包含与排除

例1． 五年级有168人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课获优，其中语文

获得优的有87人，数学获优的有109人，问，语文和数学都获优的有多少人？

例2． 某班有56名同学，在一次测验中有25人得满分，在第二次测验中有23人

得满分，如果两次测验中都没有得过满分的学生有18人，那么，两次测验中都得满分的人有多少？

例3． 某班一次测验中有28人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学都获

优的有13人，另外还有8人语文、数学均未获优，这个班共有多少学生？

例4． 80个英语、日语老师中，懂英语的有65人，懂日语的有35人，其中必有既

有懂英语又懂日语的老师，问只懂英语的老师有多少人？

例5． 周老师针对42人做问卷调查，结果18人喜欢阅读，22人喜欢写作，16人

喜欢朗诵，6人喜欢阅读和写作，8人喜欢阅读和朗诵，9人喜欢写作和朗诵，还有6人同时有三种爱好，有多少人这三中爱好都没有？

例6． 在1到100的自然数中，能被5或7整除的数共有多少个？

例7． 在1—100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？

例8． 从100—1000的所有自然数中既不是3也不是5的倍数的数有多少个？

练一练

1. 有20名同学做两道数学思考题，做对第一题的有10人，做对第二题的有15人，两题都做错的人有2人，求两道题都做对的有多少人？

2. 五年级有112名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门获优，已知语文获优者60人，数学获优者73人，求只有语文获优的人数？

3. 一批教师会英语的有235人，会俄语的有218人，会法语的有207人，既会英语又会俄语的有112人，既会英语又会法语的有71人，既会俄语又会法语的有63人，三种都会的有19人，三种都不会的有17人，这批教师共有多少人？

4. 有50名同学面向老师站成一行，老师让大家从左到右按1、2、3、……49、50一次的报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，再让报数是6的倍数的同学在向后转，问现在面向老师的同学有多少名？

5. 在1—1000这1000个自然数中，不能倍3、5、7整除的数有多少个？

6. 某外语有40名学员，规定他们至少学习英语、日语、德语中的一种，结果学习英语的有20人，学习日语的有12人，学习德语的有18人，其中有5人既学习了英语又学习了日语，有2人既学习了日语又学习了德语，没有人同时学习三种语言，既学习英语又学习德语的有多少人？

7. 在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券。按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔。那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支

8. 有一根长为180厘米的绳子以从一端开始每隔3厘米作一记号以每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，问绳子共被剪成了多少段?

9. 东河小学画展上展出许多画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级，现在五年级，六年级一共有25画，那么其他年级一共有多少幅画？

10. 50名学生参加各项比赛,每人至少得一项名次,且无人重复得同一名次，已知：只得第一名次的有8人，得第二名次的有25人，得第一、三名次的有10人，只得第二、三名次的有9人，得第一、二而没得第三名次的人数比同时得第一、二、三名次的少1人，只得第三名次的是同时得第一、二、三名次人数的2倍，求同时得第一、二、三名次人数有多少？

11．有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占2/3标有4的倍数的卡片占3/4，标有12的倍数的卡片有15张，那么这些卡片一共有多少张?

12. 四年级一班有46名学生参加3项课外活动，其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人，求参加文艺小组的人数？