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历届IMO试题(1-46届完整中文版)

来源：六九路网

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第1届IMO

1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。

2. 设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3. a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程

a cosx + b cos x + c = 0,

试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。

4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.) 求证 AF、BC相交于N点；

（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S； (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。

6. 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。

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第2届IMO

1. 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2. 寻找使下式成立的实数x：

4x/(1 - √(1 + 2x)) < 2x + 9

3. 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：

tan  = 4nh/(an - a).

4. 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。

5. 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。

a. 求XY中点的轨迹；

b. 求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。

6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1 为圆锥的体积，V2 为圆柱的体积。 (a). 求证：V1 不等于 V2 ；

(b). 求V1/V2 的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。

7. 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。

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第3届IMO

1. 设a、b是常数，解方程组

x + y + z = a; x2 + y2 + z2 = b2; xy=z2

并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2. 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证：

a2 + b2 + c2 >= 4√3 A.

并求出等号何时成立。

3. 解方程 cosnx - sinnx = 1, 其中n是一个自然数。

4. P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。

5. 作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，锐角AMB = ,其中M是线断BC的中点。求证这个三角形存在的充要条件是

b tan(/2) <= c < b.

又问上式何时等号成立。

6. 三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。在p上任意取三个点A', B', C'， A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么？

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第4届IMO

1. 找出具有下列各性质的最小正整数 n：它的最后一位数字是6，如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。 2. 试找出满足下列不等式的所有实数 x：

√(3-x)- √(x+1) > 1/2.

3. 正方体 ABCDA'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。一点 x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。求线断XY的中点的轨迹。 4. 解方程cosx + cos2x + cos3x = 1。

5. 在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。

6. 一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为 r，求证这两个圆的圆心的距离是√(R(R-2r))。

7. 求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。

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第5届IMO

1. 找出下列方程的所有实数根（其中 p是实参数）：

√(x2-p)+2√(x2-1) = x.

2. 给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足角APX是直角，试求出所有这样的点P的轨迹。

3. 在一个 n边形中，所有内角都相等，边长依次是

a1 >= a2 >= ... >= an，

求证：所有边长都相等。

4. 设 y是一个参数，试找出方程组 xi + xi+2 = y xi+1 (i = 1, ... , 5)的所有解 x1, ... , x5。 5. 求证

cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2.

6. 五个同学A、B、C、D、E参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，C、D两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种）。还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。试讨论最后的名次如何？

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第6届IMO

1. (a) 求所有正整数 n 使得 2 - 1 能被 7整除； (b) 求证不存在正整数 n 使得 2n + 1 能被 7 整除。 2. 假设a、b、c是某三角形的三边长，求证：

a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) <= 3abc.

3. 三角形ABC的三边长为别为a、b、c。分别平行于ABC的各边作三角形ABC内切圆的切线，每条切线都在ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用a,b,c表示）。 4.十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。 5.平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。

6.四面体ABCD的中心是D0 ，分别过A、B、C作 DD0 的平行线，这些线分别交平面BCD、CAD、ABD于点 A0、 B0、 C0，求证：ABCD的体积是A0B0C0D0的三分之一；再问如果 D0 为三角形ABC内的任意一点，结果是否仍然成立？

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第7届IMO

1. 试找出所有位于区间[0, 2pi] 的x使其满足

2 cos x ≤ | √(1 + sin 2x) - √(1 - sin 2x)| ≤ √2 . 2. 如下方程组的系数 aij ，

a11x1 + a12 x2+ a13 x3 = 0 a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0 a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0 满足：

a. a11、 a22、 a33 是正数，其余是负数； b. 每个方程中的系数之和是正的。

求证：该方程组的有唯一的解 x1 = x2 = x3 = 0。

3. 四面体ABCD被平行于AB、CD边的一个平面分割成两部分，并且该平面到AB边的距离是该平面到CD边距离的 k倍。试求出这两部分的体积比。

4. 四个实数，它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于2，求出这四个数的所有可能值。

5. 三角形OAB中的角O是锐角，M是边AB上任意一点，从M向OA、OB边引垂线，垂足分别为P、Q。设三角形OPQ的垂心为，求出当M在AB边上移动时点H的轨迹；若M在三角形OAB内部移动是H的轨迹又是什么？

6. 平面上给定了 n>2个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的最大值被定义为这个点集的直径，求证：长度为直径的线断至多有n条。

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第8届IMO

1. 在一次数学竞赛有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A。请问有多少学生只答对B？ 2. 三角形ABC，如果，

BC + AC = tan C/2 (BC tan A + AC tan B).

则该三角形为等腰三角形。

3. 求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶点距离之和。

4. 对任何自然数 n以及满足 sin 2nx 不为 0 的实数x，求证：

1/sin 2x + 1/sin 4x + ... + 1/sin 2nx = cot x - cot 2nx.

5. ai （i=1,2,3,4）是互不相同的实数，解方程组（i=1,2,3,4）

|ai - a1| x1 + |ai - a2| x2 + |ai - a3| x3 + |ai - a4| x4 = 1。

6. 在三角形ABC的边BC、CA、AB上分别任选三内点K、L、M，求证三角形AML、BKM、CLK之中至少有一个的面积小于活等于三角形ABC的四分之一。

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第9届IMO

1. 平行四边形ABCD，边长 AB = a, AD = 1, 角 BAD = A, 已知三角形ABD是一个锐角三角形，求证以A,B,C,D为圆心半径为1的四个圆能够覆盖此平行四边形的充要条件是

a ≤ cos A + √3 sin A.

2. 若四面体有且仅有一边大于1，求证其体积 ≤ 1/8.

3. k, m, n 是自然数且 m + k + 1 是一个大于 n+1 的素数，令cs = s(s+1)，求证

(cm+1 - ck)(cm+2 - ck) ... (cm+n - ck)

可被乘积 c1c2 ... cn整除。

4. 任意两个锐角三角形 A0B0C0 和 A1B1C1 。考虑所有与三角形 A1B1C1相似且外接于三角形 A0B0C0 的所有三角形ABC（即BC边包含A0，CA边包含B0，AB边包含 C0），试构造出满足此条件的面积最大的三角形ABC。

5. a1, ... , a8 是不全为0的实数，令 cn = a1n + a2n + ... + a8n ( n = 1, 2, 3, ... )，如果数列{ cn }中有无穷多项等于0，试求出所有使 cn＝0 的自然数n。

6. 在一次运动会中，连续 n 天内（n>1）一共颁发了 m 块奖牌。在第一天，颁发了一块奖牌以及剩下 m-1 个中的 1/7；在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的 1/7；依此类推。在最后一天即第 n 天，剩下的n块奖牌全部颁发完毕。问该运动会共进行了几天，一共颁发了多少块奖牌？

第10届IMO

1. 求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另外一个角的两倍。 2. 试找出所有的正整数 n，其各位数的乘积等于 n2 - 10n - 22。

3. a, b, c 是不全为0的实数。x1, x2, ... , xn 是满足下述方程组的未知数：

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axi2 + bxi + c = xi+1, 对于 i=1,2,...,n-1； axn2 + bxn + c = x1；若设 M= (b - 1)2 - 4ac ，求证：

a. 若 M<0，则方程组无解； b. 若 M=0，则方程组恰有一解；

c. 若 M>0，则方程组不止有一个解。

4. 求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。 5. 令f是定义在所有实数并取值实数的函数，并且对于某个 a>0及任何 x>0 有

f(x + a) = 1/2 +√[f(x)-f(x)2]

求证 f 是周期函数，并且当 a=1时请给出一个非常值函数的例子。

6. 对任何自然数 n，试计算下式的值

[(n+1)/2] + [(n+2)/4] + [(n+4)/8] + ... + [(n+2k)/2k+1] + ...

