能合并，故选项B错误，不符合题意；(xy)(xy)x2y2，故选项C正确，符合题意；(ab)3a3b3，故选项D错误，不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了正确的计算法则，正确掌握整式的乘法法则，合并同类项法则，平方差公式，积的乘方计算法则是解题的关键．4．B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．答案第1页，共19页【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．5．B【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似逐项分析即可得解．【详解】解∶A、检测100只抗原的质量情况，调查具有破坏性适合抽样调查，故A不符合题意；B、了解某班学生对“二七区防心冠知识”的知晓率，调查范围小适合普查方式，故B符合题意；C、了解全郑州市学生观看“开学第一课”的情况，调查范围广适合抽样调查，故C不符合题意；D、了解在二七区外来务工人员月收入情况，调查范围广适合抽样调查，故D不符合题意；故选∶B．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6．A【详解】解：设现在平均每天植树x棵，根据现在植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间相同列方程得：400300

xx30故选A．【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，一般步骤：①审题；②设未知数；③找出能够表示题目全部含x的相等关系，列出分式方程；④解分式方程；⑤验根；⑥写出答案．答案第2页，共19页7．A【分析】把x1代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【详解】把x1代入方程得1m44m0，解得m1，则原方程为x25x40，解得x11，x24，因为这个方程的两个根恰好是等腰ABC的两条边长，①当ABC的腰为4，底边为1时，则ABC的周长为4419；②当△ABC的腰为1，底边为4时，不能构成三角形．综上所述，该ABC的周长为9．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，三角形三边的关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．8．B【分析】直接利用“好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果34位客人醉倒了，他们总共饮下16瓶酒．”，分别得出等式求出答案．【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为：xy16

．2y

2.5x343

故选：B．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．9．C【分析】由四边形ABCD是矩形，可得ADBC，ABDC，由AE:ED4:1，可得AD:AE:ED5:4:1，设EDx，ADCB5x，AE4x，由沿着BF将矩形对折，可得BEBC5x，EFCF，在Rt△ABE中，由勾股定理ABBE2AE23x，可得CDAB3x，设FEm，DF3xm，在Rt△DEF中，由勾股定理DE2DF2EF2，即EF152．x23xmm2，解得mx，可求tanEBF

BE33答案第3页，共19页【详解】解：∵由四边形ABCD是矩形，∴ADBC，ABDC，∵AE:ED4:1，∴AD:AE:ED5:4:1，设EDx，ADCB5x，AE4x，∵沿着BF将矩形对折，∴BEBC5x，EFCF，在Rt△ABE中，由勾股定理ABBE2AE2∴CDAB3x，设FEm，DF3xm，52在Rt△DEF中，由勾股定理DE2DF2EF2，即x23xmm2，解得mx，3

5x4x223x，∴tanEBF故选择：C．EF1

．BE3【点睛】本题考查矩形性质，轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握矩形性质，轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键．10．B【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标（-2，-9a），b4acb2∴2,9a，2a4a∴b=4a，c=-5a，∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax-5a，∴2abc2a4a5aa0，故①错误，∴9abc9a4a5a0故②正确；∵抛物线y=ax2+bx+c=ax2+4ax-5a，当y=0时，ax2+4ax-5a=0，∴方程ax2+bx+c=0的两个根和为：如图，当a

4a

4，故结论③正确；a12时，直线y=1与yaxbxc的图象有3个交点，9答案第4页，共19页2∴方程axbxc1的所有实数根的和为

4a

(2)426，a当a

122时，直线y=1与yaxbxc的图象有2个交点，此时方程axbxc1的所有94a

4，a实数根的和为

122∴当a＞时，直线y=1与yaxbxc的图象有4个交点，此时方程方程axbxc1

9的所有实数根的和为-4-4=-8，故④错误；所以正确的结论有2个，故选：B【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．11．x2且x2

【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案．【详解】由题意，得x20且x20，解得x2且x2，故答案为x2且x2．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键．12．4m3m【分析】根据平方差公式分解因式即可．【详解】解：92m332m332m34m3m，故答案为：4m3m．22【点睛】此题考查了利用平方差公式分解因式：ababab，熟记公式是解题的2答案第5页，共19页关键．13．4

