包含与排除

例1 某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答

对第二题的有27人，两题都答对的有17人，有几个同学两题都不对？

例2 某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，13人参加作文竞

赛，有7人既参加数学竞赛又参加作文竞赛。那么 （1）只参加数学竞赛的有多少人？ （2）参加竞赛的一共有多少人？ （3）没有参加竞赛的一共有多少人？

例3 在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，

那么既爱好音乐、又爱好体育的人最少有多少人？最多有多少人？

例4 A、B、C分别代表面积为10、11、13的三张不同形状的纸片，

它们重叠放在一起盖住的面积是22，且A与B、B与C、C与A公共部分的面积分别是6、4、5，求A、B、C三个图形公共部分（即阴影部分）的面积。

CAB例5 某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜

欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语，而且喜欢语文和数学（但不喜欢外语）的有6人，喜欢数学和外语（但不喜欢语文）的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科。问有多少学生只喜欢语文？

例6 甲、乙、丙给100盆花浇水，甲浇了76盆，乙浇了69盆，丙

浇了85盆，至少有多少盆花被浇了三次水？

例7 某班共有学生52人，其中30人会游泳，35人会自行车，42

人会打乒乓球。那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？

例8 分母是1001的最简真分数有多少个？它们的和是多少？

例9 ABCD是边长为a的正方形，分别以AB、BC、CD、DA为直

径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积。

例10 如图，长方形的宽（5厘米）正好是大扇形半径的一半，求阴

影部分的面积。

例11 一个直径为4厘米的半圆，让A点不动，把整个半圆顺时针

旋转450，此时点B移至点B1，求图中阴影部分的面积。 练习：

1．前锋小学有48名学生参加剪纸、绘画、独唱比赛，有24人参加剪纸比赛；18人参加绘画比赛；其中10人既参加剪纸比赛又参加绘画比赛。问只参加独唱比赛的有多少人？

2．从1到1995的自然数中能被5整除，也能被6或7整除的有多少个？

3．自然数中不超过105，且与105互质的数共有多少个？ 4．求少于1001且与1001互质的所有自然数的和。