人教版九年级数学单元测试卷含答案解析 ：二次函数(2019中考模拟及真题)解析版

第22章 二次函数

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）

1．（2019随州二模）下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（ ） 1

A．y=x（x﹣3）

2

1

D．yx

B．y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2

C．y=x2+

x22x3

【答案】A

【分析】根据二次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．

113

【解答】解：A、y=x（x﹣3）=x2﹣x，是以x为自变量的二次函数，故本选项正

222确；

B、y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2=x2﹣4﹣x2+2x﹣1=2x﹣5，是以x为自变量的一次函数，故本选项错误；

C、分母上有自变量x，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误；

D、二次三项式是被开方数，不是以x为自变量的二次函数，故本选项错误．

【点评】本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．

2．（2019顺德区模拟）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（ ）

A．【答案】D

B． C． D．

【分析】根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．

【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，

当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；

此时，没有选项符合，

当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；

此时，D选项符合，

【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．

3．（2019南关区校级一模）对于函数y=5x2，下列结论正确的是（ ）

A．y随x的增大而增大

B．图象开口向下

C．图象关于y轴对称

D．无论x取何值，y的值总是正的

【答案】C

【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．

【解答】解：∵二次函数解析式为y=5x2，

∴二次函数图象开口向上，当x＜0时y随x增大而减小，当x＞0时y随x增大而增大，对称轴为y轴，无论x取何值，y的值总是非负．

【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论．

4．（2019杭州模拟）当﹣4≤x≤2时，函数y=﹣（x+3）2+2的取值范围为（ ）

A．﹣23≤y≤1 B．﹣23≤y≤2 C．﹣7≤y≤1 D．﹣34≤y≤2

【答案】B

【分析】先根据a=﹣1判断出抛物线的开口向下，故有最大值，可知对称轴x=﹣3，再根据﹣4≤x≤2，可知当x=﹣3时y最大，把x=2时y最小代入即可得出结论．

【解答】解：∵a=﹣1，

∴抛物线的开口向下，故有最大值，

∵对称轴x=﹣3，

∴当x=﹣3时y最大为2，

当x=2时y最小为﹣23，

∴函数y的取值范围为﹣23≤y≤2，

【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴以及增减性是解题的关键．

5．（2019陕西模拟）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y=﹣x2+4x+m，则m的值是（ ）

A．1或7 B．﹣1或7 C．1或﹣7 D．﹣1或﹣7

【答案】D

【分析】根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，根据题意得出关于m的方程，解方程即可求得．

【解答】解：∵一条抛物线的函数表达式为y=﹣x2+4x+m，

∴这条抛物线的顶点为（2，m+4），

∴关于x轴对称的抛物线的顶点（2，﹣m﹣4），

∵它们的顶点相距6个单位长度．

∴|m+4﹣（﹣m﹣4）|=6，

∴2m+8=±6，

当2m+8=6时，m=﹣1，

当2m+8=﹣6时，m=﹣7，

∴m的值是﹣1或﹣7．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式，坐标和线段长度之间的转换，关于x轴对称的点和抛物线的关系．

6．（2018营口模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，则下列结论中正确的个数有（ ）

①4a+b=0；

②9a+3b+c＜0；

1

③若点A（﹣3，y1），点B（﹣，y2），点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3

2＜y2；

④若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】由抛物线对称轴可判断①；由抛物线的对称性知x=3时，y＞0，可判断②；根据二次函数的增减性知抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，据此可判断③；方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根即为抛物线y=a（x+1）（x﹣5）与直线y=﹣3交点的横坐标，据此可判断④．

【解答】解：由抛物线的对称轴为x=2可得﹣=2，即4a+b=0，故①正确；

2a

b

由抛物线的对称性知x=0和x=4时，y＞0，

则x=3时，y=9a+3b+c＞0，故②错误；

∵抛物线的开口向下，且对称轴为x=2，

∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，

∵点A到x=2的水平距离为5，点B到对称轴的水平距离为2.5，点C到对称轴的水平距离为3，

∴y1＜y3＜y2，故③正确；

令y=a（x+1）（x﹣5），

则抛物线y=a（x+1）（x﹣5）与y=ax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且与x轴的交点为（﹣1，0）、（3，0），

函数图象如图所示，

由函数图象可知方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根即为抛物线y=a（x+1）（x﹣5）与直线y=﹣3交点的横坐标，

∴x1＜﹣1＜5＜x2，故④正确；

【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题及二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．（2018南关区校级一模）若y(m2)x是 ．

m223x2是二次函数，则m的值

【答案】2

【分析】根据二次函数的定义求解即可．

【解答】解：由题意，得

m2﹣2=2，且m+2≠0，

解得m=2，

【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键．

8．（2018攀枝花）抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为____________.