【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根得到∆0，计算即可．【详解】解：∵一元二次方程x24xm0（m为常数）有两个相等的实数根，∴∆0，即44m0，解得m4，故答案为：4．【点睛】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键．14．1

【分析】根据直角三角形斜边中线性质得到ADBDDF

1

AB4，结合角平分线推出21

BC5即22DFBCBF，得到DE∥BC，进而证得DE是ABC的中位线，求出DE

可．【详解】解：∵BF平分ABC，∴ABFCBF，∵AFBF于点F，D为AB的中点，∴ADBDDF∴ABFDFB，∴DFBCBF，∴DE∥BC，∵D为AB的中点，∴DE是ABC的中位线，∴DE

1

BC5，21

AB4，2∴EFDEDF541，故答案为：1．【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的应用，正确理解直角三角形斜边中线的性质及三角形中位线性质定理是解题的关键．答案第6页，共19页15．9或90365或10811【分析】分三种情形：如图1中，当PAPD'时，如图2中，当APAD时，如图3中，当DADP时，分别求解即可．【详解】解：如图1中，当PAPD时，由翻折的性质可知，PDPD，∴PAPDPD9；如图2中，当APAD时，作DHAD于点H，设APx，则PDPD18x，∵BC18，E是BC的中点，∴BE9，在矩形ABCD中，AB12，ÐB=90°，∴AEAB2BE21229215，∵AD∥BC，∴HADAEB，∴AHD∽EBA∴∴AHHDAD

，BEABAEAHHDx

，9121534

x,HDx，55解得AH

32

∴PHxxx，55在RtPHD中，PH2HD2PD2,答案第7页，共19页224

∴xx18x，55

22

解得x90365或x90365（舍去）；如图3中，当DADP时，作DHAD于点H，设APx，则AHPH∵AHAD

，BEAEx

，PDPD18x，2x∴218x，915解得x

108

11综上，满足条件的AP的值为9或33810410或故答案为：9或90365或108

，11108．11【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．16．103【分析】先计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简二次根式以及去绝对值，再进行二次根式的混合运算即可．1

【详解】解：3tan3027133339333132

393331103．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式化简以及去绝对值是解答本题的关键．答案第8页，共19页17．x21

，x14【分析】先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然后约分化简，再求出不等式的解集，最后代入一个合适的数，即分式不为零的值，即可解题．1x21

【详解】解：12x2x4x4

x1x1x12x2x22

x2x1

x2x1x1x2

，x12x16

x

727

x的负整数解有：3，2，1，2x2,x1x3

原式



x2321

x131232311．4【点睛】本题考查分式的混合运算、分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式进行因式分解，解一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18．(1)85；99；30%；(2)七年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由见解析；(3)此次竞赛活动成绩优秀的学生有1950人．【分析】（1）八年级参与测试的学生有20人，按从低到高的顺序对20个人的成绩排序，a为第10名和第11名的平均成绩；b为七年级20人取得的成绩中出现次数最多的数字；c为八年级得分在90分及以上的人数所占的比例．答案第9页，共19页（2）可以从“优秀率”“得分在80分以上的人所占的比例”“众数”等方面进行比较，答案不唯一．（3）计算出七、八年级参加测试的学生中成绩优秀的学生占测试总人数的比例，乘以七、八年级学生总数即可．【详解】（1）解：按从低到高的顺序对八年级20个人的成绩排序，观察条形图和D组数据可知，第10名和第11名的成绩分别为84，86，故a

8486

85；2七年级20人中取得的成绩中出现次数最多的数字是99，故b99；观察条形图可知，八年级得分在90分及以上的有6人，故c故答案为：85；99；30%．（2）解：七年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由是：七年级的优秀率高于八年级的优秀率．（答案不唯一）（3）解：从调查数据可知，七年级成绩优秀的有7人，八年级成绩优秀的有6人，6000