其中[x]表示不超过 x 的最大整数。

第11届IMO

1. 对任意正整数 n，求证有无穷多个正整数 m 使得 n4 + m 不是质数。

2. 令 f(x) = cos(a1 + x) + 1/2 cos(a2 + x) + 1/4 cos(a3 + x) + ... + 1/2n-1 cos(an + x), 其中 ai 是实数常量，x是实数变量。现已知 f(x1) = f(x2) = 0，求证 x1 - x2 是 π 的整数倍。

3. 对每一个k = 1, 2, 3, 4, 5，试找出 a>0 应满足的充要条件使得存在一个四面体，其中 k个边长均为 a，其余 6-k个边的长度均为 1。

4. 以AB为直径的半圆弧，C是其上不同于A、B的一点，D是C向AB作垂线的垂足。K1 是三角形ABC的内切圆，圆K2 与CD、DA以及半圆都相切，圆K3 与CD、DB及半圆相切。求证：圆K1、 K2 、 K3 除AB外还有一条公切线。

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5. 平面上已给定了 n>4个点，无三点共线。求证至少有 (n-3)(n-4)/2 个凸四边形，其顶点都是已给点集中的点。

6. 给定实数x1, x2, y1, y2, z1, z2, 满足 x1 > 0, x2 > 0, x1y1 > z12, x2y2 > z22，求证：

8 1 1

(x1 + x2)(y1 + y2) - (z1 + z2)2 并给出等号成立的充分必要条件。

≤

x1y1 - z12

x2y2 - z22

第12届IMO

1. M 是三角形ABC的边AB上的任何一点，r、r1、r2 分别是三角形ABC、AMC、BMC的内切圆的半径，q 是AB外旁切圆的半径（即与AB边相切，与CA、CB的延长线上相切的圆），类似的， q1、q2分别是AC、BC外旁切圆的圆心。求证： r1r2q = rq1q2。

2. 已知0 ≤ xi < b，i = 0, 1, ... ,n 并且 xn > 0, xn-1 > 0。如果 a>b，xnxn-1...x0 是数A在a进制下的表示、也是B在b进制下的表示，则 xn-1xn-2...x0 表示了 A'在a进制下的表示、B'在b进制下的表示。求证：A'B3. 实数 a0, a1, a2, ...满足 1 = a0 <= a1 <= a2 <= ...，并定义

bn =∑(1 - ak-1/ak)/√ak

其中求和是k从1到n。

a. 求证0≤ bn<2；

b. 设c满足0≤c <2，求证可找到an 使得当n足够大时bn >c成立。

4. 试找出所有的正整数 n 使得集合 {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} 可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。

5. 四面体ABCD，角BDC是直角，D向平面ABC作垂线的垂足恰好是三角形ABC的垂心。求证：

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(AB + BC + CA) ≤ 6(AD + BD + CD).

并问何时等号成立？

6. 平面上给定100个点，无三点共线，求证：这些点构成的三角形中至多70% 是锐角三角形。

2222

第13届IMO

1. 令 En = (a1 - a2)(a1 - a3) ... (a1 - an) + (a2 - a1)(a2 - a3) ... (a2 - an) + ... + (an - a1)(an - a2) ... (an - an-1). 求证 En >= 0 对于n=3或5成立，而对于其他自然数n>2不成立。

2. 凸多边形 P1 的顶点是 A1, A2, ... , A9，若将顶点 A1 平移至Ai 时则 P1 平移成了多边形 Pi ，求证 P1, P2, ... , P9 之中至少有两个具有一共同内点。

3. 求证能够找到一个由形式 2n - 3 （n是正整数）的整数构成的集合并满足任何两个元素互质。

4. 四面体ABCD的所有面都是锐角三角形，在线段AB上取一内点X，现在BC上取内点Y，CD上取内点Z，AD上内点T。求证：

a. 如果 ∠DAB+∠BCD ≠ ∠CDA+∠ABC，则没有一条闭路径XYZTX具有最小值； b. 如果 ∠DAB+∠BCD ＝ ∠CDA+∠ABC，则有无穷多最短路径XYZTX，它们的长度是 2AC

sin(k/2)，其中 k=∠BAC+∠CAD+∠DAB。

5. 对任何自然数 m ，求证存在平面上一有限点集 S，满足：对S中的每一个点 A，存在S中的恰好 m 个点与 A的距离为单位长。

6. 设 A = (aij),其中 i, j = 1, 2, ... , n，是一个方阵，元素 aij 都是非负整数。若 i、j使得aij = 0，则第i行和第j列的元素之和大于或等于 n。求证：该方阵中所有元素之和大于或等于n2/2。

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第14届IMO

1.有十个互不相同的二位数，求证必可从中选出两个不相交的子集，使得这两个子集中的元素之和相等。

2. 设 n>4，求证每一个圆内接四边形都可以分割成 n 个圆内接四边形。 3. m,n是任意非负整数，求证下式是一整数。

(2m)!(2n)!

m!n!(m+n)!

4. 试找出下述方程组的所有正实数解：

(x12 - x3x5)(x22 - x3x5) <= 0 (x22 - x4x1)(x32 - x4x1) <= 0 (x32 - x5x2)(x42 - x5x2) <= 0 (x42 - x1x3)(x52 - x1x3) <= 0 (x52 - x2x4)(x12 - x2x4) <= 0

5. f、g都是定义在实数上并取值实数的函数，并且满足方程

f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)g(y)，

又已知 f 不恒等于0且 |f(x)| <= 1 。求证对所有x同样有 |g(x)| <= 1 。

6. 给定四个不相同的平行平面，求证存在一个正四面体，它的四个定点分别在这四个平面上。

第15届IMO

1. OP1, OP2, ... , OP2n+1 是平面上的单位向量，其中点 P1, P2, ... , P2n+1 都是位于通过点O的一条直线的同一侧，求证

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|OP1 + ... + OP2n+1| >= 1.

2. 问能否在空间中找到一个不共面的有限点集M使得，对M中的任何两点A、B，都可以再在M中寻找到两点C、D，而直线AB、CD是不相同的并且是互相平行的。 3. 考虑所有这样的实数a、b使得方程

x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0

至少有一个实根。试找出 a2 + b2 的最小值。

4. 一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷，他的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径？

5. G是具有下述形式且非常值的函数的集合：

f(x) = ax + b，其中a,b,x都是实数。

并且已知G具有这些性质：

如果f,g都属于G，则 fg(x) = f(g(x)) 也属于G；

-1

• 如果f属于G，则 f(x) = x/a - b/a 也属于G；

• 对任何f属于G，存在一个实数 xf 使得 f(xf) = xf成立。

•

求证：存在实数 M 使得 f(M)=M对所有G中的函数f都成立。

6. a1, a2, ... , an 是正实数，实数 q 满足0 < q < 1，试求出n格实数 b1, b2, ... , bn 使得：

a. ai < bi ，i = 1, 2, ... , n；

b. q < bi+1/bi < 1/q ， i = 1, 2, ... , n-1；

c. b1 + b2 + ... + bn < (a1 + a2 + ... + an)(1 + q)/(1 - q).