【答案】（1，1）

【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．

【解答】解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，

∴顶点坐标为（1，1）．

【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．

9．（2017苏州一模）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且经过点（3，0），则a﹣b+c的值为___________.

【答案】0

【分析】根据二次函数对称性可求出点（3，0）关于对称轴直线x=1的对称点为（﹣1，0），然后把（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c即可求出答案．

【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，

∴根据二次函数的对称性得：点（3，0）的对称点为（﹣1，0），

∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，

∴a﹣b+c的值等于0．

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出点P关于对称轴的对称点，此题难度不大．

10．（2018河南模拟）已知，二次函数y=x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，则当x=x1+x2时，则y的值为___________.

【答案】﹣2017

【分析】因为二次函数y=x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）

2+b两点，所以x1+x2=﹣b，当x=x1+x2=﹣b时，y=（﹣b）（﹣b）﹣2017=﹣2017，

由此即可解决问题．

【解答】解：∵二次函数y=x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，

∴x1+x2=﹣b，

∴当x=x1+x2=﹣b时，y=（﹣b）2+b（﹣b）﹣2017=﹣2017，

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

11．（2018绵阳）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m．

【答案】42﹣4

【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．

【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且

通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），

通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），

到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，

当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y=﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，

可以通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出：

﹣2=﹣0.5x2+2，

解得：x=±24）米，

2，所以水面宽度增加到42米，比原先的宽度当然是增加了（42﹣

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．

12．（2018武昌区模拟）二次函数y=x2+mx+1的图象的顶点在坐标轴上，则m的值___________.

【答案】0或±2

【分析】由二次函数y=x2+mx+1的图象的顶点在坐标轴上，分两种情况讨论即可．

【解答】解：当图象的顶点在x轴上时，

∵二次函数y=x2+mx+1的图象的顶点在x轴上，

∴二次函数的解析式为：y=（x±1）2，

∴m=±2．

当图象的顶点在y轴上时，m=0，

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（2018宣州区模拟）已知函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，

（1）当m为何值时，此函数是一次函数？

（2）当m为何值时，此函数是二次函数？

【分析】（1）直接利用一次函数的定义进而分析得出答案；

（2）直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．

【解答】解：（1）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，

∴m2+2m=0，m≠0，

解得：m=﹣2；

（2））∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，

∴m2+2m≠0，

解得：m≠﹣2且0．

【点评】此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握次数与系数的值是解题关键．

14．（2018历城区模拟）已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣4）和（﹣1，2），求这个抛物线的顶点坐标．

【分析】利用待定系数法即可求出二次函数解析式，配方成抛物线的顶点式即可求出抛物线的顶点坐标．

【解答】解：（1）把点（1，﹣4）和（﹣1，2）代入y=x2+bx+c，得1bc4，

1bc2解得b3，所以抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣2．

c2317

2）﹣， 24

y=x2﹣3x﹣2=（x﹣

317

所以抛物线的顶点坐标为（，﹣）．

24

【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，解题的关键是正确求出二次函数的解析式．

15．（2018合肥模拟）下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：

x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ﹣x2+bx+c … 5 n c 2 ﹣3 ﹣10 … （1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；

（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．

【分析】（1）把（﹣2，5）、（1，2）分别代入﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到b、c的值；然后计算x=﹣1时的代数式的值即可得到n的值；

（2）利用表中数据求解．

【解答】解：（1）根据表格数据可得42bc5b2，解得，

1bc2c5∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，

当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；

（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求

解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

16．（2018静安区一模）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．

【分析】（1）设顶点式y=a（x﹣3）2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；

（2）利用抛物线的对称性得到B（5，3），再确定出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2+5，

1

a=﹣，

2

将A（1，3）代入上式得3=a（1﹣3）2+5，解得

1

∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+5，

2

（2）∵A（1，3）抛物线对称轴为：直线x=3

∴B（5，3），

111

2令x=0，y=﹣（x﹣3）+5=，则C（0，），

222

11

△ABC的面积=×（5﹣1）×（3﹣）=5．

22

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

17．（2018南京）已知二次函数y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；

（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？

【分析】（1）代入y=0求出x的值，分m+3=1和m+3≠1两种情况考虑方程解的情况，进而即可证出：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论．