76

1950（人），20206100%30%；20故参加此次竞赛活动成绩优秀的学生有1950人．【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解题本题的关键是读懂题意，从所给图表中找出关键信息．19．(1)点M到AB的距离为点M到AB的距离12004003m；(2)MN的长为127m．【分析】（1）过点M作MDAB于点D，易求AD的长，再由BDMD可得BD的长，即M到AB的距离；（2）过点N作NEAB于点E，易证四边形MDEN为平行四边形，所以ME的长可求出，再根据MNBDBE计算即可．【详解】（1）解：过点M作MDAB于点D，∵MDAB，∴MDAMDB90，∵MAB60，MBA45，∴在Rt△ADM中，MD

tanA3；AD答案第10页，共19页在RtBDM中，MD

tanMBD1，BD∴BDMD3AD，∵AB800m，∴ADBD800m，∴AD3AD800m，∴AD4003400m，∴BDMD12004003m，∴点M到AB的距离12004003m．（2）过点N作NEAB于点E，∵MDAB，NEAB，∴MD∥NE，∵AB∥MN，∴四边形MDEN为平行四边形，∴NEMD12004003，MNDE，∵NBA53，∴在RtNEB中，NE4

tan53，BE3∴BE(9003003)m，∴MNBDBE3001003127m．【点睛】考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题，根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案是解题的关键．20．(1)y2x200

答案第11页，共19页(2)商店将童装售价定为75元时，这周内销售童装获得毛利最大，最大毛利W是750元【分析】（1）设销量y(件)与销售单价x(元)之间的关系式为ykxb，利用待定系数法列方程组，即可得到结论；（2）设商店将童装售价定为x时，获得毛利为W，根据题意得到Wx602x2002x80800，根据二次函数的性质即可得到结论．2【详解】（1）解：设y与x之间的关系式为ykxb，62kb76，70kb60k2解得

b200

∴每周销量y（件）与销售单价x（元）之间的关系式是y2x200；（2）设商店将童装售价定为x时，获得毛利为W，根据题意得Wx602x2002x80800，2∵售价不高于60125%75元，且20，∴当x80时，W随x的增大而增大，∴当x75时，W有最大值，最大值为27580800750，∴商店将童装售价定为75元时，这周内销售童装获得毛利最大，最大毛利W是750元．【点睛】本题主要考查二次函数和一次雨数函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．3

3；21．(1)反比例函数的表达式为y2，B1，

x2(2)x1或1x0；(3)P点的横坐标为132．3k

，可得反比例函数xA1，3）A1，3）【分析】（1）把A(1,n)代入y13x，（，把（代入y2

3

的表达式为y2，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；x

（2）观察函数图象即可求解；答案第12页，共19页31313

S梯形MBPNSPOB2，，（3）设Pm，可得方程3m12或31m2，m2m2m

求得m的值，即可得到点P的横坐标．【详解】（1）解：把A(1,n)代入y13x，可得n3，A1，3）A1，3）∴（，把（代入y2

k

，可得k3，x3

∴反比例函数的表达式为y2，x

∵点B与点A关于原点对称，3．∴B1，

3，A1，3）（2）解：∵（，B1，

∴根据图像得，y1y2的取值范围是x1或1x0；3

，（3）解：作BMx轴于M，PNx轴于N，连接BP，设Pm，m

∵三角形OPN的面积三角形OBM的面积

3

，S梯形MBPNSPOB2，21313

∴3m12或31m2，2m2m

整理得，3m24m30或3m24m30，解得m1m3

132132，m4（舍去），33132

．3132132，m2（舍去），33∴P点的横坐标为【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．1222．(1)抛物线解析式为yx2x6；2答案第13页，共19页9(2) EF的最大值是，此时BCE的面积最大，理由见解析；2(3)5

k10或k2．2【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由EF

192m3，即可求解；22（3）先求出D(3,10)关于直线x2对称的点为D(1,10)，然后设平移后的抛物线为11

yx22x6k，进而分三类讨论即可得解，一是当yx22x6k与直线DE只221212有一个交点时，二是当yx2x6k过D(1,10)时，三是当yx2x6k过22E(2,10)时．【详解】（1）解∶∵抛物线yax2bx6与y轴交于C，6，∴C0，

