拟“车-桥耦合系统”的动态近似分析法

第３６卷　第１期　２Ｏ１２年２月　武汉理工大学学报（交通科学与工程版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｗｕｈａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　（Ｔｒａｎｓｐ０ｒｔａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ）　Ｖｏｌ＿３６　Ｎｏ．１　Ｆｅｂ．２０１２　拟“车一桥耦合系统’’的动态近似分析法＊　叶贵如Ｄ　董可丽Ｄ　姚忠达　蒋吉清¨　（浙江大学土木工程系”　杭州　３１００５８）　（淡江大学建筑学系。　台北　１０６２０）　摘要：目前对于车体通过桥梁的动力响应问题，通常是将车辆子系统和桥梁结构耦合为一个系统，　同时进行分析．文中提出一种近似但具有足够精度的方法用以计算车一桥耦合系统的动力响应．将　车一桥耦合方程分解为两个部分，忽略作用在桥梁上的由移动车辆产生的惯性力项，只剩下移动力　项．计算出桥梁在移动力作用下的响应，并把此响应作为车体动力响应的激励源反馈给车体，从而　计算出车体的响应．从数值计算的角度，采用ＭＡＴＬＡＢ编程并与车桥耦合系统精确的数值解作对　比，验证了轻车过重桥情况下本文方法的可行性．通过分析表明，此方法能避免车一桥耦合系统计算　时的庞大运算．　关键词：车一桥耦合系统；近似分析法；动力反馈；数值计算　中图法分类号：ＴＵ４１１　ＤＯＩ：１０．３９６３／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６—２８２３．２０１２．０１．００３　０　引　言　响应［７　；（３）浓缩型车一桥模式．利用结构矩阵浓　缩原理，将车体响应的自由度浓缩至桥梁自由度．　高铁时代的来临，使得车辆与结构动力相互　作用的研究愈显重要．由于高速列车行驶速度快，　加上对舒适性及车辆操控性均有一套严格的规　此法优点是结构系统维度不变，易于有限元　程序处理，使得计算效率大为提高，但遇到复杂车　体，即不易处理　．　综合以上各种方法，本文将提出一套简化的　定，因此，车体响应常常是高铁运营中的一项重要　指标．高铁桥梁在设计上异于一般的公路或铁道　桥梁，其对结构安全性的要求也更加严格．目前，　已有学者对车辆与桥梁动力相互作用的课题进行　了研究＿１　］．其中，所采用的理论方法大致可归为　如下三类：（１）车一桥全模式．此法是将车与桥统　车一桥耦合近似分析方法，其着眼点在于车辆质量　远小于桥梁质量时，在这种情况下，车辆通过桥梁　的激励力可视为移动力［１　．此时可预测桥梁在　行车作用下的响应，并将这一响应信息作为激励　车体响应的力源，这种作法不但简便而且符合工　程分析的精度要求．文中将首先简述简支梁承受　单一车体的振动情况，由此观察车与桥的激励力　形式，进而将车一桥耦合系统分离成独立单元进行　个别分析，对于处于分离状态的车～桥系统，本文　将以拟车一桥耦合系统（ｑｕａｓｉ　ｖｅｈｉｃｌｅ—ｂｒｉｄｇｅ　ｉｎｔｅｒ—　ａｃｔｉｏｎ　ｓｙｓｔｅｍ，ｑｕａｓｉ—ＶＢＩ　ｓｙｓｔｅｍ）称之．为说明本　合为一耦合系统进行全域分析，推导运动方程式，　编制计算机分析程序，然后按各种参数进行计算，　从而得到车辆与结构的动力响应．缺点是费时，系　统矩阵庞大＿５　；（２）迭代型车一桥分离模式．此方　法将车与桥视为独立个体，采用模态叠加法求解　桥梁动力响应．如Ｇｒｅｅｎ和Ｃｅｂｏｎ提出了在频域　内求解分离的车桥系统方程的新方法，他们利用　模态脉冲响应函数与模态激扰力，采用模态叠加　法并结合ＦＦＴ和ＩＦＦＴ技术来求解桥梁的动力　收稿日期：２０１１－１０—０３　文方法的可行性，将通过数值算例，对近似方法和　车一桥耦合系统的分析结果进行比对．从验证例题　可以看出，在轻车过重桥的情况下，本文的方法是　叶贵如（１９５８一）：男，博士，教授，主要研究领域为桥梁结构分析、振动与信号分析　国家自然科学基金项目（批准号：１０９７２１９６）、国家科技支撑计划项目（批准号：２００９ＢＡＧ１２Ａ０１一Ａ０３—２）、国家基础研究发展　计划项目（批准号：２（）（】９ＣＢ６２３２Ｏ４）资助　・　１２　・　武汉理工大学学报（交通科学与工程版）　２０１２年第３６卷　可行的，可为实际工程的分析模式提供参考．　