包含与排除

基本知识：

如果被计数的事物有集合A，集合B两类，那么集合A或集合B元素的个数＝集合A里元素的个数+集合B里元素的个数－集合A与集合B交集里元素的个数。可简记为：A或B=A+B－A∩B

如果被计数的事物有集合A，集合B，集合C三类，那么

集合A或B或C元素的个数＝集合A里元素的个数+集合B里元素的个数+集合C里元素的个数－集合A与B的交集中元素的个数－集合A与C的交集中元素的个数－集合不B与C的交集中元素的个数+集合A、B、C的交集中元素的个数。 可简记为：A或B或C=A+B－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C

此种原理既可以叫“容斥原理”，也可叫做“重叠原理”。

例1 某班共有48人，其中27人会游泳，33人会骑车，40人会打乒乓球，那么这个班至少有多少人三项活动都会？ 解：不会游泳的人有48-27＝21（人） 不会骑车的人有：48-33＝15（人） 不会打乒乓球的人有：48-40＝8（人） 至少一样不会的人最多有：21+15+8＝44（人） 三项都会的同学至少有48-44＝4（人）。

例2 在1～1000中,既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的数共有多少个？

解： 2的倍数：1000÷2＝500（个）

3的倍数：1000÷3＝300（个）„1 5的倍数：1000÷5＝200（个）

既是2的倍数，又是3的倍数：1000÷（2×3）＝166（个）„4 既是2的倍数，又是5的倍数：1000÷（2×5）＝100（个） 既是3的倍数，又是5的倍数：1000÷（3×5）＝66（个）„10

既是2的倍数，又是3和5的倍数：1000÷（2×3×5）＝33（个）„10 2或3或5的倍数：

500+333+200-166-100-66+33＝734（个） 既不是2的倍数也不是3和5的倍数： 1000-734＝266（个）

例3 在一次数学考试中，共出了三道题，共有25名学生参加考试。其中每人至少解出一题，在没有解出第一题的学生中，能够解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍，只能解出第一题的学生数比解出第一题的其余学生多1人，在解出一道题的学生中有一半没有解出第一题，问有多少人只解出第二题？多少人只解出第一题？

解：设恰只解出第二题和第三题的有x人，恰只解出第三题的有y人，依题意有下图关系式：

(x3y)(x3y1)xy(x2y)25

4x9y26

x2,只解出第二题的有：222＝（6人）解得y3

只解出第一题的有：2+23＝8（人）