【解答】（1）证明：当y=0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0，

解得：x1=1，x2=m+3．

当m+3=1，即m=﹣2时，方程有两个相等的实数根；

当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根．

∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；

（2）解：当x=0时，y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=2m+6，

∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，

∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）由方程2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0有解证出该函数的图象与x轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

3

18．（2018云南）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，

169

﹣）两点． 2

（1）求b，c的值．

3

（2）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；

16若没有，请说明情况．

【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；

3

（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程﹣

16x2+

9

x+3=0，通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标． 8

93

【解答】解：（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣）分别代入y=﹣x2+bx+c，得

216

c39， 3164bc216c3解得9；

b8

3

9

x+3． 8

（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣

1693225△=（）2﹣4×（﹣）×3=＞0，

816

3

x2+

所以二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴有公共点．

16

3

9

x+3=0的解为：x1=﹣2，x2=8 8

∵﹣

16

x2+

∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．

【点评】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．

19．（2018昆明）如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．

（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范图；

（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．

【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；

（2）将AB所在直线的解析式求出，利用直线AP与AB垂直的关系求出直线AP的斜率k，再求直线AP的解析式，求直线AP与x轴交点，求点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．

ab3a1【解答】解：（1）由题意得b，解得，

2b42a∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x，

令y=0，得x2﹣4x=0，解得x=0或4，

结合图象知，A的坐标为（4，0），

根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范图是0≤x≤4；

（2）设直线AB的解析式为y=mx+n，

mn3m1则，解得，

4mn0n4∴y=x﹣4，

设直线AP的解析式为y=kx+c，

∵PA⊥BA，

∴k=﹣1，

则有﹣4+c=0，解得c=4，

yx24xx1x4∴，解得或

y5y0yx4又∵当x=4，y=0时，P为（4，0），不在第二象限，故舍去

∴点P的坐标为（﹣1，5），

∴△PAB的面积=8×5﹣8×2÷2﹣3×3÷2﹣5×5÷2=15．

【点评】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．

20．（2017石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣3（a≠0）的顶点为A．

（1）求顶点A的坐标；

（2）过点（0，5）且平行于x轴的直线l，与抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣3（a≠0）交于B，C两点．

①当a=2时，求线段BC的长；

②当线段BC的长不小于6时，直接写出a的取值范围．

【分析】（1）配方得到y=ax2﹣4ax+4a﹣3=a（x﹣2）2﹣3，于是得到结论；

（2）①当a=2时，抛物线为y=2x2﹣8x+5，如图．令y=5得到2x2﹣8x+5=5，解方程即可得到结论；②令y=5得到ax2﹣4ax+4a﹣3=5，解方程即可得到结论．

【解答】解：（1）∵y=ax2﹣4ax+4a﹣3=a（x﹣2）2﹣3，

∴顶点A的坐标为（2，﹣3）；

（2）①当a=2时，抛物线为y=2x2﹣8x+5，如图．

令y=5，得

2x2﹣8x+5=5，

解得，x1=0，x2=4，

4∴

2a

线段BC的长为4， a

②令y=5，得ax2﹣4ax+4a﹣3=5，

2a+22a2a－2

解得，x1=，x2=

aa4∴线段BC的长为2aa

2a，

，

∵线段BC的长不小于6，

4∴

2a

≥6， a

8

∴0＜a≤．

9

【点评】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的顶点坐标，正确的作出图象是解题的关键．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（2018扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．