１　车一桥耦合系统的简化与分解　１．１　车桥耦合方程的简化与分解　图１为一悬吊质量系统通过简支梁的示意图．　图１　简支梁承受移动悬吊质量系统不意图　根据经典梁理论，梁一质量系统的耦合方程可　以写成　删ｂ＋　ｂ＋ＥＩｕ｝　’一ｆｃ（　）ｒＹ（ｘ一　ｔ）　（１）　ｑ　＋ｃｖｑ　－－４忌　ｑ　一ＣｖＵｂ（　，　）－－４　志　Ｅｕｂ（　ｔ，￡）－－４ｒ（ｖｔ）］　（２）　ｆｃ（ｆ）一Ｐ０一ｍ　ｑ　一ｍ　“（　ｔ，　）　户ｏ＝＝＝（ｍ　－－４ｍ　）ｇ　（３）　式中：ｍ为梁的线质量；　为梁的竖向位移；Ｃ为　梁的阻尼系数；ＥＩ为梁的弯曲刚度；　和ｍ　分　别为车体和轮子的质量　和忌　分别为悬吊质量　系统的阻尼和弹簧刚度；　为悬吊质量系统在梁　上的移动速度；ｒ（ｖｔ）为路面不平整度．　上标（４）表示变量关于空间ｚ的４次导数．　Ｙａｎｇｌ】　等指出，当车体质量远小于桥梁质量时，　式（３）中的悬吊质量及移动车轮质量ｍ　的惯性　项可以忽略，此时原本相互耦合的车一桥控制方程　（１）及（２）即可分离成２个相互独立的运动式，桥　梁的动力行为只受到移动力Ｐ。的作用，即ｆｃ（　）　一Ｐ。，这就是传统的移动力作用在梁上的动力问　题，移动悬吊质量系统则受到来自底部梁振动响　应的激励见式（２）．　１．２本文假设　对于所分析的车一桥系统，作以下假设：（１）　桥梁构造视为一单跨简支梁，其断面均匀并符合　Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ—Ｅｕｌｅｒ梁假定；（２）桥上只考虑单一车　辆，此车辆用一悬吊质量系统（ｓｐｒｕｎｇ　ｍａｓｓ）来简　化；（３）车体质量远小于桥梁质量，故车体惯性效　应可忽略，而车子对梁的作用可等效为移动力；　（４）桥梁阻尼为线性阻尼，即阻尼力与桥梁的运　动速度成正比；（５）当车子未进入桥梁时，桥梁呈　静止状态（即零初始条件）．　根据以上假设，当车体质量远小于桥梁质量，　其垂直加速度受到严格的限制（如高铁、磁悬浮运　输），若在计算上可以达到符合工程实际的精度，　那么此法不失为一简捷有效的计算桥梁与车体响　应的方法．基于此观点，本文拟将理论解析与数值　计算相结合，并配合车一桥耦合理论来评估本法在　实际应用上的可行性．文中将分别考虑无阻尼系　统和有阻尼系统等不同情况，并分别考虑桥面不　平整度以及车一桥质量比等不同因素的影响，分析　车一桥动力响应以验证本文方法．　２　理论解析　根据图１及式（１）～（３），当桥梁形式为简支　梁时，梁的竖向变形可假设为　Ｕｂ（ｚ，￡）一∑ｑ　（ｔ）ｓｉｎ罕　式中：ｑ　（ｆ）为梁变形的广义位移．针对式（１），可　利用Ｇａｌｅｒｋｉｎ　Ｓ法，将该式离散成广义运动方程　式．即将式（１）的每一项乘以第　个振型函数　ｓｉｎ（ｎｒｒｘ／１），沿梁的全长积分　Ｊｆ　０　『Ｉ　ｍ∑弓　ｎ　＋　∑　竽）‘　　Ｘ　ｓｉ’　ｎ　丁十　＋一Ｃ２＿Ｊｑｎｓｉ。　ｎ　丁ｌ］בｘ　ｓｉ　ｎ　ｄ～一　ｄｘｘ一　ｌ‘ｆｃ（　）　（　—ｖｔ）ｓｉｎ　ｄｚ　考虑到正弦函数的正交性，并将式（３）代入，　上式可化简为　＋　ｗ　（ｓｉｎ　×ｓｉｎ　）　－－４　面　－４－抛　一　ｓｉｎ丁ｒ￣ｒｖｔ（４）　此式即为第　阶振型的广义坐标运动方程．其中　一（ｎ，ｘ／１）。￣／—ＥＩ／—ｍ为简支梁第　阶振型自然　频率．　将式（２）及式（４）重新整理得　＋孚　（ｓｉｎ　Ｘ　ｓｉｎ　）　｛　面　ｌ　＋　一　ｉｎ　Ｉｍ　－４－ｃｖｑ　－－４ｋｖｑ　一［ｆ　ｂ（　，￡）－－４五　（　ｂ－４－ｒ）］　一　（５）　观察式（５）可知，梁运动方程式所受激励力有　２种：①悬吊质量系统自重；②悬吊质量的惯性　力．至于悬吊质量系统的激励力源则与此悬吊质　量所在位置梁的位移　（ｖｔ，￡）、速度　（ｖｔ，ｆ）及路　面不平整度ｒ（ｖｔ）有关．