第16届IMO

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1. 三个玩家玩游戏。在三张扑克牌上分别写上一个正整数，并且每张牌上的数都不相同。在每一轮游戏中都是随机的把卡片分给这些玩家，然后每个玩家拿到所分得卡片上数目的筹码。当游戏进行时，玩家手上的筹码自然是越来越多。假设游戏至少进行了两轮以上。在最后一轮结束时，第一个玩家有筹码20个，第二个玩家有10个，第三个玩家有9个。又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数目的筹码。试问，在第一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹码？

2. 三角形ABC，求证在边AB上存在一点D使得CD是AD、DB的几何平均值的充要条件是

sin A sin B <= sin2(C/2).

3. 试证明对任意非负整数n，下式都不能被5整除：

∑ C(2n+1,2k+1)23k，

上式中的求和是k从0到n，符号 C(r,s) 表示二项式系数 r!/(s!(r-s)!)。

4. 沿着一个 8 x 8 象棋盘（黑白相间）中的线将其分割成p个不相交的长方形，使得每个长方形内的黑白小方格的数目一样，并且每个长方形中小方格的数量也都不一样多。求出所有可能p值中的最大值；并对这样的最大值求出所有可能的分法（即求出那些长方形的大小）。 5. a,b,c,d是任意实数，判定下式的所有可能值：

a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d)。

6. 设 P(x) 是一个指数d>0的整系数多项式，n是P(X)=1或-1的不同整根的个数，则有 n <= d + 2.

第17届IMO

1. 已知x1 >= x2 >= ... >= xn, 以及y1 >= y2 >= ... >= yn 都是实数，求证若z1 ,z2 ,...,zn 是yi 的任意排列则有

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∑(xi-yi)2 <= ∑(xi-zi)2

上式中左右两边的求和都是i从1到n。

2. 令a1 < a2 < a3 < ... 是一递增正整数序列，求证对所有i>=1，存在无穷多个 an 可以写成 an = rai + saj的形式，其中r，s是正实数且j > i。

3. 任意三角形ABC的边上，向外作三角形ABR,BCP，CAQ，使角CBP、角CAQ都是45度，角BCP、角ACQ都是30度，角ABR、角BAR都是15度。求证角QRP是直角并且QR=RP。 4. 令A是将4444各位数字之和。

4444

写成十进制数字时的各位数字之和，令B时A的各位数字之和，求B的

5. 判定并证明能否在单位圆上找到1975个点使得任意两点间的距离为有理数。 6. 找出所有两个变量的多项式P(x, y)使其满足： I. II.

对某一正整数n及所有实数t、x、y有P(tx, ty) = tnP(x, y)成立；对所有实数x、y、z有

P(y + z, x) + P(z + x, y) + P(x + y, z) = 0;

III.

P(1, 0) = 1。

第18届IMO

1. 平面上一凸四边形的面积是32，两对边与一对角线之和为16，求另外一个对角线的所有可能的长度。

2. 令P1(x) = x - 2, Pi+1 = P1(Pi(x)), i = 1, 2, 3, ...，求证对任何一个正整数n，方程式Pn(x) = x 的所有根都是互不相同的实数。

3. 一个长方形的箱子可以用单位正方体完全装满，如果用体积为2的正方体来尽量装填，使得每个边都与箱子的边平行，则恰能装满箱子的40％，求所有这种箱子的可能尺寸（长、

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宽、高）。

4. 试将1976分解成一些正整数之和，求这些正整数乘积的最大值，并加以证明。 5. n是一个正整数，m = 2n， aij = 0、1或-1 （1 <= i <= n, 1 <= j <= m）。还有m个未知数x1, x2, ... , xm满足下面n个方程：

ai1x1 + ai2x2 + ... + aimxm = 0,

其中i = 1, 2, ... , n。求证这n个方程有一组不全为0的整数解（x1, x2, ... , xm）使得|xi|<= m。

6. 一个序列u0, u1, u2, ... 定义为：

u0= 2, u1 = 5/2, un+1 = un(un-12 - 2) - u1，n = 1, 2, ...

求证

[un] = 2(2n - (-1)n)/3,

其中[x]表示不大于x的最大整数。

第19届IMO

1. 在正方形ABCD中作等边三角形ABK、BCL、CDM、DAN，证明线段KL、LM、MN、NK的四个中点以及线段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的八个中点构成一个正十二边形的定点。 2. 在一个有限项的实数序列中，任意的相连七项之和为负，任意的相连十一项之和为正。求出这种序列最多有几项。

3. n>2是一给定整数，Vn 是所有1+kn形式的整数构成的集合，其中k是正整数，对于Vn 中的一个数m，如果不存在Vn 中的两个数p、q使得m=pq，则称m是不可分解的。求证：Vn 中存在一数r，它可有多于一种的方式表示为Vn 中不可分解数的乘积。（乘积中若仅仅是因数的顺序不同则视为是同一种分解。） 4. 定义f(x) = 1 - a cos x - b sin x - A cos 2x - B sin 2x，其中a,b,A,B都是实数

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常量。如果f(x)>=0对所有实数x都成立，求证

a2 + b2 <= 2 且 A2 + B2 <= 1.

5. a,b是正整数，设a2 + b2除以a + b得到商为q，余数是r。试求出所有的正整数对（a,b）使得q2 + r = 1977。

6. f是定义在所有正整数上且取值也是正整数的函数，求证如果f(n+1) > f(f(n))对所有正整数n都成立，则f(n) = n对每个n都成立。

第20界IMO

1. m、n都是正整数且n>m。如果1978m 和1978n的十进制表示法的末三位数字相同，试求满足此条件并使m+n达到最小的m与n。

2. P是某已知球内部一点，A、B、C是球面上三点，且有PA、PB、PC相互垂直，由PA、PB、PC决定的平行六面体与P点对角相向的顶点为Q，试求出Q点的轨迹。

3. 两不交集合{f(1), f(2), f(3), ... }和{g(1), g(2), g(3), ... }的并集是全部的正整数，其中f(1) < f(2) < f(3) < ...，g(1) < g(2) < g(3) < ... ,且有g(n) = f(f(n)) + 1对所有n=1,2,3, ...成立。试计算f(240)。

4. 等腰三角形ABC，AB = AC。在三角形ABC的外接圆的内部有一与其相切的一个小圆，该小圆又分别与AB、AC相切于P、Q两点。求证：线段PQ的中点恰为三角形ABC内切圆的圆心。

5. 令{ak} 为互不相同的正整数数列，求证对于所有的正整数n，有

∑ak/k2 >= ∑1/k；

上式中两边的求和都是k从1到n。

6. 某国际组织共有来自六个国家的共1978名会员，会员编号分别是1,2,...,1978。求证至少有某一会员的编号，恰为与他同国家的另外两位会员编号的和，或者是他同国家的两外

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一名会员编号的两倍。

第21界 IMO

1. m,n是满足下述条件的正整数:

m/n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... - 1/1318 + 1/1319.