【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；

（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；

（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．

【解答】解：（1）由题意得：40kb300，

55kb150解得：k10．

b700故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+700，

（2）由题意，得

﹣10x+700≥240，

解得x≤46，

设利润为w=（x﹣30）y=（x﹣30）（﹣10x+700），

w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10（x﹣50）2+4000，

∵﹣10＜0，

∴x＜50时，w随x的增大而增大，

∴x=46时，w大=﹣10（46﹣50）2+4000=3840，

答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；

（3）w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600，

﹣10（x﹣50）2=﹣250，

x﹣50=±5，

x1=55，x2=45，

如图所示，由图象得：

当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．

22．（2018乐山）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．

（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；

（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．

【分析】（1）直接利用△=b2﹣4ac，进而利用偶次方的性质得出答案；

（2）首先解方程，进而由|x1﹣x2|=6，求出答案；

（3）利用（2）中所求得出m的值，进而利用二次函数对称轴得出答案．

【解答】（1）证明：由题意可得：

△=（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）

=1+25m2﹣10m+20m

=25m2+10m+1

=（5m+1）2≥0，

故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5=0，

1

解得：x1=﹣，x2=5，

m

由|x1﹣x2|=6，

1

得|﹣﹣5|=6，

m

1

解得：m=1或m=﹣；

11

（3）解：由（2）得，当m＞0时，m=1，

此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2，

由题已知，P，Q关于x=2对称， a+a+n∴=2，即2a=4﹣n，

2

∴4a2﹣n2+8n=（4﹣n）2﹣n2+8n=16．

【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，正确得出方程的根是解题关键．

六、（本大题共12分）

23．（2018郴州）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．

①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；

（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；

②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．

【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，

1bc0b2，解得：， 93bc0c3∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．

（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，

∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴抛物线的对称轴为直线x=1．

当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．

∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，

∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），

∴点M的坐标为（1，6）；

当t≠2时，不存在，理由如下：

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，

∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，

∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．

又∵t≠2，

∴不存在．

（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．

设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），

将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，

3mn0m1，解得：， n3n3∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．

∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），

∴点F的坐标为（t，﹣t+3），

∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t， 1393327

22∴S=PFOB=﹣t+t=﹣（t﹣）+．

222228

3

②∵﹣＜0，

2

327

∴当t=时，S取最大值，最大值为．

28

∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），

∴线段BC=OB2+OC2=32，

27

×22315

∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．

82432

【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解

题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．

人教版九年级上册数学单元测试卷含答案

第22章 二次函数

（满分120分 考试时间120分钟）

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）

1．（2018随州二模）下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（ ） 1

A．y=x（x﹣3）

21

C．y=x2+ D．yx

B．y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2

x22x3

2．（2018顺德区模拟）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

3．（2018南关区校级一模）对于函数y=5x2，下列结论正确的是（ ）

A．y随x的增大而增大

B．图象开口向下

C．图象关于y轴对称

D．无论x取何值，y的值总是正的

4．（2018杭州模拟）当﹣4≤x≤2时，函数y=﹣（x+3）2+2的取值范围为（ ）

A．﹣23≤y≤1 B．﹣23≤y≤2 C．﹣7≤y≤1 D．﹣34≤y≤2

5．（2018陕西模拟）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y=﹣x2+4x+m，则m的值是（ ）

A．1或7 B．﹣1或7 C．1或﹣7 D．﹣1或﹣7

6．（2018营口模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，则下列结论中正确的个数有（ ）

①4a+b=0；

②9a+3b+c＜0；

1

③若点A（﹣3，y1），点B（﹣，y2），点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3

2＜y2；

④若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

13．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．（2018南关区校级一模）若y(m2)x是 ．

m223x2是二次函数，则m的值

8．（2018攀枝花）抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为____________.

9．（2017苏州一模）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且经过点（3，0），则a﹣b+c的值为___________.

10．（2018河南模拟）已知，二次函数y=x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，则当x=x1+x2时，则y的值为___________.

11．（2018绵阳）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m．

三、（2018武昌区模拟）二次函数y=x2+mx+1的图象的顶点在坐标轴上，则m的值___________.

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（2018宣州区模拟）已知函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，

（1）当m为何值时，此函数是一次函数？

（2）当m为何值时，此函数是二次函数？

14．（2018历城区模拟）已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣4）和（﹣1，2），求这个抛物线的顶点坐标．

15．（2018合肥模拟）下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：

x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ﹣x2+bx+c … 5 n c 2 ﹣3 ﹣10 … （1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；

（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．

16．（2018静安区一模）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．

17．（2018南京）已知二次函数y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；

（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（2018云南）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，

169

﹣）两点． 2

3

（1）求b，c的值．

3

（2）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；

16若没有，请说明情况．

19．（2018昆明）如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．

（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范图；

（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．

20．（2017石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣3（a≠0）的顶点为A．

（1）求顶点A的坐标；

（2）过点（0，5）且平行于x轴的直线l，与抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣3（a≠0）交于B，C两点．

①当a=2时，求线段BC的长；

②当线段BC的长不小于6时，直接写出a的取值范围．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（2018扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．

22．（2018乐山）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．

（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；

（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．

六、（本大题共12分）

23．（2018郴州）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．

①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．