这说明悬吊质量系统通过　桥梁的振动行为会使该系统产生响应，此时原本　第１期　叶贵如，等：拟“车一桥耦合系统”的动态近似分析法　・　１３　・　互为独立的梁广义运动方程式呈现耦合现象，而　且此耦合系统所形成的结构矩阵方程式为非对称　‰（　，　）一∑　）ｓｉｎ丁ｒｔｒｒｖｔ　ｕｂ（　￡，￡）一∑毒　（ｔ）ｓｉｎ＿ｎｎｖｔ　一　（８ａ）　（８ｂ）　矩阵，更增加数值计算过程中在程序编写及电脑　求解时的繁杂度．面对此一课题，本文拟从工程近　似的角度切入，以能计算得到合理的车一桥耦合系　统响应为目标．根据Ｙａｎｇ＿１　等对于轻质量移动　悬吊系统通过简支梁的解析结果显示，在式（５）的　梁广义运动式中，悬吊质量的惯性力对桥梁反应　影响不大，即可不考虑悬吊质量系统及移动车轮　有了梁的位移及速度（　，　）ｚ＝ｖｔ，接下来　即可将梁的响应视为悬吊质量系统的激励力，由　式（２）来计算悬吊质量系统的反应．由于解析式中　激励力项（最　＋ｆ　ｕ　）ｚ—ｖｔ相当庞大，因此，在　动力响应计算上，本文将辅以Ｎｅｗｍａｒｋ差分　质量ｍ　的惯性加速度对梁振动影响，此时，桥梁　的动力方程可以进一步近似为　法口朝的数值运算来分别计算此耦合系统．在此强　调的是，基于轻车过重桥的工程近似，不但符合工　程计算分析的系统简化需求，对于计算结果也能　符合工程设计的要求，那么本文所提的工程近似　分析方法，不失为一种简洁有效的车桥耦合动力　仿真计算方法．　＋面　＋ｒｎｍ￣ｑ　一竽ｓｉｎ—ｎｚｒ广ｖｔ　（６）　由上式，并考虑桥梁初始状态为静态，即ｇ　（０）一　（Ｏ）一０，配合Ｄｕｈａｍｅｌ积分运算，可以求得广　义坐标函数ｑ　（　）为　２ｐ０１。　×　３　例题验证　为了验证本文建议的车一桥耦合计算法的可　ｆ（１一￥２￣）ｓｉｎ丁ｒ￣ｒｖｔ一２ｒｋＳ　ＣＯＳ　丝＋（ｅ＿　）×　【　行性，本验证例题的结果将与式（５）的车一桥耦合　完整的数值解作比对．另外本文将对无阻尼系统　和有阻尼系统等不同情况，桥面不平整度（朱光汉　等人研究了车轮和轨道不平顺对桥梁的冲击作　［－ｚｒｂＳ　ｃ。ｓ　幽　＋　星望　√ｌ一　ｓｉｎ　幽　］＼　Ｊ　（７）　式中：　一ｃ／２ｍｏｏ　；∞　一、／／１一　２∞　；Ｓ　一　用，总结对比了各种不平顺因素对桥梁冲击系数　的影响，结果表明，在诸因素中，轨道不平顺的影　响起决定作用口　．鉴于此种考虑，本文讨论桥面　不平整度的影响并采用淡江大学姚忠达教授提出　ｒａｒｖ／￣ｏ　ｚ．ｓ　即称为无因次速度参数，其物理意义　为当车子等速通过桥梁时，车子对桥梁的作用力　驱动频率（ｒｎｒｖ／１）与桥梁的第　个自振频率∞　之　比值．通常在常速状况Ｓ　均小于１．从以上的解析　的不平整度仿真数值进行计算．）以及车一桥质量　比等不同因素的变化分别进行探讨．计算模型见　图１，材料参数和几何参数等见表１．　结果，在悬吊质量移动到ｚ—Ｖｔ的位置时，位在悬　吊质量底下梁的反应可以写为　表１桥梁与悬吊质量系统的计算参数　注：本分析桥’桀模态取前２Ｏ阶．　３．１动力响应及幅值　耦合简化计算模型具有工程合理性．接下来，再考　Ｏ．４　当不考虑路面不平整度（ｒ（ｖｔ）一０）及车一桥　阻尼（ｃ—ｃ　一０）时，若悬吊质量系统以车速２９２　ｋｍ／ｈ匀速通过平滑桥梁，此时，梁中点的加速度　动力响应见图２；悬吊质量的响应见图３．从图中　０．２　Ｏ　可知，本文建议的近似分析方法的结果与考虑车一　桥耦合的耦合系统的响应极为相近，这也说明本　文的简化计算是合理的．另外，当考虑不同的车体　移动速度时，悬吊质量与梁中点的最大加速度响　应可见图４～５．从图中可知，本文建议的拟车桥　—Ｏ．２　Ｏ　０　０５　０．１０　０１５　０．２Ｏ　０．２５　０．３０　０　３５　０．４０　ｔ／ｓ　图２梁中点的加速度响应　・　１４　・　Ｏ．Ｏ８　武汉理工大学学报（交通科学与工程版）　２０１２年第３６卷　３．２车一桥质量比效应　一　．∞．Ⅲ一＼越幽景　０．Ｏ４　为验证本文建议方法的可行性，在固定车频　一　∞＿山一＼　景　堪　一　＼越　器　瞄　０　４　Ｏ　２　及阻尼比的情况下，即∞　一￣／　一７．７５和＆　Ｏ　８　６　１　Ｏ　Ｏ　Ｏ　０　０．０５　０１０　０．１５　０．２０　Ｏ　２５　Ｏ　３０　Ｏ　３５　０．４０　ｔｌｓ　图３悬吊质量的加速度响应　虑表１的车一桥阻尼及图６中轨道不平整度的情　况，并考虑阻尼的影响．结果显示，本文建议的拟　车一桥耦合系统的动态近似分析法是可行的．