求证：m可被1979整除。

2. 一个棱柱的上底和下底分别是正五边形A1A2A3A4A5、B1B2B3B4B5 。这两个正五边形的每条边以及每个 AiBj边都被染上红色或蓝色。又已知每个边都被着色的三角形（其顶点即这个棱柱的顶点）必有两边着不同色，求证：上、下底的十条边都被染上了同一种颜色。

3. 平面上的两个圆相交，A是其中一个交点。现有两质点同时从A出发各自以恒定的速度，同以顺时针方向或同以逆时针方向绕各自的圆移动，在绕过一周之后这两点又同时回到了A点。求证：在这个平面上一定存在某个固定的点P使得在任意时刻P点都与这两动点的距离相等。

4. 给定一平面k，在这个平面上有一点P，平面外有一点Q，试找出平面k上的所有的点R使得(QP + PR)/QR 为最大值。

5. 试求出所有的实数a，使得存在非负实数x1, x2, x3, x4, x5满足下列关系式： x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = a； x1 + 23x2 + 33x3 + 43x4 + 53x5 = a2； x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = a。

6. 令A、E是一个正八边形的两相对顶点，一只青蛙从A点开始跳动，除了E点外，从八边形中的其他每一个顶点都可以跳至与它相邻两顶点中的任何一个。当它跳到E点时就停止运动。设 an 为恰好经过 n步跳动以后到达E点的所有可能线路的个数，求证： a2n-1 = 0

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a2n = (2 + √2)/√2 - (2 - √2)/√2。

n-1n-1

第22界IMO

1. P是三角形ABC内部一点，D、E、F分别是从P点向边BC、CA、AB所引垂线的垂足。试找出 BC/PD + CA/PE + AB/PF 式达到最小值的所有P点。

2. 取r满足1 <= r <= n，并考虑集合{1, 2, ... , n}的所有r元子集，每个子集都有一个最小元素。设F(n,r)是所有这些最小元素的算术平均值。求证：F(n,r) = (n+1)/(r+1)。 3. 设m、n是属于{1, 2, ... , 1981}的整数并且满足(n2 - mn - m2)2 = 1。试计算m2 + n2的最大值。 4. 设 n>2，问

a. n为何值时，存在一个由n个连续的正整数构成的集合使得其中的最大元是其它 n-1

个元素最小公倍数的因子？

b. n为何值时，恰好值存在一个满足条件的集合？

5. 三个都通过点O的等半径的圆位于一个给定三角形的内部，并且每个圆都相切于这个三角形的两条边。求证：这个三角形的内心、外心、O点三点共线。

6. 函数f(x,y)，对于任何非负整数x,y都满足f(0,y) = y + 1, f(x+1,0) = f(x,1), f(x+1,y+1) = f(x,f(x+1,y))。试计算f(4, 1981)的值。

第23届IMO

1. f(n)是定义在正整数上且取值为非负整数的函数，f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) = 3333，

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并对所有m,n有f(m+n) - f(m) - f(n) = 0 或 1。试求出f(1982)。

2. A1A2A3是不等腰三角形，其三边为a1, a2, a3 ，其中ai 是角 Ai的对边，设 Mi 是边 ai 的中点，Ti是三角形的内切圆在边 ai上的切点，记Si为点 Ti 关于内角Ai的角平分线的对称点，求证线M1S1, M2S2 和M3S3共点。

3. 考虑无限正实数序列 {xn} 满足x0 = 1 及 x0 >= x1 >= x2 >= ... ，

a. 求证对每个这样的序列都有存在一个n >= 1使得

x02/x1 + x12/x2 + ... + xn-12/xn >= 3.999.

b. 试寻找一个这样的序列使其满足

x02/x1 + x12/x2 + ... + xn-12/xn < 4 对所有n成立。

4. n使正整数，求证如果方程 x3 - 3xy2 + y3 = n有关于整数x,y的一个解，则其至少有三个解；当n=21时再证明这个方程无整数解。

5. 正六边形ABCDEF的对角线AC、CE上分别有分点M、N并且 AM/AC = CN/CE = r，如果B、M、N共线，试求r的值。

6. 设S是边长为100的正方形，L是在S内部不自交的系列线段A0A1, A1A2, A2A3, ... , An-1An 并且A0 与 An不重合。已知对于每一个在S边界上的点P，L中存在一个点与P之间的距离不大于1/2。求证：L中存在两点X、Y，X与Y的距离不大于1，并且L上位于X和Y之间的部分不少于198。

第24届IMO

1. 试找出所有定义在正实数并取值正实数的函数 f，使其满足 f(x(f(y)) = yf(x)对所有x, y成立，并且当 x 趋向于无穷大时 f(x) 趋向于0.

2. 圆C1、C2 的圆心分别是O1 、O2，它们相交于两个不同的点，设A是其中一个交点。这两个圆的一条公切线切C1、 C2 分别于点 P1、P2，另外一条公切线分别切C1、 C2 于点 Q1、Q2，再设M1、M2分别是P1Q1和P2Q2的中点，求证：角O1AO2 = 角 M1AM2。

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3. a , b, c是正整数，并且它们中的任何两个都没有大于1的公约数。求证 2abc - ab - bc - ca 是不能表示成形式xbc + yca + zab的最大整数，其中x, y, z是非负整数。 4. 等边三角形ABC，设集合E是该三角形的所有边界点（即边AB,BC,CA），任意将E分拆成两个不相交的子集合（它们的并集是E），试证明这两个集合中的至少一个包含有三点构成一直角三角形。

5. 问是否可能存在小于或等于105的1983个不同的正整数，任何三个都不构成一等茶数列。

6. 设a,b,c是一个三角形的三边长，求证

a2b(a - b) + b2c(b - c) + c2a(c - a) >= 0.

并判断何时等号成立。

第25届IMO

1. 求证 0 <= yz + zx + xy - 2xyz <= 7/27, 其中x, y， z 是非负实数并满足x + y + z = 1.

2. 试找出所有的正整数对（a,b）满足 ab(a+b)不能被 7 整除, 但 (a+b) - a - b 可被77整除。

3. 给定平面上的点O、A。平面上的每个点都被染色成有限种颜色中的一个。设X是平面上一给定点，以O为圆心的圆C(X)的半径是 OX + (∠ AOX)/OX，其中角∠ AOX是用弧度衡量（即范围是[0, 2л)），求证能够找到不在OA上的一点X使得它的颜色出现在圆C(X)的圆周上。

4. 凸四边形ABCD的边CD与以AB为直径的圆相切，求证：AB与以CD为直径的圆相且当且仅当BC和AD是平行的。

5. 设 d 是平面上一凸 n 边形（n>3）的所有对角线的长度之和，p 是它的周长。求证:

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n - 3 < 2d/p < [n/2] [(n+1)/2] - 2,

其中[x]表示不超过x的最大整数。

6. 0 < a < b < c < d 是四个奇数且 ad = bc. 若a + d = 2k 及 b + c = 2m 对某k、m成立,则 a = 1.

第26届IMO

1. 圆内接四边形ABCD，现有一圆其圆心在边AB上并于其他三边相切，求证AD + BC = AB. 2. 设 k3. P(x) = a0 + a1x + ... + akxk 是整系数多项式，设其中系数为奇数的个数为o(P)。对于i = 0, 1, 2, ... ，记 Qi(x) = (1 + x)i。求证如果i1, i2, ... , in都是整数并满足0 <= i1 < i2 < ... < in，则有

o(Qi1 + Qi2 + ... + Qin) >= o(Qi1).