∵ABC=45，∴OBOC6，0，∴点B6，

0，代入抛物线yax2bx6，得将A(2,0)，B6，4a2b60，36a6b601

a

2，解得b2

12∴抛物线解析式为yx2x6；2（2）解：设直线BC的解析式为ypxq，答案第14页，共19页6代入ypxq得，0，C0，把B6，6pq0



q6

p1∴，q6

∴直线BC的解析式为yx6．1

m22m6，设F(m，m6)，则Em，2

12∴EFm2m6m621

m23m

2

192m3，229当m3时，EF的最大值是，2设EF与AB交于M，则SBCESBEFSCEF

1111

EFBMEFOMEF(BMOM)EFOB3EF，2222∴此时BCE的面积最大．1212（3）解：∵抛物线解析式为yx2x6x28，228，∴抛物线的顶点为2，

∵抛物线yax2bx6向上平移k（k0）个单位长度时，与线段DE只有一个公共点，12∴平移后的抛物线为yx2x6k，2∵D(3,10)，1212当yx2x6k与直线DE只有一个交点时，令y10，得10x2x6k，2212化简得x2x4k0，、212∴b4ac444k2k40，2∴k2，1122

当yx2x6k过D(3,10)时，有103236k，22答案第15页，共19页解得k

5，21212当yx2x6k过E(2,10)时，有102226k，22解得k10，∴抛物线yax2bx6向上平移k（k0）个单位长度时，与线段DE只有一个公共点，请求出k的取值范围为5

k10或k2．2【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养以及二次函数与直线的交点．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．23．(1)见解析(2)①线段DF与AD的数量关系为：AD＝2DF，证明见解析；②CF的长为1或2【分析】（1）类比材料，运用倍长中线辅助线作法，证得结论．（2）①运用倍长中线辅助线作法，结合三角形全等证明及等边三角形性质，得出结论．②运用分类讨论思想，分别求出CF为△BDE的中位线和CF不是△BDE的中位线，两种情况下，CF的长．【详解】（1）（1）证明：如图，延长AD至M，使MD＝FD，连接MC，在△BDF和△CDM中，答案第16页，共19页BDCD

∵BDFCDM，DFDM

∴△BDF≌△CDM（SAS），∴MC＝BF，∠M＝∠BFM，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFM，∴∠M＝∠MAC，∴AC＝MC，∴AC＝BF；（2）（2）①解：线段DF与AD的数量关系为：AD＝2DF，证明如下：延长DF至点M，使DF＝FM，连接BM、AM，如图所示：∵点F为BE的中点，∴BF＝EF，在△BFM和△EFD中，BFEF∵BFMEFD，FMDF∴△BFM≌△EFD（SAS），∴BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，∴BM∥DE，∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，∴CD＝DE＝BM，∠BDE＝120°，∴∠MBD＝180°﹣120°＝60°，∵△ABC是等边三角形，答案第17页，共19页∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝60°+60°＝120°，∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABM＝∠ACD，在△ABM和△ACD中，ABAC

∵ABMACD，BMCD

∴△ABM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，∴∠MAD＝∠MAC+∠CAD＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，∴△AMD是等边三角形，∴AD＝DM＝2DF；②解：CF的长为1或2．当CF为△BDE的中位线时，CF

11

CDDE，221

CD＝2，2∴C为BD的中点，∴CD＝BC＝4，∴CF

如图，当CF不是△BDE的中位线时，连接CE，取BC的中点N，连接FN，过点D作DG⊥CE，过点G作GI⊥CD于点I，过点F作FH⊥BC于点H，∵△CDE为等腰三角形，∠CDE＝120°，∴∠DCE＝30°，∴DG∵CF

11

CD，CGCE，221

CD，2∴DG＝CF，∵N为BC的中点，F为BE的中点，答案第18页，共19页∴NF是△BCE的中位线，∴NF∥CE，NF

1

CE＝CG，2∴∠CNF＝∠DCE＝30°，∴HF

11

NF，GICG，22∴HF＝GI，NH＝CI，∵FC＝GD，∴Rt△FCH≌Rt△GDI（HL），∴CH＝DI，∴NH+CH＝CI+DI，即NC＝CD，∴CD＝2，即CF＝1，综上所述，CF的长为1或2．【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线作法，全等三角形的证明及中位线的性质，在倍长中线构造全等三角形的基础上，综合运用相关知识是解题的关键．答案第19页，共19页