由图　４可知，因为不平整度的影响，使得有阻尼的悬吊　质量系统的最大加速度大于无阻尼者．而有阻尼　的梁中点的最大加速度则低于无阻尼者（见图　５）．另外，不平整度的引人虽会使系统　反应出现高频杂讯现象，但对于不平整度要求甚　高的高铁轨道而言，不至于影响桥梁反应，也是合　理的近似．　Ｏ．１６　０．】２　Ｏ．Ｏ８　０．０４　０　０　ｌ　２　３　４　５　６　速度／（１００ｋｍ・ｈ－ｉ）　图４悬吊质量的最大加速度响应　０　１　２　３　４　５　６　速度／（１ＯＯｋｍ．ｈ－１）　图５梁中点的最大加速度响应　０　１００　２００　３００　４００　５００　沿轨道长度的位置／ｍ　图６轨道不平整度仿真图　一Ｃｖ／２ｍ　一０．０２２，针对车体与桥梁不同质量　比（　／　）进行探讨．其结果分别绘于图７及图　８．从图中不难发现，当车一桥质量比愈大（如　ｍ　／　一０．２５），则本文所提方法就越会稍偏离　真正的反应，可喜的是，在一般情况下，此异常车一　桥质量比（尤以高铁工程）的状况不常发生．　Ｏ・８　≮　餐　暑　ｎ。　Ｏ　０　１　２　３　４　５　６　速度／（１００ｋｍ．ｈ－１）　图７车桥质量比对悬吊质量最大加速度之响应　６　一　∞圭一４　＼越　器　略　２　Ｏ　图　８　结　０　ｌ　２　３　４　５　６　速度／（１ＯＯｋｍ・ｈ－１）　车桥质量比对梁中点最大加速度之响应　４　束语　对车一桥耦合系统的近似分析结果可知，将　车一桥两者先分离成独立的系统，首先在不考虑车　体惯性响应的情况下，得到桥梁的近似但合理的　响应，接着以桥梁的响应作为车体动力响应的激　励源，该分析过程不但可以避开车一桥耦合系统计　算时的庞大运算，在工程实际中也是一种较为简　单合理的仿真．而当车体质量与桥梁质量的比值　较大时，本法的计算结果会产生偏差，即本简易法　只适合于轻车过重桥的动力响应分析．另外，有关　列车的序列载重过铁道桥的序列响应（甚至共　振），则将在未来的研究中，持续探讨．　参考文献　［１］Ｘｉａ　Ｈｅ，Ｄｅ　Ｒｏｅｃｋ　Ｇ，Ｚｈａｎｇ　Ｎａｎ，ｅｔ　ａ１．Ｄｙｎａｍｉｃ　ａ—　ｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｔｒａｉｎ－ｂｒｉｄｇｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｉｎ　第１期　叶贵如，等：拟“车一桥耦合系统”的动态近似分析法　ｓｔｅｅｌ　ｇｉｒｄｅｒ　ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｍｅｎｔ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ　ａｎｄ　Ｓｔｒｕｃ—　ｔｕｒｅｓ，２００１，７９：１　８５１－１　８６０．　［９］姚忠达，杨永斌．高速铁路车桥互制理论［Ｍ］．台　北：图文技术服务有限公司，２０００．　Ｙａｎｇ　Ｙ　Ｂ，Ｙａｕ　Ｊ　Ｄ，Ｗｕ　Ｙ　Ｓ．Ｖｅｈｉｃｌｅ—Ｂｒｉｄｇｅ　Ｉｎｔｅｒ—　［１Ｏ］　Ｙａｎｇ　Ｙ　Ｂ，Ｌｉａｏ　Ｓ　Ｓ，Ｌｉｎ　Ｂ　Ｈ．Ｉｍｐａｃｔ　ｆｏｒｍｕｌａｓ　ｆｏｒ　［２］　ｖｅｈｉｃｌｅ　ｍｏｖｉｎｇ　ｏｖｅｒ　ｓｉｍｐｌｅ　ａｎｄ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｂｅａｍｓ［Ｊ］．　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＡＳＣＥ，１９９５，１２１　（１１）：１　６４４—１　６５０．　ａｃｔｉｏｎ　Ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｍ］．Ｓｉｇａｐｏｒｅ：Ｗｏｒｌｄ　Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ，　２００４．　ｎ　Ｂ　Ｈ．Ｖｅｈｉｃｌｅ—ｂｒｉｄｇｅ　ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ　ａ—　［１１］　Ｙａｎｇ　Ｙ　Ｂ，ＬｉＹａｎｇ　Ｙ　Ｂ，Ｙａｕ　Ｊ　Ｄ．