4. 集合M由 1985个不同的正整数组成，且每个数都有一个大于23的素因子，求证M中存在4个元素的积是某个整数的4次方。

5. 圆心为O的一个圆经过三角形ABC的顶点A和C，并与AB,BC分别交于不同的两点K、N，三角形ABC的外接圆和三角形KBN的外接圆相交于两个不同的点B、M，求证角OMB是直角。 6. 对于任何一个实数 x1，可通过递推式

xn+1 = xn(xn + 1/n)

构造序列 x1, x2, ...，求证存在唯一的一个x1 满足对所有的n都有 0 < xn < xn+1 < 1 成

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立。

第27届 IMO

1. d是不为2,5,13的正整数，试证明可以在集合{2, 5, 13, d}中找出不同的两数a,b满足ab-1不是一个完全平方数。

2. 在三角形 A1A2A3 所在的平面上有一给定点P0，当s>=4时定义 As = As-3 ，现使用以下的方法构造一系列点P1, P2, P3, ...： Pk+1 是 Pk 绕 Ak+1 顺时针旋转120度得到的点（k = 0, 1, 2,...）。如果 P1986 = P0，求证A1A2A3是等边三角形。 3. 给正五边形的每个顶点赋值一个整数，使这5个整数之和是正的。对于任何三个连续的顶点设它们所赋予的数分别是x,y,z，如果y < 0则执行下述操作：将x,y,z分别替换为x + y, -y, z + y。重复执行这样的操作直到这5个顶点数中至少有一个是负值。试问能否经过有限步之后操作结束。

4. O是正n(n >= 5)边形的中心，设 A, B 是一对相邻的顶点。设开始的时候三角形XYZ与三角形OAB重合，现用如下的方式移动三角形XYZ：保持Y、Z始终在多边形的边界上、X在多边形的内部。试求出当Y、Z都走遍多边形的边界时X点所形成的轨迹。

5. 试找出所有定义在非负实数并取值也是非负实数的函数 f，使其满足f(2) = 0；当 0<= x <2时f(x)不等于0；对所有x,y都有f(xf(y))f(y)=f(x+y)。

6. 给定平面上的一个有限点集，每个点的坐标都是整数，问有没有一种将这些点涂成红色或白色的染色方法使得在任何一条平行于坐标轴（两个坐标轴中的任何一个）的直线 L上的红点和白点的个数之差不大于1？

第28届IMO

1. 设 pn(k) 是集合{1, 2, 3, ... , n} 上具有 k 个固定点的排列的个数，求证 k从 0 到

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n 对(k pn(k) )的求和是 n!。

[一个集合S的一个排列是从S到它自身的一一映射。元素 i 称为是 f 固定点如果 f(i) = i。]

2. 锐交三角形ABC 的内角A的角平分线交BC于 L，交ABC的外接圆于 N，从 L 点向 AB,AC做垂线，垂足分别是 K、M，求证四边形 AKNM的面积与三角形ABC的面积相等。 3. x1, x2, ... , xn 是实数并且满足x1 + x2 + ... + xn = 1，求证对每个正整数k >= 2存在不全为0的整数a1, a2, ... , an，使得对每个 i有|ai| <= k - 1 及

|a1x1 + a2x2 + ... + anxn| <= (k - 1)√n/(k-1)。

4. 求证不存在从非负整数到非负整数的函数 f满足对所有n有 f(f(n)) = n + 1987 成立。

5. n是大于或等于3的整数，求证存在一个由平面上n个点构成的集合满足任何两点的距离都是无理数并且任何三点构成一个面积为有理数的非退化的三角形。

6. n是大于或等于2的整数，如果对所有0<=k<=√n/3都有k2 + k + n 是素数，则当0<=k<=n-2时，k2 + k + n 都是素数。

第29届IMO

1. 考虑平面上同一圆心的两个半径分别为R > r的圆。P点是小圆上一个固定的点，B使大圆上的动点，BP交大圆于C，过P点作BP的垂线交小圆于A点（如果相切则A=P），

a. 试确定AB2 + BC2 + CA2的所有可能值；

b. 试确定BC中点的轨迹。

2. n是正整数， A1, A2, ... , A2n+1 都是集合B的子集，假设 i. ii.

每个Ai 都恰有2n个元素；

任何两个不同的 Ai恰有一个公共元素；

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iii. B中的每个元素至少属于两个 Ai。

试问对于什么样的n值有办法将B中的元素都标上0或1使得每个

Ai 都恰好包含n个标0的元素。

3. 函数 f 定义在正整数集上：f(1) = 1; f(3) = 3; 且对每个正整数 n 有

f(2n) = f(n), f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n)。

试确定小于或等于1988并满足 f(n) = n 的正整数 n 的个数。

4. 试证明满足

1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + ... + 70/(x - 70) >= 5/4.

的所有实数 x 的集合是一些互不相交的区间的并集，并且这些区间的长度之和是 1988。 5. 三角形△ABC, 角∠A是直角，D是BC边上的高的垂足。三角形△ABD、三角形△ACD 的内心的连线分别交边AB, AC于K,L。求证：三角形ABC的面积是三角形AKL的面积的至少两倍。

6. a,b都是正整数，且 ab+1整除 a2 + b2. 求证(a2 + b2)/(ab + 1)是完全平方数。

第30界IMO试题

1. 试证明集合{1,2,...,19}可以分拆成117个子集合A1,A2,...,A117 （即这些子集合互不相交且并集为整个集合），满足每个Ai包含17个元素，并且每个Ai中元素之和都相等。 2. 锐角△ABC，内角∠A的角平分线交△ABC的外界圆于A_1，类似定义B1,C1点。设AA1与∠ B,∠C的外交平分线交于A0点，类似定义B0,C0点。

求证：△A0B0C0的面积是六边形AC1BA1CB1的两倍也是△ABC面积的至少4倍。

3. 设n,k是正整数，S是由平面上n个点构成的集合并且无三线共点，对任何S中的点P至少存在S中的k个点与P等距离。求证： k<1/2+√2n。

4. 凸四边形ABCD的边AB,AD,BC满足AB=AD+BC，四边形内部有一与直线CD距离为h的点P，并且AP=h+AD，BP=h+BC，

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求证：1/√h<=1/√AD+1/√BC。

5. 试证明对每个正整数n，存在n个连续的正整数使得其中无素数或素数的幂。

6. 设{x1,x2,...,xm} 是{1,2,...,2n}的一个排列，其中n是一个正整数。如果|xi-xi+1|=n对至少 {1,2,...,2n-1}中的一个i成立就说这个排列{x1,x2,...,xm}具有性质P。试证明对于任意的n，具有性质P的排列都比不具有的多。

第31界IMO试题

1. 弦AB,CD相交于圆内一点E，M是线段EB上的一点，过E点与△DEM外接圆的切线分别交BC,AC于F,G。

设t=AM/AB，试用t表示EF/EG。

2. 设n>=3，考虑一个圆上由2n-1个不同点构成的集合E。现给E中恰好k个点染上黑色，如果至少有一对黑点使得这两个黑点之间的弧上（两段弧中的某一个）包含恰好E中的n个点，就成这样的染色方法是“好的”。

