线面垂直

个性化辅导讲义

学生： 管笑澜 科目： 数学 第 2 阶段第 1 次课 教师： 于利 时间：20 13 年 10 月 11 日 15:30-17:30 时段 课题 线面垂直 面面垂直 1、理解并掌握线面垂直的判定与性质 教学目标 2、理解并掌握面面垂直的判定与性质 重点、难点 线面垂直 面面垂直 1、理解并掌握线面垂直的判定与性质 考点及考试要求 2、理解并掌握面面垂直的判定与性质 教学内容 知识框架 1．直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法． ②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一直线的两平面平行． 2．斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角． 3．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的性质 如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 三类证法 (1)证明线线垂直的方法 ①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b. 1

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(2)证明线面垂直的方法 个性化辅导讲义 ①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α； m、n⊂α，m∩n＝A⇒l⊥α； ②判定定理1：l⊥m，l⊥n③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β； ⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. (3)证明面面垂直的方法 ①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. 题型一、线面垂直 例1. 已知直线a，b和平面，且ab，a，则b与的位置关系是 ． 例2. 已知两个平面垂直，下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线． ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线． ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面． ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确的个数是（ ） A．３ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．０ 例3. 已知平面，，且，//，求证． 答案：证明：设l，在平面内作直线al． 因为，所以a． 过a作一个平面与平面相交于直线b， 由//，得a//b． 又b，所以．因为a，所以b． 变式：. 已知平面，，满足，，l，求证：l． 在平面内做两条相交直线分别垂直于平面，与平面的交线， 再利用面面垂直的性质定理证直线l平面． 2

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个性化辅导讲义 变式： 如图，已知平面，，直线a满足，a，a，试判断直线a与平面的位置关系．  b a 例4. 如图所示，ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G． S 求证：AESB，AGSD． F G C E D B A ①若ml，②若m，③若m//，例6. 已知直线l平面，有以下几个判断：则m//；则m//l；则ml；④若m//l，则m．上述判断中正确的是（ ） Ａ．①②③ Ｂ．②③④ Ｃ．①③④ Ｄ．①②④ 变式：. ，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：①mn；②；③n；④m．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 ． .例7.如图所示，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，AEPD，EF//CD，P AMEF．求证：MF是异面直线AB与PC的公垂线． E F D A M C B 3

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个性化辅导讲义 变式：. 设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点且有PAPC，PBPD，则PO与平面ABCD的关系是 ． 题型二、线面垂直的证明 例1. 如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点． （１） 求证：SD平面ABC； （２） 若ABBC，求证：BD面SAC． S A D C B 例2. 在三棱锥PABC中，侧面PAC与面ABC垂直，PAPBPC3． （１） 求证：ABBC； （２） 设ABBC23，求AC与平面PBC所成角的大小． P P F C A C A D D B B 图（２） 课堂练习 1. 在正方形ABCD中，E，F分别是AB及BC的中点，沿DE，M是EF的中点，DF及EF把△DAE，重合后的点记作P，那么在四面体PDEF中必有（ ） △DFC，△EBF折起使A，B，C三点重合，Ａ．DP面PEF Ｂ．DM面PEF Ｃ．PM面DEF Ｄ．PF面DEF 2. 直线a不垂直于平面，则内与a垂直的直线有（ ） Ａ．0条 Ｂ．1条 Ｃ．无数条 Ｄ．内所有直线 3. 已知三条直线m，n，l，三个平面，，．下面四个命题中，正确的是（ ） 4

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个性化辅导讲义 Ａ．//  m//m//mＢ．l Ｃ．m//n Ｄ．m//n lmn//n4. 在空间四边形ABCD中，若ABBC，ADCD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是（ ） Ａ．平面ABD平面BDC Ｂ．平面ABC平面ABD Ｃ．平面ABC平面ADC Ｄ．平面ABC平面BED 5. ，，，是四个不同平面， 若，，，，则（ ） Ａ．//且// Ｂ．//或// Ｃ．这四个平面中可能任意两个都不平行 Ｄ．这四个平面中至多有一对平面平行 6.设a，b是异面直线，下列命题正确的是（ ） Ａ．过不在a，b上的一点P一定可以作一条直线和a，b都相交 Ｂ．过不在a，b上的一点P一定可以作一个平面和a，b垂直 Ｃ．过a一定可以作一个平面与b垂直 Ｄ．过a一定可以作一个平面与b平行 课后练习 1、下面四个命题：其中正确的两个命题是（ ） ① 若直线a//平面，则内任何直线都与a平行； ② 若直线a平面，则内任何直线都与a垂直； ③ 若平面//平面，则内任何直线都与平行； ④ 若平面平面，则内任何直线都与垂直． Ａ．①与② Ｂ．②与③ Ｃ．③与④ Ｄ．②与④ 2. 设平面平面，且l，直线a，直线b，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与Ｂ．可能平行，不可能垂直 Ｄ．不可能垂直，也不能垂直 b（ ） Ａ．可能垂直，不可能平行 Ｃ．可能垂直，也可能平行 3. 已知：如图所示，平面平面，l，在l上取线段AB4，AC， BD分别在平面和平面内，且ACAB，DBAB，AC3，BD12，求CD长． 4. 在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB1BC1．求证：AB1A1C． 5

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个性化辅导讲义 C1 CA1D1 B1 BAl DA C D B 5. 已知直线a，b和平面，有以下四个命题： ① 若a//，a//b，则b//； ② 若a，bA，则a与b异面； ③ 若a//b，b，则a； ④ 若ab，a，则b//． 其中真命题的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 6.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中不正确的是( ) A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β 7．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为( ) 3333A.4 B.2 C.4 D.3

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