Ｖｅｈｉｃｌｅ－ｂｒｉｄｇｅ　ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ　ｅｌｅ—　［３］　ｎａｌｙｓｉｓ　ｂｙ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｃｏｎｄｅｎｓａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｊｏｕｒ—　ｎａｌ　ｏｆ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＡＳＣＥ，１９９５，１２１　ｍｅｎｔ　ｆｏｒ　ｄｙｎａｍｉｃ　ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＡＳＣＥ，１９９７，１２３（１１）：１　５１２—１　５１８．　（１１）：１　６３６—１　６４３．　Ｆｒｙｂａ　Ｌ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｓｏｌｉｄｓ　ａｎｄ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ　ｕｎｄｅｒ　［１２］　Ｙａｎｇ　Ｙ　Ｂ，Ｙａｕ　Ｊ　Ｄ，Ｈｓｕ　Ｌ　Ｃ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｉｍｐｌｅ　［４］　ｂｅａｍｓ　ｄｕｅ　ｔｏ　ｔｒａｉｎｓ　ｍｏｖｉｎｇ　ａｔ　ｈｉｇｈ　ｓｐｅｅｄｓ［Ｊ］．Ｅｎｇｉ—　ｎｅｅｒｉｎｇ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，１９９７，１９（１１）：９３６—９４４．　Ｍｏｖｉｎｇ　Ｌｏａｄｓ［Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：Ｔｈｏｍａｓ　Ｔｅｌｆｏｒｄ，　１９９９．　Ｅ５］　夏夏［６］　禾，张　楠．车辆与结构动力相互作用［Ｍ］．北　禾，张宏杰，曹艳梅，等．车桥耦合系统在随机　ｃｓ　ｏｆ　Ｒａｉｌｗａｙ　Ｂｒｉｄｇｅｓ［Ｍ］．Ｌｏｎ—　［１３］　Ｆｒｙｂａ　Ｌ．Ｄｙｎａｍｉｄｏｎ：Ｔｈｏｍａｓ　Ｔｅｌｆｏｒｄ，１９９６．　京：科学出版社，２００５．　Ｙａｎｇ　Ｙ　Ｂ，Ｌｉｎ　Ｃ　Ｗ，Ｙａｕ　Ｊ　Ｄ．Ｅｘｔｒａｃｔｉｎｇ　ｂｒｉｄｇｅ　［１４］　ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｏｆ　ａ　ｐａｓｓｉｎｇ　激励下的动力分析及其应用［Ｊ］．工程力学，２００３，　２０（３）：１４２—１４９．　Ｇｒｅｅｎ　Ｍ　Ｆ，Ｃｅｂｏｎ　Ｄ．Ｄｙｎａｍｉｃ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｏｆ　ｈｉｇｈｗａｙ　［７］　ｖｅｈｉｃｌｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｏｕｎｄ　ａｎｄ　Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，２００４，　２７２：４７１－４９３．　ｂｒｉｄｇｅｓ　ｔｏ　ｈｅａｖｙ　ｖｅｈｉｃｌｅｓ　ｌｏａｄｓ：ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ｅｘｐｅｒｉ—　Ｎｅｗｍａｒｋ　Ｎ　Ｍ．Ａ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｓｔｒｕｃ－　［１５］　ｍｅｎｔａｌ　ｖａｌｉｄａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｏｕｎｄ　ａｎｄ　Ｖｉｂｒａ—　ｔｉｏｎ，１９９４，１７０（１）：５１－７８．　ｔｕｒａｌ　ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｊ］．Ｅｎｇ　Ｍｅｃｈ　Ｄｉｖ，ＡＳＣＥ，１９５９，　８５：６７－９４．　［８］Ｇｒｅｅｎ　Ｍ　Ｆ，Ｃｅｂｏｎ　Ｄ，Ｃｏｌｅ　Ｄ　Ｊ．