试找出对于集合E能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的k值。 3. 试找出所有大于1的正整数n满足(2n+1)/n2也是整数。 4. 试构造一个从正有理数集到正有理数集的函数f使 f(xf(y))=f(x)/y 对任何x,y都成立。

5. 给定一个初始整数n0>1，两个玩家A,B根据下述规则交替的选择整数n1,n2,n3,...：

a. 设B已选择n2k，则A选择n2k+1满足

n2k<=n2k+1 <=n2k；

b. 设A已选择n2k+1，则B选择n2k+2满足

n2k+1/n2k+2=pr 对某个p及r>=1成立。

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若A选到了数1990就获胜；若B选到了1就获胜。分别求除满足下述条件之一的n0： (1) A有必胜策略； (2) B有必胜策略；

(3) A,B都没有必胜策略。

6. 求证存在一个凸1990边形使得所有角都相等并且边长是1,2,...,1990（顺序不定）。

第32界IMO试题

1. 设I是△ABC的内心，∠A,∠B,∠C的交平分线分别交对边于A',B',C'点，求证:

1 AI·BI·CI 8

< ≤

4 AA'·BB'·CC' 27

2. 设n>6是一个整数，a1,a2,...,ak 都是小于n的正整数并且与n互素。如果a2-a1=a3-a2=... =ak-ak-1>, 求证，n是质数或者是2的幂次方。

3. 试找出最小的整数n使得每一个S的n元子集都包含5个两两互素的数。

4. 设G是一个有k条边的连通图，试证明可是对这些边编号1,2,...,k使得对于每个属于两

条或两条以上的边的顶点，从这个顶点出发的所有边的标号的最大公约数是1。

注：一个图是由一组顶点和一些连接这些顶点的线段（称为边）组成。每对顶点之间最多有1条边。如果对图中的任何两个不同的顶点x,y都有一些顶点x=v0,v1,..., vm=y使得vi,vi+1(0<=i5. X是△ABC内部中的一个点，试证明∠XAB,∠XBC, ∠XCA中至少有一个不大于30o。 6. 任意给定一个实数a>1，试构造一个有界的无限序列x0,x1,x2,... 使得对任何x≠y都有|xi-xj||i-j|a>=1。

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注：一个无限实数序列x0,x1,x2,... 是有界的如果存在一个常数C使得|xi|第33届IMO试题

1. 试找出所有的整数a,b,c满足13. 空间中有9个点，无4点共面，每两点之间连接一个被染上红色或蓝色或者不染色的线段，试找出最小的n使得，只要恰好有n条线段被染色，这些染色的线段一定包含一个同色三角形（即三角形的三边被染上相同的颜色）。 4. L是圆Γ的一条切线，M是L上的一点，试找出所有这样的点P的轨迹：存在L上的关于M对称的两点Q,R，△PQR的内切圆是Γ。

5. 设S是三维空间中的一个有限点集，集合Sx,Sy,Sz分别是S在平面yz,zx,xy上的投影，求证：|S|<=|Sx|·|Sy|·|Sz|。其中|A|表示集合A的元素个数。

[注：一个点到一个平面上正交投影指的是该点到平面作垂线的垂足。]

6. 对正整数n，S(n)是满足如下条件最大的整数：对每个正整数k<= S(n)，n2都可写成k个完全平方数的和。

a. 求证对每个n>=4有S(n)<=n2-14；

• b. 试找出一个整数n使得S(n)=n-14；

• c. 试证明有无穷多个整数n使得S(n)=n-14。

•

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第34届IMO试题

1. 设f(x)=x+5x+3，其中n>1是一个整数。

求证f(x)不能表示成两个非常数的整系数得多项式的乘积。

2. 设D是锐角三角形ABC内部一点且∠ADB=∠ACB+90o，AC·BD=AD·BC，

o a. 计算(AB·CD)/(AC·BD)；

o b. 求证△ACD,△BCD的外界圆在C处的切线互相垂直。

nn-1

3. 在一个无限大的棋盘上以如下方式做游戏。开始时棋盘中的一个n×n的框上整齐的摆放着n2个棋子（每个小方格上放着一个棋子），游戏的每一步都是在水平或者竖直方向上跨越一个棋子而

跳到一个空格子上去，并同时取走所跨越过的棋子。

试找出所有的n值使得游戏以只留一个棋子在棋盘上而结束。

4. 对平面上的三个点P,Q,R，定义m(PQR)为△PQR的最短高的长度(如果P,Q,R共线当然有 m(PQR)=0)。

求证对任何点A,B,C,X有m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)。

5. 问是否存在一个从正整数到正整数的函数f使得f(1)=2, f(f(n))=f(n)+n对所有n，并且

f(n6. 有n>1盏灯L0,L1，...,Ln-1绕成一圈，为方便Ln+k也表示Lk。一盏灯只有开或关两个状态，初始时刻它们全是开着的，依次执行步骤s0,s1,...,：在步骤si，如果Li-1点燃，就关掉Li，否则什么都不做。试证明：

o a. 存在一个正整数M(n)使得在第M(n)步之后所有的灯都开着； o b. 若n=2，则可使M(n)=n-1； o c. 若n=2，则可使M(n)=n-n+1。

k+1

第35届IMO试题

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1. m和n都是正整数，a1,a2,...,am是{1,2,...,n}中不同的数，只要有ai +aj≤ n（i,j可能相同）那么就有某个k使ai +aj=ak，

求证(a1+...+am)/m≥(n+1)/2。

2. △ABC是等腰三角形，AB=AC，M是BC的中点，O是线AM上的点且OB⊥AB，Q为线段BC上不同于B,C 的任意一点，E,F分别在AB,AC上使得E,Q,F不同并共线。

求证：OQ⊥EF当且仅当QE=QF。

3. 对任何正整数k，定义f(k)为集合{k+1,k+2,...,2k}中的用二进制表示后恰有3个1的元素的个数，

求证对于每个正整数m，存在至少一个k使f(k)=m；并求出使得恰有一个k的所有m值。 4. 试求出所有的正整数对(m,n)使得(n+1)/(mn-1)是整数。

5. S是所有大于-1的实数集，试找出所有的从S到S的函数f满足对所有x,y,f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x),并且对于-16. 试证明存在满足下列性质的正整数集合A：对任何由素数构成的无限集S，都有k≥2以及两个正整数m,n，m ∈A, n不∈A，m和n都是S中k个不同元素的乘积。

第36届IMO试题

1. A,B,C,D是一条直线上顺序排列的四个不同点，分别以AC,BD为直径的两个圆相交于X,Y，直线XY交BC于Z，设P为直线XY上异于Z的一点，直线CP与以AC为直径的圆相交于C,M；直线BP与以BD为直径的圆相交于B,N。求证：AM,DN,XY三线共点。 2. a,b,c为正实数且abc=1，试证：

1 1

a3(b+c) b3(c+a)

1 c3(a+b)

≥

3. 试确定所有整数n>3，使得在平面上存在n个点A1,A2， ...,An（无三点共线）及n个实

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+1/xi.

试求出所有满足上述条件的数列中x0的最大值。

5. 设ABCDEF是凸六边形，满足AB=BC=CD, DE=EF=FA，∠BCD=∠EFA=60o。设G,H是这六边

o形内部两点使得∠AGB=∠DHE=120，求证 AG+GB+GH+DH+HE≥CF。

6. p是一个奇质数，试求出集合{1,2,...,2p}的所有p元子集A的个数满足A中元素之和能被p整除。

第37界IMO试题

1. ABCD是一个长宽分别是AB=20,BC=12的长方形板。将此长方形板分割为20×12个格子状的单位小方格，r为一给定的正整数，一个铜币在此板上每移动一次的规则为：铜币可从一个小方格内移动到另一个小方格内的充分必要条件是这两个小方格的中点间的距离为√r。现目标是把一个在含顶点A的小方格内的铜币经过若干次移动后到达含顶点B的小方格内。

o a. 当r是2的倍数或者3的倍数时，此目标无法达成； o b. 当r=73时，此目标可以达成； o c. 当r=97时，问此目标能否达成？

2. P为△ABC内一点且∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC，设D,E分别是∠APB,∠APC的内心，求证：AP,BD,CE三线共点。

3. S={0,1,2,3,...}为所有非负整数所成的集合，试找出所有由S对应到S本身的函数f且对m,n∈S 有f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)。

4. 正整数a,b使得15a+16b和16a-15b都是完全平方数，试求出最小的可表示成这两个完全平方数之一的可能值。

5. ABCDEF是凸六边形，AB平行于ED，BC平行于FE，CD平行于AF。令RA,RC,RE分别表示△FAB,△BCD,△DEF的外接圆的半径，并以p表示该六边形的周长。求证：RA+RC+RE≥p/2。

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6. n,p,q都是正整数且n>p+q，令x0,x1,xn都是整数，x0=xn=0且对每个1≤i≤n，xi-xi-1=p或q。

求证存在下标i第38界IMO试题

1. 在坐标平面上，具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的顶点。这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色（像棋盘一样）。对于任意一对正整数m和n，考虑一个直角三角形其顶点具有整数坐标，两腰长分别为m和n，且其两腰都在这些正方格的边上。设S1为这个三角形区域中所有黑色部分的总面积，S2则为所有白色部分的总面积。令f(m,n)=|S1-S2|，

o a. 当m,n同为正偶数或者同为正奇数时，计算f(m,n)； o b. 求证f(m,n)≤max(m,n)/2对所有m,n都成立； o c. 求证不存在常量C使得f(m,n)。

2. 设∠A是△ABC中最小的內角。B和C将此三角形的外接圆分成两个弧。U为落在不含A点的弧上且异于B,C的一点。线段AB,AC的垂直平分线分别交AU于V,W。直线BV, CW相交于T，求证：AU＝TB＋TC。

3. x1,x2,...,xn是正实数满足|x1+x2+...xn|=1 且对所有i有|xi|≤(n+1)/2。试证明存在x1,x2,...,xn的一个排列y1,y2,...,yn满足

|y1+2y2+...+nyn|≤(n+1)/2。

4. 一个n×n的矩阵称为一个n阶“银矩阵”，如果它的元素取自集合S={1,2,...,2n-1}且对于每一个i=1,2，...,n，它的第i列与第i行中的所有元素合起来恰好是S中的所有元素。求证：

o a. 不存在n=1997阶的银矩阵； o b. 有无限多个n，存在n阶银矩阵。

5. 试找出所有的正整数对(a,b)满足

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b a a = b

6. 对每个正整数n，将n表示成2的非负整数次方之和，令f(n)为正整数n的上述不同表示

法的个数。如果俩个表示法的差别仅在于他们中各个数相加的次序不同，这两个表示法就被视为是相同的。例如，f(4)=4，因为4恰有下列四种不同的表示法：4; 2+2; 2+1+1;1+1+1+1。求证：对于任意整数n≥3，

22n/4 n/2 n2 < f(2)< 2

第39届IMO试题

1. 凸四边形ABCD，对交线AC,BD互相垂直，对边AB,DC不平行，AB和DC的垂直平分线相交

于

P点，P在ABCD的内部。

求证ABCD是圆内接四边形当且仅当三角形ABP、CDP的面积相等。

2. 在一次竞赛中有a个参赛者和b个裁判，b≥3是一个奇数。每个裁判可以给参赛者判“合格”或者 “不合格”，假设任何两个裁判对至多k个参赛者的判决相同，求证：k/a ≥ (b-1)/2b.

3. 对任何正整数n，用d(n)表示n的正因数（包括1,n）的个数。试求出所有正整数k使存在n满足 d(n2)=kd(n).

4. 试找出所有的正整数对(a,b)使得ab+b+7能整除ab+a+b。

5. 设I是三角形 ABC的内心，三角形 ABC的内切圆在边BC,CA,AB上的切点分别是K,L,M。通过B点平行于MK的直线交LM,LK分别于R,S。求证：三角形 RIS是锐交三角形。

6. 考虑所有从正整数到正整数的函数f使之对于所有的s、t满足f(t2f(s))=sf(t)2。试求出f(1998)的最小的可能值。

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第40界IMO试题

1. 试找出所有这样的有限集S：S至少包括平面上的3个点；对任何两个S中不同的点A,B， AB的垂直平分线是S的一个对称轴。

2. 设n ≥ 2是一个给定的整数，是找出最小的常量C使得对于所有非负实数x1, ... , xn如下不等式成立：

∑i并判断何时等号成立。

3. 给定一个n×n的棋盘，n是偶数。如果这个棋盘中的两个不同的小方格有一个公共边就说他们是相邻的，但同一个方格不认为与它自身相邻。试找出最小数目的方格，使得当它们被标记之后，棋盘上每一个方格都至少与一个标记过的方格相邻。

4. 试找出所有的正整数对(n,p)，使得p是素数，n ≤ 2p并且(p-1)n+1可被np-1整除。 5. 圆Γ有两个内切圆Γ1 ,Γ2，切点分别是M,N，Γ1经过Γ2的圆心。

Γ1,Γ2的公共弦的延长线交Γ于A,B两点。线MA,MB分别交Γ1分别于E,F。求证：EF于Γ2相切。

6. 试找出所有的函数f:R → R使得f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1对所有x,y ∈ R都成立。

其中R表示实数集。

第41界IMO试题

1. 圆Γ1和圆Γ2相交于点M和N。设l是圆Γ1和圆Γ2的两条公切线中距离M较近的那条公切线。l与圆Γ1相切于点A，与圆Γ2相切于点B。设经过点M且与l平行的直线与圆Γ1还相交于点C，与圆Γ2还相交于点D。直线CA和DB相交于点E；直线AN和CD相交于点P；直线BN和CD相交于点Q。求证：EP=EQ。

2. 设a,b,c是正实数，且满足abc=1。求证：

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(a- 1 + 1/b)(b - 1 + 1/c)(c - 1 + 1/a) ≤ 1。

3. 设n≥2为正整数。开始时，在一条直线上有n只跳蚤，且它们不全在同一点。对任意给定的一个正实数λ，可以定义如下的一种“移动”：

o (1). 选取任意两只跳蚤，设它们分别位于点A和点B，且A位于B的左边； o (2). 令位于点A的跳蚤跳到该直线上位于点B右边的点C，使得BC/AB=λ。

试确定所有可能的正实数λ，使得对于直线上任意给定的点M以及这n只跳蚤的任

意初始位置，总能够经过有限多个移动之后令所有的跳蚤都位于M的右边。

4. 一位魔术师有一百张卡片，分别写有数字1到100. 他把这一百张卡片放入三个盒子里，一个盒子是红色的，一个是白色的，一个是蓝色的。每个盒子里至少都放入了一张卡片。一位观众从三个盒子中挑出两个，再从这两个盒子里各选取一张卡片，然后宣布这两张卡片上的数字之和。知道这个和之后，魔术师便能够指出哪一个是没有从中选取卡片的盒子。问共有多少种放卡片的方法，使得魔术总能够成功？（两种方法被认为是不同的，如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子）

5. 确定是否存在满足下列条件的正整数n：n恰好能够被2000个互不相同的质数整除，且2n+1能够被n整除。

6. 设AH1,BH2,CH3是锐角三角形ABC的三条高线。三角形ABC的内切圆与边BC, CA, AB分别相切于点T1, T2, T3，设直线l1,l2,l3分别是直线H2H3, H3H1, H1H2关于直线T2T3, T3 T1, T1T2的对称直线。

求证：l1,l2,l3所确定的三角形，其顶点都在三角形ABC的内切圆上。

第42界IMO试题

1. △ABC是锐角三角形，其外接圆的圆心是O。X是从A到BC边上垂线的垂足。已知∠C≥∠B+30o，求证：∠A+∠COX<90o。

2. a,b,c是正实数，设a' = √(a2 + 8bc), b' = √(b2 + 8ca), c' = √(c2 + 8ab)，求证： a/a' + b/b' + c/c' ≥ 1。

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3. 由整数组成的一个21×21的矩阵，其每行每列都至多有6个不同的整数。求证，存在某个整数出现在至少3行和3列中。

4. 设n1,n2,...,nm是整数，其中m是奇数。x=(x1,x2,...,xm)是1,2,...,m的一个排列，

f(x)=x1n1+x2n2+...+xmnm，

求证，存在两个不同的排列a,b使得f(a)-f(b)能被m!整除。

5. △ABC，X在BC上且AX是∠A的角平分线，BY是∠B的角平分线，Y在CA上。已知∠A=60o， AB+BX=AY+YB，试求出所有∠B可能的值。

6. K>L>M>N是正整数且KM+LN=(K+L-M+N)(-K+L+M+N)。求证KL+MN是合数。

第43界IMO试题

1. 设n是给定的正整数，T是一个集合，其元素是平面上满足x,y是非负整数且x+y2. BC为圆O的直径，A为⊙O上的一点，0o<∠AOB <120o, D是弧AB（不含C的弧）的中点，

过O平行于DA的直线交AC 于I，OA的垂直平分线交⊙O于E、F，求证：I是△CEF的内心。

3. 找出所有的正整数对m,n≥3，是的存在无穷多个正整数a，使(am +a-1)/(an +a2-1)为整数。

4. 设n为大于1的整数，全部正因数为d1,d2,...,dk，其中1=d1 < d2 < ... < dk=n，

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记D=d1d2+d2d3+...+dk-1dk。

a. 求证：D< n2；

2• b. 确定所有的n，使得D能整除n。

•

5. 找出所有从实数集R到R的函数f，使得对所有x,y,z∈R，有

(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)。

6. 设Γ1，Γ2，...,Γn是平面上半径为1的圆，其中n≥3，记他们的圆心分别为O1,O2,...,On。假设任意一条直线都至多和两个圆相交或相切，求证：

∑i第44界IMO试题

1. 设A是集合S={1, 2, 3, ..., 1000000}的一个101元子集，求证：存在S中的100个元素T1 ,T2 ,...,T100 使得集合

Aj={X+Tj | X 属于 A} （j=1,2,...,100）是两两不交的。

2. 求所有的正整数对(a,b)，使得 a2/(2ab2-b3+1)也为整数。

3. 一凸六边形，任意一组对边中点的连线是这组对边长度之和的√3/2 倍，求证这个六边行的

o每个内角都是120。

4. 圆内接四边形ABCD，从D向分别边BC,CA,AB引垂线，垂足分别为P，Q，R。求证： PQ=QR当且仅当∠ABC、∠ADC的角平分线及AC三线共点。

5. 设n是一个正整数，x1,x2,...,xn是实数并且x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn,求证：

a. (∑i,j |xi - xj| )2 ≤ (2/3) (n2 - 1) ∑i,j (xi - xj)2。 • b.上式等号成立当且仅当x1,x2,...,xn是等差数列。

•

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6. 设p是一个素数，求证存在一个素数q使得对每个整数n，n-p不能被q整除。

p2004IMO(中文版)

1. △ABC 为锐角三角形，AB ≠ AC；以BC为直径的圆分别交AB和AC于M 和N . 记BC中点为 O. ∠BAC和∠MON的角平分线交于R. 求证△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个公共点在 BC边上.

2. 求所有的实系数多项式f，使得对所有满足 ab + bc + ca = 0的实数a, b, c 有 f(a–b) + f(b–c) + f(c–a) = 2f(a + b + c).

3. 定义一个由6个单位正方形构成的“钩”（图传不上：3 X 3 的去掉中心块和一边上连续的两块，包括由此图经旋转、反射得到的图形）. 定出所有的能被钩覆盖的m×n的矩形 .

4. 设n >= 3. t_1, t_2, ..., t_n > 0 满足

n^2 + 1 > (t_1 + t_2 + ... + t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n)

证明t_1, t_2, ..., t_n中随便取3个数都能构成一个三角

5. 凸四边形ABCD的对角线BD 不平分∠ABC和∠CDA. ABCD内一点P满足∠PBC = ∠DBA和∠ PDC = ∠BDA. 求证：ABCD是圆的内接四边形当且仅当AP = CP.

6. 称一个正整数为“交替的”，如果它的十进表示的任两个连续数位的奇偶性不同. 求所有的正整数n，n的某个倍数是交替的.

2005 International Mathematical Olympiad

第一天(4.5小时)

1. 等边三角形ABC各边上的六个点A1,A2(∈BC),B1,B2(∈CA),C1,C2(∈AB)构成六边长相等的凸六边形A1A2B1B2C1C2.

求证:三条直线A1B2,B1C2,C1A2交于一点.

2. 整数数列a1,a2,……中有无穷多个正项及无穷多个负项.已知,对每个正整数n,数a1,a2,…,an除以n所得到的余数互不相同.

证明:每个整数在数列a1,a2,……中都出现且只出现一次.

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3. x,y,z为正数且xyz≥1.求证:

(x5-x2)/(x5+y2+z2)+(y5-y2)/(y5+z2+x2)+(z5-z2)/(z5+x2+y2)≥0.

第二天(4.5小时)

4.试求与无穷数列an=2n+3n+6n－1(n≥1)的一切项均互素的所有正整数.

5.取定凸四边形ABCD,其中BC=DA,BC与DA不平行.动点E,F分别在线段BC,DA上且满足BE=DF.直线AC与BD交于P, BD与EF交于Q, EF与AC交于R.求证:当E,F变动时,所有三角形PQR的外接圆周除了P外还有一个公共点.

6.一次数学竞赛共给出6道题.已知,每两题均被多于2/5的选手同时解出,但无一人解出所有6道题.证明:至少有两人各解出5道题.

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