Ｅｆｆｅｃｔｓ　ｏｆ　ｖｅｈｉｃｌｅ　ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｎ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｏｆ　ｈｉｇｈｗａｙ　ｂｒｉｄｇｅｓ　ｌｗａｙ－　［１６］　Ｚｈｕ　Ｇｕａｎｇｈａｎ，Ｇａｒｇ　Ｖ　Ｋ，Ｄｈａｒ　Ｃ　Ｌ．Ｒａｉｂｒｉｄｇｅ　ｉｍｐａｃｔ：ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ　ｔｒａｉｎ　ａｎｄ　ｂｒｉｄｇｅ　ｍｏｄｅｌ　［Ｊ＿．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＡＳＣＥ，　１９９５，１２１（２）：２７２—２８２．　ＥＪ］．Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，１９７９，１０５（９）：１　８２３—　１　８４４．　Ｄｙｎａｍｉｃ　Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｑｕａｓｉ—ＶＢＩ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｙｅ　Ｇｕｉｒｕ　Ｄｏｎｇ　Ｋｅｌｉ　’　Ｙａｏ　Ｚｈｏｎｇｄａ　’　Ｊｉａｎｇ　Ｊｉｑｉｎｇ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｃｉｖｉｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｚｈｅｊｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ　３１００５８，Ｃｈｉｎａ）　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ，Ｔａｍ　Ｋａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔａｉｐｅｉ　１０６２０，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｓｔｕｄｙｉｎｇ　ｔｈｅ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｏｆ　ａ　ｖｅｈｉｃｌｅ　ｍｏｖｉｎｇ　ｏｖｅｒ　ａ　ｂｒｉｄｇｅ，ｒｅｓｅａｒｃｈｅｒｓ　ｍａｙ　ｅｎｃｏｕｎ—　ｔｅｒ　ｔｏ　ｕｐｄａｔｅ　ａｎｄ　ｆａｃｔｏｒｉｚｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　ｆｏｒ　ｂｏｔｈ　ｔｈｅ　ｖｅｈｉｃｌｅ　ｓｕｂｓｙｓｔｅｍ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｂｒｉｄｇｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ａｔ　ｅａｃｈ　ｔｉｍｅ　ｓｔｅｐ　ｉｎ　ａ　ｔｉｍｅ　ｈｉｓｔｏｒｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ，ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ａ　ｌａｂｏｒｉｏｕｓ　ｗｏｒｋ　ｉｎ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｎｔｅｎｄｓ　ｔｏ　ｐｒｏｐｏｓｅ　ａｎ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ａｎｄ　ｅｎｏｕｇｈ　ａｃｃｕｒａｔｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｃｏｍｐｕｔｅ　ｔｈｅ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｖｅｈｉｃｌｅ—ｂｒｉｄｇｅ　ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ（ＶＢＩ）ｓｙｓｔｅｍ．Ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅ　ｃｏｕｐｌｅｄ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＶＢＩ　ｓｙｓｔｅｍ　ａｒｅ　ｄｅｃｏｍ—　ｐｏｓｅｄ　ｉｎｔｏ　ｔｗｏ　ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　ｐａｒｔｓ，ｉｎ　ｗｈｉｃｈ　ｔｈｅ　ｉｎｅｒｔｉａ　ｆｏｒｃｅ　ｉｎｄｕｃｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｍｏｖｉｎｇ　ｖｅｈｉｃｌｅ　ａｃｔｉｎｇ　ａｔ　ｔｈｅ　ｂｒｉｄｇｅ　ｉｓ　ｎｅｇｌｅｃｔｅｄ　ａｎｄ　ｏｎｌｙ　ｔｈｅ　ｍｏｖｉｎｇ　ｆｏｒｃｅ　ｔｒａｖｅｌ　ａｌｏｎｇ　ｔｈｅ　ｂｒｉｄｇｅ　ｉｓ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ｓｅｃｏｎｄ，ｔｈｅ　ｂｒｉｄｇｅ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｍｏｖｉｎｇ　ｆｏｒｃｅ　ｉｓ　ｃｏｍｐｕｔｅｄ　ａｎｄ　ｆｅｅｄｂａｃｋ　ｔｏ　ｅｘｃｉｔｅ　ｔｈｅ　ｒｕｎｎｉｎｇ　ｖｅｈｉｃｌｅ　ｓｏ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｖｅｈｉｃｌｅ＇ｓ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｃａｎ　ｂｅ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ．Ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｂｒｉｄｇｅ　ｉｓ　ｍｕｃｈ　ｈｅａｖｉｅｒ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　ｖｅｈｉｃｌｅ，ｇｏｏｄ　ａ—　ｇｒｅｅｍｅｎｔｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ｏｂｓｅｒｖｅｄ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｐｒｅｓｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｘａｃｔ　ｏｎｅｓ　ｏｆ　ＶＢＩ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｘａｍｐｌｅ．Ｉｔ　ｔｕｒｎｓ　ｏｕｔ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｃａｎ　ａｖｏｉｄ　ｔｈｅ　ｈｕｇｅ　ｃａｌｃｕ—　ｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＶＢＩ　ｓｙｓｔｅｍ，ａｎｄ　ｃａｎ　ｂｅ　ａ　ｓｉｍｐｌｅ　ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ　ｆｏｒ　ｅｖａｌｕａｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ　ｏｆ　ａ　ｒｅａｌ　ＶＢＩ　ｓｙｓｔｅｍ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｑｕａｓｉ—ＶＢＩ　ｓｙｓｔｅｍ；ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ；ｄｙｎａｍｉｃ　ｆｅｅｄｂａｃｋ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎｓ